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1、Vo 1 3 5 No 4 ( 2O1 4) 物 理教 师 PH Y SI CS T EA CH ER 第 3 5卷第 4期 2 01 4 生 平面极坐标 系在 高中 物理竞赛 中的应用 殷正徐 ( 江苏省沐 阳高级 中学 ， 江苏 沐阳 2 2 3 6 0 0 ) 摘 要 ：利用极坐标 系是解决平面 内绕定点转动 问题 的“ 通法” 本 文介 绍 了平 面极坐标 系及 物体在极 坐标 系 中 的描述 ， 以竞赛 中常见的拉船模 型、 天体运 动和平 面追 击问题 为例 ， 介绍极坐标 系的具体应用 关键词 ：极坐标系； 天体运 动； 定轴转动 ； 犬狼追 击 1 极坐 标 系简介 为 了描述
2、 质点 平 面运 动 ， 可 以在该 平 面 建立 极 坐 标 系 ， 如 图 1 所 示 在参 考系上 取点 0， 引有 刻度 的射线 O x 称 为极轴 ， 即构成 极 坐 标 系 设 质 点 运动 至 A 点 ， 引O A， r O A称为质点 的矢 径 ； 质 点位 置矢量与 极轴所 夹的角 称 为质点的幅角 ， 通 常规定 自极轴逆 时针 转至位 置矢量 的 幅角为正 ， 反之 为 负 r和 与 平面 上质 点 的位 置 一一 对 应 ， 称 为质 点的极 坐标 在极坐标 系 中亦 可 对矢 量 进行 正 交分 解 质 点在 A 处 ， 沿位 置矢量方 向称 为径 向， 沿此 方 向
3、所 引单位 矢量 叫 径 向单位矢量 ， 记作 r ； 与此方 向垂直 指向 增加 的方向称 为横 向， 沿 此方向的单位矢量叫横向单位矢量 ， 记作 D D 图 1 图 2 2 质 点在极 坐标 系 中运动 的描述 ( 1 )质点的运动方程 ： r r ( f ) ， 一 ( ) ( 2 )质点的轨迹方程 ： r r ( ) ( 3 )质 点 的 位 置 矢 量 ： r r r 如 图 2 ， 质点在 时间发生一段 位移 A r ， 速度 的变化 量 为 移 ( 4 )质点的速度 ： 一l i mA r + 其 中径 向速度 一 一V C O S ， 横 向速 度 一r 一v s i n a
4、 ( 。 为矢径 方向到速 度方向的角度) ( 5 )质点的加速度 ： 一l i m 一 + ， 其 中径 向加速度 n 一rr =a c o ， 横 向加速度 一2 + r =a s i n fl( J 9 为矢径方向到加速度方 向的角度) 3 极坐标系在高中物理竞赛中的应用 3 1 绕定点转动 例 1 如图 3所示 ， 拖 车 A 在水 平的河 岸上 ， 通过定 滑 轮拖动河中的船 B， 当拖车 A 的速度达到 7d 时 ， 它 的加速 度 为 a n ， 此时 O B绳与水平方向的夹角为 0 ， B到0 的距离 一94一 为 L 求 ： 此时船 B的速度 及加速度 a 图 3 解析 ：
5、如 图 4 所示 ， 以 O点 为极 点 ， 水平 向左方 向建立 极坐标系 O x ， 小船 B的运 动可看成两个分运 动的合成 ： 一 是 B沿 绳方 向靠 近 0 点的分运 动 ， 即径 向运动 ； 另一个 是 垂直于 O B绳方 向的运 动 ， 即横 向运动 B 的径 向运 动应与 拖车的运动有相同大小 的各个运动量 A 。 图 4 将 B的运动沿径 向和横向分解可知 ， 一 c 。 s 一 ， 得 对加速 度 ， 如 图 5所 示 ， B 沿绳 方 向的分运动 的加速度 a 一 一r j2 由两 部分 组成 ， 其 中 r一 表 示 物 U 体沿径 向运动产生的加速度 ， 等 于沿
6、绳方 向的加速度 a ， 而一r 表示 由 于矢 径 的转 动所 产 生 的加 速 度 ， 与 2 “ A方 向相 同， 得 “ ， 一 +“ 7 -一 - + - 图 5 B。 s i n 0 ( VAt a n O) 。 一。 一 十 一 由矢量运算法则可知 n 一 C OrI SU一 CO- SU+ COSU L 在求 本题加速度时有一种典 型 的错 误解 法 ： 认 为船 B 沿绳 方 向的加 速 度就 是拖 车 A 的加 速 度 ， 即 a 一n ， 得 第 3 5卷第 4 期 2 Ol 4年 物 理教师 PH Y SI CS T EA CH ER Vo 【 3 5 NO 4 ( 2
7、 Ol 4) 一n c o s 0 错误原因就是死记拉船模型 中船速度应该沿 绳和沿绳垂直 的方 向分解的结论 ， 而不清 楚这样 分解是 依 据极 坐标 系 并且想当然地认 为加速度 的分解应 该与速 度 相 同， 于是犯 了上述错误 例 2 ( 2 O 1 1年华 约 第 2题) 如 图 6所 示 ， 纸 面 内 两根 足 够 长 的 杆 AB、 C D 都穿 过 小 环 M ， 杆 AB两 端 固定 ， 杆 C D 可以在纸 面一 内绕过 D 点并与纸面垂直 的固定轴转动 若杆 C D从 图示 位 置 开 始 ， 按 照 图 中 箭头 所 示 的 方 向 ， 以均 匀 角速 度转 动 ，
8、 则小 环 M 的 加 速 度 ( A)逐渐增加 ( C )先增加后减小 图 6 ( B )逐渐减小 ( D )先减小后增加 鬈： X- AlB，以 D点 为极点 、D 为极 轴建立平面极坐标 系设 Dc _r 一 与 D 所成角度为 ，则小环 Jl l M 的极角为 l I ( 2) ( 3 ) 根据矢量 的合成与分解法则得 一 whc o s p， ( 4) t a n L一 SI N 其 中一 为矢径 r到速度 的角度 小环 M 的加速度 n分解 为径 向加速 度 a 和横 向加速 度 n ， 只需求 出两者中的任意一个就可 以求 出小环 M 的加 速度 由极坐标加速度公式 n 一( 一
9、 ) ； +( 2 + ) ， 可 以看 出本题求解 a 一2 +r 相对简单 由 ( 4 ) 式 得 ： ，一 里 ( 5) 由( 3 ) 式对时间求导得 ： 0 由 ( 3 ) 、 ( 5 ) 、 ( 6) 式 得 ( 6) z 卜 r 一 z 面o2h c o scF ( + 。 = 一 篡 由加速度 的合成与分解得 n 2 ( 0 h s i n a 9 c。s( 詈+ ) 由于 图中 变小 ， n变大 ， 故正确答案是 ( A) 选项 本题 的常见解 法是 先根 据运 动的合 成 与分解 求 出小 环 的速 然删 速度 公 式 一 一 A t求 解 虽说得出相同结果 ， 却 过分 依
10、赖数 学 ， 缺 少必要 的物理 过程分析 ， 不利于学生解题能力 的提升 这道题也可 以先求解 径向加速度 n 然 后进 行合 成 ， 读 者 可 以试 试 3 2星体绕中心天体运动 例 3 已知行 星绕太 阳沿椭圆轨道运动( 开普 勒第 一定 律 ) ， 试证 明行星所受太 阳引力必定 与距 离平方成 反比 解析 ： 行星绕太 阳作椭 圆运 动 时， 在 极 坐标 系 中其 轨 迹方程 为 r 一再 P ， ( 1 ) 其 中 p为半正焦 弦 、 e 为离心率 ， 是两个 常量 由( 1 ) 式对时间 求导 ， 得 =带 一 ( 2 ) 一 j 行 星角 动量 Lr i l l “ 为恒量
11、 ， 一 ， 代人( 2 ) 式得 斗2 r m 再 次对 时间 f 求导 ， 得 e 1 ， e l ，l ，L2 e c o s ( p 一 。 一 叩 一 极 坐标 系中径 向加速 度 n 为 L c Os L 0 r 一 。 一 7 2 F2 ( 一 ) 一 ( 一 专 一 ) 得 。 ：一 一1 ( 3) 一 。一r2 根据 牛顿第 二定 律 ， 行星所受 的径 向力 ( 即引力) 为 F一 n ( 4) 将 ( 3 ) 式代入( 4 ) 式得行星所受太阳的引力为 F =- 对 于固定的行星椭 圆轨 道 ， L和 均为 常量 ， 故 引力 与距离 平方成反 比 讨论 引力 问题 选用
12、 极坐 标系 时原 点选 在不 动 的引力 源上 ， 运动物体受 的力均通过原 点 ， 是 有心力 ， 在 极坐标 中 只有径 向力 ， 没有横 向力 另外 ， 天体 在万 有引力作 用下 的 轨道是圆锥 曲线 ， 用极 坐标 系表示 轨迹 形式 统一 简单 ， 计 算比较容易 例 4 ( 第 2 8届复赛题) 如 图 8所示 ， 哈雷 彗星绕太阳 s 沿椭 圆轨道逆时针方 向运动 ， 其周期 T为 7 6 1 年 1 9 8 6年 它过近 日点 P 。时与太 阳 S的距离 一0 5 9 0 A U， A U 是天 文单位 ， 它等于地球 与太 阳的平均距 离 经 过一段 时间 ， 彗 星到达
13、轨道上 的 P点 ， S P与 S P 0的夹角 一7 2 0 。 已知 ： l A U l _ 5 O 1 0 “ m， 引 力 常 量 G一 6 6 7 1 0 _ 1 N m2 k ， 太阳质量 似 一1 9 9 1 0 k g ， 试求 P到太 阳 S的 距离 r P及彗星过 P点 时速度的大小及方 向( 用速度方 向与 S 的夹角表示 ) Vo1 3 5 NO 4 ( 2 O1 4) 物 理教 师 PH Y SI CS TE AC H ER 第 3 5 卷第 4期 2 O1 4年 Po 图 8 解析 ： 取极 坐标 ， 极点位于 太阳 S所 在 的焦 点处 ， 由 S 引向近 日点的
14、射线 S x为极轴 ， 极角为 0 ， 取逆时针为正 向 ， 用 r 、 表 示彗星的椭圆轨道方程为 r一 ( 1) 一 (1 ) 其 中 为椭 圆偏心率 ， 户是 过焦点的半正焦弦 ， 若椭 圆的半 长轴为 “ ， 根据解析 几何可 知 P一 “(1一 P ) ( 2) 将( 2 ) 式代 入( 1 ) 式得 一 ( 3) 1+e c o s 以 T c表示地球绕 太阳运动 的周期 ， 则 T E 一1 0 0年 ， 以 “ 表示地球到 太阳 的距离 ( 认 为地球 绕 太 阳作 圆周运 动 ) ， 则 “ r 一1 ( ) ( ) AU， 根据开普勒第三定律 16 3一 ( 4) E TF
15、 。 在近 日点 口 一0 ， 由( 3 ) 式得 一1一 一 F o ( 5) 将 、 “ 、 的数据代人 ( 3 ) 式即得 r P一 0 8 95 AU (6 ) 可 以证 明， 彗星绕太 阳作椭 圆运动 的机 械能 E一 一 ( ff r ? y l i n S (7 ) 一 n 、 0， 式 中 m为彗星的质量 以 r表示 彗星 在 P 点时速 度 的大 小 根据机械能守恒定律有 1 In V p 2 + ( 一 ) 一 G TiqTn S 可 得 r 一 号 一 丢 c 。 代 入有 关数据得 P一 4 3 9 1 0 1T IS (1 0) 图 9 设 P点速度方 向与极轴 的夹 角为 ， 彗 星在近 日点 的 速度为 ， 如 图 9 ， 根据角 动量 守恒
