投资组合理论

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1、1第三章 投资组合理论 一、概述 现代投资学最根本的特征是在其理论和方法中对投资风险的关注。他们讨论的一系列 问题的立足点在于投资者的投资决策基于对两个目标预期收益最大化和不确定性（风 险）最小化的全盘考虑。现代投资组合理论为这种全盘考虑提供了一种行之有效的途径。 任何投资者都希望投资获得最大的回报，但是较大的回报伴随着较大的风险。为了分 散风险或减少风险，投资者投资证券组合（portfolio） ，目的是在适当的风险水平下通过多 样化获得最大的预期回报，或者获得一定的预期回报时风险最小。 在 1952 年马柯维茨（Harry M. Markowitz）发表了一篇里程碑性的论文。被公认为 “现

2、代组合理论”的开端。马柯维茨证券组合理论给予证券组合的预期回报和风险以定量 分析。二、资产组合的预期回报和风险 （一）概念资产组合：使用不同的证券和其他资产构成的资产，是一个各种证券和资产的聚集。投资者的持有期：投资者有一笔资金在现时进行投资，这笔资金要投资一段特定的时 间，即所谓投资者的持有期。 回报率：投资者财富在持有期的变化率。其可表示为：期初财富期初财富期终财富回报（二）预期回报 1证券组合预期回报率的计算： 假设证券组合由 n 个基本证券组成。可以计算从 t-1 期到 t 期的预期回报率：(3.1) 11)()(ttt PWWWERE其中，证券组合在 t 时期的财富为 ，是在 t 时

3、期包含在证券组合中的第 i niittXW1itX个基本证券的财富（该财富通常用该证券在 t 时刻的价格来衡量） 。因此，为 t-1 时期1tW包含在组合中的证券的综合价格；为 t 时期这些证券的综合价格，以及从 t-1 时期到 ttW时期之间收到的现金（或等价的现金）的综合值。 niiPRiEwRE1)()(（3.2）其中，表示财富的权重，E 表示期望值，表示资产组合的回报率，表示证券 i 的iwPRiR回报率。2 nititi i XXw11,1,1,1,)()(tititi iXXXERE并且 。11 niiw因此，有两种方法计算资产组合的预期回报。根据(3.1)式，投资者在 t-1 期

4、投资总额为，并且在 t 时期，预期值为，即可计算从 t-1 期到 t 期的资产组合的预期回报1tW)(tWE。根据(3.2)式，时期基本证券的预期回报和在证券组合的市值中占的百分比)(PRE)(PRE（权重）的乘积之和。 2计算示例 例 3.1由甲、乙和丙三种基本证券组成的证券组合，计算在 t 期的预期回报。已知的 证券和证券组合的价值如下： 证券名称证券组合中的 份额t-1 时期每股 市价（元）总投资额（元）权重 （%）甲 乙 丙100 200 10040 35 624000 7000 62002325 4070 3605t-1 期证券组合的市值=17200 元，权重之和=1。1tW假设投资

5、者有一年的持有期，他估计在这一段期限内甲、乙和丙三种证券的预期回报 率分别为 16.2%、24.6%和 22.8%。也就是说，投资者估计这三种证券的期末价值分别为 46.48 元因为(46.48-40)/40=16.2%，43.61 元和 76.14 元。法 1：使用 t 期预期值计算预期回报率tW证券名称证券组合中的 份额t 期每股预期 值（元）总预期值 （元）甲 乙 丙100 200 10046.48 43.61 76.1446.48*100=4648 43.61*200=8722 76.14*100=7614 证券组合的预期值=20984 元)(tWE证券组合的预期回报=(20984-1

6、7200)/17200=22.00%)(PRE法 2：使用证券的预期回报计算证券组合的预期回报 证券名称权重（）iw（%）证券预期回报)(iRE（%）对组合期望收益率的贡献 （%）)(iiREw 甲 乙 丙0.2325 0.4070 0.360516.2 24.6 22.8 0.2325*16.2%=3.77 0.4070*24.6%=10.01 0.3605*22.8%=8.223证券组合的预期回报率=22.00%)(PRE3小结 因为一个组合的预期回报率是其所含证券的预期回报率的加权平均，每一证券对组合 的预期回报率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其 他一切

7、无关。一位仅仅希望预期收益最大的投资者将持有一种证券，这种证券是他认为预 期收益率最大的证券。很少有投资者这样做，也很少有投资顾问会提供这样一个极端的建 议。相反，投资者将分散化投资，即他们的组合将包含不止一种证券。这是因为分散化可 以减少由标准差所测度的风险。 （三）证券组合的标准差 投资者投资总希望获得尽可能大的预期回报，但他们同时需要考虑风险。一个有用的 风险测度应该以某种方式考虑各种可能的“坏”结果的概率及“坏”结果的量值。取代测 度大量不同可能结果的概率，风险测度将以某种方式估计实际结果与期望结果之间可能的 偏离程度。 标准差就是这样一个测度。 1概念 测度风险的标准差：回报相对于它

8、的预期回报的离散程度。 2标准差的计算 （1）如果证券组合由 n 个基本证券组成， 那么证券组合的方差为 ninjijjiPww112（3.3）其中，为证券 i 占投资额的百分比（权重） ；iw是证券 i 和 j 的回报的协方差。当 i=j 时即为证 )()(jjiiijRERRERE券 i 的方差，即。2 iii协方差是两个证券的回报同时变化的测度。如果协方差是正数，证券 i 的回报大于预 期回报，换句话说，证券 i 和证券 j 在同一方向变化。如果协方差是负数，两个证券回报 必向相反方向变化，即其中一个补偿另一个。 为了能更清楚说明两个证券的相关程度，通常把协方差正规化，使用证券 i 和

9、j 的相关系数ijjiij ij（3.4）其中，和分别是证券 i 和 j 的方差。ij相关系数总落在-1 和+1 之间：当时，证券 i 和 j 是完全正相关的；1ij当时，证券 i 和 j 是完全负相关的；1ij4当时，证券 i 和 j 是不相关的。0ij下列各图展现了不同相关程度的两个证券 A 和 B 的回报率的散点图。完全负相关的收益A的收益B的收益完全正相关的收益A的收益B的收益不相关的收益A的收益B的收益图 3-1 两种证券的收益 （2）由两种证券构成的证券组合的方差(3.5）212, 1212 22 22 12 122wwwwP当时， 12, 12211wwP当时，12, 1|221

10、1wwP当时，02, 121 2 22 22 12 1)(wwP显然，证券组合的标准差在时最大，时最小。12, 112, 13计算示例例 32有两种证券的预期回报和标准差分别为，；%20)(1RE%101，。并且权重，。试分别计算%30)(2RE%202%401w%60iw=1，0.5，-0.5，和-1 时的证券组合的标准差。2, 15时12, 1%16%20%60%10%402211wwP时5 . 02, 1%42.14)2 . 01 . 05 . 06 . 04 . 022 . 06 . 01 . 04 . 0()2(21 222221212, 1212 22 22 12 1wwwwP时0

11、2, 1%65.12)2 . 06 . 01 . 04 . 0()(21 222221 2 22 22 12 1wwP时5 . 02, 1%58.10)2 . 01 . 05 . 06 . 04 . 022 . 06 . 01 . 04 . 0()2(21 222221212, 1212 22 22 12 1wwwwP时，12, 1%8|2 . 06 . 01 . 04 . 0|2211wwP4小结 可以看出，证券组合通过多样化减少了风险，即使在这两个证券完全正相关的情况下， 证券组合的标准差也比基本证券中第二个证券的标准差要小。从上述情况可知，两个证券 的相关程度对证券组合的标准差有很大影响

12、。随着相关程度从完全正相关到完全负相关， 证券组合的标准差减小到最小。不过在实际操作中很难找到完全负相关的证券。 总之，投资组合的标准差依赖与各基本证券的标准差、投资比例以及同其他基本证券 间的协方差。所以一般地，投资者可购买的证券组合由无穷多种，他们需要从中找出最优 的证券组合。因此，导出有效集理论。三、证券组合分析 （一）Markowitz 有效集 1可行集 （1）概念6可行集feasible set：可行集也称为机会集，它代表由 N 种基本证券所形成的所有组合。（2）图示图 3-2 对可行集的位置提供了描述。所有可能的组合可以位于可行集的边界上或内 部（图中的 G、E、S 和 H 就是这

13、样的组合的例子） 。一般的，这个集合有一个如图所 示的伞形形状。依赖于所包含的特定证券，它可能更右或更左，更高或更低，更胖或更 瘦一些。除非出现反常情况，其形状看起来应该与图中所示相似。S)(PREH可行集EGP图 3-2 可行集和有效集横轴为标准差，纵轴为预期回报。P)(PRE2有效集（1）概念有效集（有效边界）efficient set（frontier）：可行集中满足下列两个条件的证券组合 叫做 Markowitz 有效集：（1）对每一风险水平，提供最大预期回报率； (2) 对每一预期回报率水平提供最小的风险。 (2) 图示将有效集定理应用于可行集可对有效集进行定位。 首先，满足的一个条

14、件的组合集必须被确定。如图 3-2，没有哪一个组合提供比组合 E 更小的风险，同时也没有一个组合提供比 H 更大的风险。于是，随着风险水平的变化， 提供最大预期回报率的组合集是可行集介于 E 和 H 之间的“北部”边界上的组合集。 接下来考虑第二个条件，没有哪个组合提供比组合 S 更大的预期回报率，同样，没有 哪个组合提供比组合 G 更低的预期回报率。于是随着预期回报率水平的变化，提供最小风 险的组合集是可行集介于 G 和 S 之间的“西部”边界上的组合集。 为了确定有效集，两个条件必须被同时满足。我们可以看到只有位于 E 和 S 之间的 “西北部”边界上的组合是如此。由此，这些组合形成有效集

15、，从这个有效组合的集合中， 投资者将发现他的最佳组合，所有其它可行组合是无效组合。 （3）组合的边界根据例 3.2，按照不同的相关系数和权重得到的证券组合（，）的不同值，)(PREP我们可做出图 3-3。图中，绿线为时的证券组合；红线为时的证券组合。117证券组合边界的上限和下限分别出现在两种证券的相关系数为+1 和-1 的时候，这就意 味着，这两种证券的任何组合的标准差不会位于连接着两种证券的直线（AB）的右边；也 不会位于连接这两种证券的折线（ACB）的左边。)(PRE30% BC10% A10% 15% 20% P图 3-3 证券 A 和 B 构成的证券组合 （4）组合的实际位置从图 3-3 中我们还可看出，兰线为时的证券组合；绿线与兰线之间的为0时的证券组合；兰线与红线之间的为时的证券组合。所以，如果相关系5 . 05 . 0数小于 0，组合曲线将更加向左弯曲；如果相关系数大于 0，向左弯曲程度减弱。证券组合 随着基本证券所这相关系数减小而凹向纵轴。因此，相关系数在-1 和+1 之间的有效集是凹 的。 （5）有效集的凹性 有效集不可能不是下凹形的。如果在图 3-4 中有