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1、1递递推数列推数列问题问题类类型一：型一：（ （可以求和）可以求和）累加法累加法1( )nnaaf n f n 解决方法类类型二：型二： （ （可以求可以求积积） ）累累积积法法1( )nnaf na( )f n 解决方法类类型三：型三：待定常数法待定常数法1(nnaAaB其中A, B为常数A0, 1） 解决方法类类型四：型四： （ （且且）（解法方式）（解法方式较较多）多）1( )nnapaf n0p 1p 一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列类类型五：型五： 110nnnAaBaCa ；其中A, B, C 为常数，且A B C 0可将其转化为-（*）的形式，列出方程组11
2、2nnnnA aaaan,解出还原到（*）式，则数列是以为首项， 为AB C , ; 1nnaa21aaA公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。na类类型六：型六：（ （） ）倒数法倒数法1n n nc aapad0c p d解决方法类类型七型七 求非线性递推数列的通项（以下三个定理属于了解，不能直接应用，需要推导再应用）求非线性递推数列的通项（以下三个定理属于了解，不能直接应用，需要推导再应用）定理定理 2 设，且是的不动点，数列满足递( )(00)axbf xcadbccxd，xx12、f x( )an推关系， （）若，则数列是公比为的af ann()12,3,.n 12xxax
3、 axnn 12ax c ax c 12等比数列；（），则数列是公差为的等差数列。120xxx10axn2c ad定理定理 3 3 设，且是的不动点，数列满足递推关系2 ( )(0)2axbf xaaxdxx12、f x( )an，则有；若，则是af ann()12,3,n L2111122()nnnnaxax axax11120ax ax12lnnnax ax2公比为的等比数列。2定理定理 4 设且是的最小不动点，数列满足递推2 22( )(0),4bbf xaxbxaa0xf x( )an关系，则有af ann()12,3,n L2 010() .nnaxa ax定理定理 5 设且是的不动
4、点，数列满23 32 2( )(0),3273bbbf xaxbxxaaaa0xf x( )an足递推关系，则有af ann()12,3,n L3 010() .nnaxa ax类类型八：周期型型八：周期型例 1、若数列满足，若，则的值为_。 na ) 121( , 12)210( ,21nnnnn aaaa a761a20a解析：根据数列的递推关系得它的前几项依次为： na；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期；6 5 3 6 5 3 6.7 7 7 7 7 7 7，.2025 7aa评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期 性，问题就迎刃
5、而解。1、已知数列满足，则= （ B ）na)(133, 0* 11Nnaaaann n20aA0BCD33232、在数列中， -4na.19981221, 5, 1aaaaaannn求3 已知数列满足，求。 na211annaann211na31 2nan4 设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一(3)n点若用表示这条直线交点的个数，则 ；当时， ( )f nn(4)f4n ( )f n （用表示） n5、已知， ，求。 31annanna23131) 1( nna36、已知,求数列通项公式. 11a 1()nnnan aa*()nN na7、已知数列满足，求
6、通项公式？ na11,a 12nnnaana8、已知数列满足，求数列的通项公式。an3aa5) 1n(2a1nn 1n，an9、已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项1321) 1(32 nnanaaaa10、已知数列a中，a=1，a= a+ 1求通项a n1n21 1n(2)n n11、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式. na1122nnaa11 3a na12、已知数列满足，求通项na112,2(21)nnaaanna13、在数列中，求通项公式。anaaannn113 2263，an14、已知数列中，,，求。 na651a1 1)21(31 n nnaana15
7、、已知数列a ，a=1, nN ，a= 2a3 n ,求通项公式a n11nnn16、已知数列满足，求数列的通项公式。an3a132a3a1n n1n，an17、 已知中，求. na11a 122 (2)n nnaanna18在数列中， ，求数列的通项公式。 na15a * 12212,n nnaannN na19.已知数列满足，求数列的通项公式。an1a425a3a1n n1n，an20 已知数列前 n 项和. na2214nnnaS求与的关系； （2）求通项公式. 11nanana21.已知、,求12a 23a 116nnnaaa(2)n na41、已知数列满足，则= （ B ）na)(1
8、33, 0* 11Nnaaaann n20aA0BCD33232、在数列中， -4na.19981221, 5, 1aaaaaannn求3 已知数列满足，求。 na211annaann211na31 2nan4 设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一(3)n点若用表示这条直线交点的个数，则 5 ；( )f nn(4)f当时， （用表示） 4n ( )f n 22 2nnn5、已知， ，求。 31annanna23131) 1( nna6 31nan6、已知,求数列通项公式. 11a 1()nnnan aa*()nN nanan7、已知数列满足，求通项公式？ （）
9、 na11,a 12nnnaana222nnna 8、已知数列满足，求数列的通项公式。an3aa5) 1n(2a1nn 1n，an2123! 25nn n nan 9、已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项1321) 1(32 nnanaaaa1 ! 2nan 1 2n n 10、已知数列a中，a=1，a= a+ 1求通项a n1n21 1n(2)n n122n na11、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式. na1122nnaa11 3a na111423n na512、已知数列满足，求通项na112,2(21)nnaaanna15 221n nan 13、在数列中
10、，求通项公式。anaaannn113 2263，an9 2nna 14、已知数列中，,，求。 na651a1 1)21(31 n nnaana223nna 15、已知数列a ，a=1, nN ，a= 2a3 n ,求通项公式an11nnn32nn na 16、已知数列满足，求数列的通项公式。an3a132a3a1n n1n，an51(2) 362n nan17、 已知中，求. na11a 122 (2)n nnaanna122n nan18在数列中， ，求数列的通项公式。 na15a * 12212,n nnaannN na解析解析：在中，先取掉，得1221n nnaa2n121nnaa令，得
11、，即；12nnaa1 112(1)nnaa 然后再加上得 ；2n11212nnnaa11212nnnaa两边同除以，得2n1 1111;22nn nnaa 是以为首项，1 为公差的等差数列。1 2n na 1122a ， 12112n nann211n nan评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上 n 的其它式子，再构造或待定。( )f n19.已知数列满足，求数列的通项公式。an1a425a3a1n n1n，an解析：在中取掉待定135 24n nnaa 5 2n令，则13nnatat 132nnaat， ；再加上得，24t2t 1232 ,nnaa5 2n6，整理得：，12325 2n
12、nnaa 1 12235 2222nn nnaa 令，则2 2n nnab135 22nnbb令 ；13,2nnbtbt 13 22nntbb5,5;22tt即；数列是以为首项，为公比的等比13552nnbb5nb 1 12135522ab3 2 数列。，即；整理得113 3522nnb1213 35222n n na113 35 22nn na 20 已知数列前 n 项和. na2214nnnaS求与的关系； （2）求通项公式. 11nanana解析：时，得； 111n 11142asa11a 时，；22n 1123114422nnnnnnnassaa得。111 22nnnaa（2）在上式中两边同乘以得；12n1 1222nn nnaa 是以为首项，2 为公差的等差数列；2nna数列1 122a ；得。22222n nann12nnna21.已知、,求12a 23a 116nnnaaa(2)n na 19123105nn na
