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1、整数幂之和帕斯卡公式的一种几何解释 P a r a me s L a o s i n c h a i Bh i n y o Pa n i j p a n 摘要 我们给出了整数幂之和 P a s c a l ( 帕斯卡) 公式的一种几何解释，并且将其 推广至等差数列幂之和的公式此外还讨论 了一些其他公式的相关解释 1 引言 1 6和 1 7 世纪，一些数学家提出了整数幂和公式的一些不同的可推广的推导，但是 B 帕斯卡 ( 1 6 2 3 -1 6 6 2 ) 是首位通过对下列二项展开式应用 缩叠和 ( t e l e s c o p i n g s u m ) 技术 而明确阐明其一般公式的数学家
2、 ( 例如，见 2 】 和 【4 ， P 8 2 8 3 ) ： c p+ l _ iP+ l -_ 煮 ( ； ： 将等式从i =1 到 n 求和， 并且展开二项式系 数 ( ： ) ， 得到 c时 ，pA-1 1 - 喜 ：0 、 。 t： 1 等式两边除以 P+1 ， 并将乘积写成二项式系数得到 = = PP k + ( +1 ) 鲁 + 1 鲁 注意到 i p 的系数是 1 将等式写成整数幂和的显式公式得到 筹 一 、pn + l + 喜 ) 据我们所知，已被几何解释的只有等差数列，而不是一个等差序列幂部分级数 ( 例 如，见 3 ， p 3 5 J 和 1 ， p 1 4 】 ) 本
3、文中，我们给出了一种从 P ：1 开始对公式 ( 1 ) 的几何解 释，以及相关公式的一些解释我们的解释也适用于等差数列的幂和 2 整数和以及平方和 图 1( 参阅 5 】 ) 展示了所有正方形的总面积等于右边外接三角形面积与所有小三角 形总面积的差即， 一 ， 也即当P=1 时的等式 ( 1 ) 类似地，图2 ， 图 l 的三维拓展， 说明所有立方体的总体积可 以通过外接直角正方形四棱锥减去超出部分得到即 i2 - 一 ( + 主 i=1 t =1 u u 即当 P=2时的等式 ( 1 ) 译自： T h e A me r Ma t h Mo n t h l y ， V o 1 1 1 9(
4、 2 0 1 2 ) ， N o i ， p 5 8 r _ 6 4 ， A G e o me t r i c I n t e r p r e t a t i o n o f P a s c a l S F o r mu l a f o r S u ms o f P o w e r s o f I n t e g e r s ， P a x a me s L a o s i n c h al a n d B h i n y o P a n ij p a n ， fi g u r e n u mb e r 7 Co p y r i g h t 2 0 1 2 t h e Ma t h e ma
5、t i c a l As s o c i a t i o n o f Ame r i c a Re p r i n t e d wi t h p e r mi s s i o n Al l r i g h t s r e s e r v e d 美国数学协会授予译文出版许可 2 8 5 卜n 卜n+ l一 图 1从外接三角形减去 超出部分得到整数和 3 立方和 图 2 从外接棱锥减去超出部分得到平方和 图 2左端是一个阶梯棱锥，它的第 i 层 ( 从上往下数) 包含 i i 个单位立方体，形成 一个单位高、以正方形为底的盒子这个阶梯棱锥内接 于右端的棱锥，这个棱锥有一个 ( n +1 ) (
6、n +1 ) 正方形底，并且在顶部变成一个点，顶点距底高 n+1 以此类推，将阶 梯棱锥推广到四维，生成一个超阶梯棱锥，它的第 i 层是一个以 i i X i 立方体为底单 位高的超盒子这个超阶梯棱锥 内接于一个超棱锥，它有一个 ( n+1 ) ( n+1 ) ( n+1 ) 立方体底，并且顶部为一个点为了方便讨论，以这个外接超棱锥的定向为我们对 底 和 顶 的参考框架 当 P =2 时， 需要被减去体积的基本块有 2 种形状： 三棱柱和小棱锥 它们都以单位 正方形为底 ( 二维) ， 但是三棱柱的顶是单位边 ( 一维) ， 而小棱锥的顶为点 ( 0维) 当 P=3 时， 需要被减去超体积的基
7、本块有 3种形状： 都以单位立方体为底且它们的顶为单位正方 形，单位边， 或点以 表示底和顶的维数分别为 P和 k的基本块例如，图 2中的一 个小棱锥和一个三棱柱可以表示为V 和 岍 注意， 一个 时 的超体积为 1 ( Ip 一 l +1 ) ( 例如，这可以通过积分得到) 在图 2中，如果我们通过在每一正方形层沿正方形两相邻 的边添加单位正方体， 并在顶部加一个单位正方体， 把一个 n n 底的阶梯棱锥变成一个 ( n +1 ) ( 几+1 ) 底的阶梯棱锥，那么外 。接棱锥与一个单层添加的正方体的交就形成一个 L形的楔子， 其底和顶如图 3所示以此类推，当P=3时，单位超立方体应 沿每一
8、立方体层的 3 个相邻的面添加，并在顶部做一个沿每一 边都大出一个单位的超阶梯棱锥， 并且外接超 棱锥与这些添加的超立方体的交为一些 孵 一个单层的所有 wk的并形成一个区域，其 底为一个中空立方体的单位厚度的 3面墙 ( 图 4 ( a ) ) ， 其顶为 3面墙的内表面 ( 图 4 ( b ) ) 观察 此区域第 i 层的底， 就会知道沿墙每一面有 i 个 孵 的底因此有 3 i 。个 孵 类似 地，沿此墙的每一边有 i 个 的底，并且每 面墙有 3 个边 ( 图 4 ) ， 即共有 3 i 个 孵 2 8 6 图 3 第 3层 L形楔子 的底 ( a ) 和顶 ( b ) 图 4超出区域
9、的第 3 层的底 ( a ) 和顶 ( b ) ( 虚线表示虚拟的，用来对由 3个相互垂 直的平面所形成的隐藏角点提供 透视) 此外，在顶部及每层的顶点有一个 曙 因此等式变为 i3 - 一 ( + 兰 “ 3 即当 P=3时的等式 ( 1 ) 4 一般推广 为了确定更高维中每一面超墙中超边的数目， 注意到因为形成一条边需要 3 个 ( 2 维) 面中 的2 个面 ， 图4 ( b ) 中的 墙包 含3 条( 1 维) 边 ， 因 此 总 共有( ； ) 条 边， 以 及沿 每 条边 有 i 个 哪 对于一般情形 i P ， 形成一个 k ) 维的边需要 P个 一1 ) 维面中的 k个面，因此
10、总共有 ( ) 条这样的边，以及沿每条边有 i 个 这样，所有 的总超体积为 ， - 1 此外，所有 (P 一1 ) 维面交于每层的顶点，形成一个 +1 ) 维的小棱锥在 (P +1 ) 维外 接棱锥的顶部有一个类似的超出部分，因而共有 +1 个小超棱锥从外接超棱锥中减 去超 出部分得到等式 ( 1 ) 5 一个带交错符的类似等式 可以直接验证，对 i p + 一( i 一1 ) “ 的二项展开式应用缩叠和技术即得到下列整数幂 和公式： E” ip = 筹+ 娄 这个公式更能吸引一些人是因为等式右边 第一项是 n的而不是 札 +1 的幂 它的几何 解释与帕斯卡公式的几何解释非常相似， 只是略复
11、杂一些图 5( 也可见 6 】 和 1 ， p 2 0 ) 阐明了当 P=2时两种解释之间的 区别不同于从外接棱锥 中减去三棱柱， 我们需要在内接棱锥上加上一些倒置的棱 图 5对内接棱锥加上超出部分 ( 并减去重叠部分)得到平方和 柱然而，在两条边在角点相遇之处，两个倒置棱柱重叠形成一个倒置的棱锥，它应被去 掉这些倒置棱柱是阶梯棱锥中处于内接棱锥外部的单位立方体的一部分总之，考虑 一个单层，不同于从外接棱锥中减去所有不重叠 参的并，我们应在内接棱锥上加上所 有 的并，其中有一些是重叠的 类似地，当P=3时，图 4( a ) 描述了在 第 层中所有 w的并的顶，并且相应的 底与其 外 表面相似对
12、于沿着墙的边的每一个单位 ，两个 w 重叠形成一个 ， 这个 应被去掉在每一层的顶点处， 3个 和 3 个 重叠 ( 图 4 ) ， 彼此抵消因此它 们的重叠部分 应被加回去一个第 3 级重叠 ( 在更高维中) 包含带交错符号的 ( ) 个 w L1 ， ( ) 个w L2 ， 以及( ) 个w L3 所以， 既然我们已 加上了4 6 + 4 =2 份重叠， 2 8 7 则应减去一个 嘤 4 一般地， 一个第J 级重叠包含3 ( 一 1 ) 冲 ( 专 ) i 由 于一个展 式中的所有二项式系数的交错和为 0( 可以通过展开 一 ) n验证) ， 因而对奇数的 J ， 诸 畦 的数量和为 2
13、， 对偶数的J 它为 0 ， 这意味着为了计数的不重不漏，我们应交错地减 去和加上相继等级的重叠，其结果为等式 ( 2 ) 对于两种解释，如果只为美观，阶梯 ( 超) 棱锥也可以做成对称的 ( 以致所有层的中 心是垂直对齐的) 当 P=2时 ( 见图 2和图 5 ) ， 这样的对称化会造成三棱柱的数量变为原 来的两倍，每一个的体积是原来三棱柱的一半，并使小棱锥的数量变为原来的 4倍，每 一个的体积是原来小棱锥的 1 4 在更高维中，类似的对称化会造成 以及 从相 对面，相对边或相对角点中均匀分裂，不改变它们的总超体积 6 等差数列幂和 我们的几何解释可以被应用到 等差数列 a ， a +d ，
14、 ， n +( n 一1 ) d 幂 和的帕斯卡公式上对等差级数， 图 1中阶梯的第一列的宽度 由 a 代替，同时其他各列的宽度由d 代 替 每一层的高度仍然是 1 这样， 外接三角形宽 a +n d ， 高 等 +n 图 图6等差数列 平方和的解释 6阐明了当 P=2时的解释可直接验证，推广这个解释到更高维就得到以下等式 ( n +i d )p =丽( a +n d ) p + I ap +1 + P p k n -1 + ) 7 完成超立方 在 7 】 和 8 】 中， 对整数和以及 平方和的情形 T u r n e r论证了幂和 的一 个几何解释 虽然 这个等式 是个隐式，但是她的解释是
15、如此巧 妙，以至于值得将其推广至更高维 度平方和的解释依赖于由 3个阶 图 7从 ( I I ) 中 3种角度 ( i ) ， ( i i ) 和 ( i i i ) 构成 立方体的组成部分 ( I ) ( A ， B ， C和 D ) 梯棱锥形成一个立方体的能力，其中的 2个 ( 图 7中的 B和 C)比待拼棱锥少一层，还 有一组亦短一层的台阶这组台阶组成的短阶梯棱锥 ( 图 7中的 D) 被旋转，并被放置在 待拼棱锥的顶部，以沿着这个 n x n 礼立方体的对角线留出空间， 在此立方体中短阶梯 可以被拆开以与其吻合在更高维中，这可以通过在相继等级的边上接连地放置更小的 部件来实现这样， ( 2 ) 的解释与我们的完全相同，而其他项或多或少是不言自明的 致谢、参考文献 ( 略) 2 8 8 ( 李春英 译 陆柱家 校) 、 p ， 、 一 “ _I
