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1、第九章习题解答1.已知矩阵 4114114114,30103212321AA试用格希哥林圆盘确定 A 的特征值的界。解：, 24)2(, 33)1( 2.设是矩阵 A 属于特征值的特征向量，若，Txxxx),.,(321 ixx 试证明特征值的估计式. nijjijiiaa1 解：,xAx xAxxAxi 由 得 ixx ininiiiixxaxaxa LL11jnjiiijiiixaxa 1)( jnjiiijjnjiiijiiixaxaxa 11 njiiij ijnjiiijiiaxxaa11 3.用幂法求矩阵 的强特征值和特征向量，迭代初值取。 1634310232 ATy)1 , 1
2、 , 1()0( 解：y=1,1,1;z=y;d=0; A=2,3,2;10,3,4;3,6,1; for k=1:100 y=A*z; c,i=max(abs(y); if y(i)0,c=-c;endz=y/c if abs(c-d)0.0001,break; end d=c end11.0000=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z11.0040 =c ,0.7498
3、) 1.0000 0.5000(z10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z11T(11)10T(10)9T(9)8T(8)7T(7)6T(6)5T(5)4T(4)3T(3)2T(2)1T(1) 强特征值为 11，特征向量为。T
4、0.7500) 1.0000 0.5000(4.用反幂法求矩阵 最接近 6 的特征值和特征向量，迭代初值取 111132126 A。Ty)1 , 1 , 1()0( 解：y=1,1,1;z=y;d=0; A=6,2,1;2,3,1;1,1,1; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AAz; c,i=max(abs(y); if y(i)0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)0.0001,break; end d=c end d=6+1/c0.7764 =c ,0.2422) 0.5229 1.0000(z0.7763=c ,0.2422) 0.5230
5、 1.0000(z0.7767 =c ,0.2421) 0.5227 1.0000(z0.7754=c ,0.2425) 0.5236 1.0000(z0.7794 =c ,0.2411) 0.5210 1.0000(z0.7675 =c ,0.2457) 0.5286 1.0000(z0.8042 =c ,) 0.2303 0.5066 1.0000 (z0.7000= c ,0.2857) 0.5714 1.0000(z1.1111 = c ,0.1000) 0.4000 1.0000(z9T(9)8T(8)7T(7)6T(6)5T(5)4T(4)3T(3)2T(2)1T(1) 最接近 6
6、 的特征值为 6+1/c=7.2880，特征向量为。T0.2422) 0.5229 1.0000(5.设非奇异，A 的正交分解为 A=QR，作逆序相乘 A1=RQ，试证明nnRA （1）若 A 对称则 A1也对称； （2）若 A 是上 Hessenberg 阵，则 A1也是上 Hessenberg 阵。证明：（1），AQQAQQRQAQRAT 1 1,对称111,AAAQQQAQATTTT （2）A 是上 Hessenberg 阵，用 Givens 变换对 A 作正交分解，即), 1()2 , 1()2 , 1()3 , 2(), 1()2 , 1()3 , 2(), 1(,)2 , 1()3
7、 , 2(), 1(1nnRARRRnnRAQQARRnnRQRARRnnR TTTT LLLL显然 A1也是上 Hessenberg 阵。6.设矩阵 2111A（1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求 A 的强特征值和特征向量； （2）用 QR 算法作一次迭代，求 A 的特征值； （3）用代数方法求出 A 的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。 解：（1）2.6181=c ,1.0000) 0.6180(z2.6182=c ,1.0000) 0.6181(z2.6190 =c ,1.0000) 0.6182(z2.6250 =c ,) 1.0000 0.6190 (z2
8、.6667= c ,1.0000) 0.6250(z3 = c ,1.0000) 0.6667(z6T(6)5T(5)4T(4)3T(3)2T(2)1T(1) A 的强特征值为 2.6181，特征向量为T1.0000) 0.6180(（2）for i=1:10 Q,R=qr(A); A=R*Q end 0.3820 0.00000.0000 2.6180,0.3820 0.0002- 0.0002- 2.6180,0.3820 0.00160.0016 2.61800.3820 0.0112- 0.0112- 2.6180,0.3846 0.07690.0769 2.6154,0.5000 0
9、.5000-0.5000- 2.5000654321AAAAAAA 的特征值为 2.6180，0.3820（3），特征值132111I-A2 55 . 05 . 11,2 特征向量T)1 ,55 . 05 . 0( 7. 设矩阵 111120102 A（1）用 Householder 变换化 A 为对称三对角阵。1A（2）用平面旋转阵对进行一步 QR 迭代计算出。1A2A解：（1）,)1 , 1(,)0 , 1(, 1)1(TTyxuyHxx 2 1- 01- 1 10 1 2 ,010100001,0 11 022HAHHuuuuIHTT(2) , 0.0000- 0.0000- 0 0.0
10、000- 2.4000 0.48990.0000- 0.4899 2.60002 A8. 用带位移的 QR 方法计算下列矩阵的全部特征值。 110121013)2( ,320010124)1(AA解：（1）for k=1:20 p=A(3,3); AA=A-p*eye(3); Q,R=qr(AA); A=R*Q+p*eye(3) end, 3.0000 0 0 2.0000 1.0000 0 2.1213 0.7071- 4.00001 A全部特征值为 4 , 1 , 3 (2) , 0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.0000-0.0000- 0.0000- 3.7321
11、 , 0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.00010.0000 0.0001 3.7321, 0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.00040.0000 0.0004 3.7321 , 0.2679 0 0 0.0000- 2.0000 0.00160.0000 0.0016 3.7320, 0.2679 0.0000 0 0.0000- 2.0000 0.0062 0.0000 0.0062 3.7320 , 0.2679 0.0000 0 0.0000- 2.0004 0.02490.0000 0.0249 3.7317, 0.2680 0.0072 0 0.0072 2.0057 0.09930.0000 0.0993 3.7263 , 0.6667 0.7454 0 0.7454 1.7333 0.48990.0000 0.4899 3.600014131197531
