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1、20112011 中考冲刺数学专题中考冲刺数学专题 1010几何计算问题几何计算问题【备考点睛备考点睛】几何计算问题常见的有：求线段的长、求角的度数，、求图形的面积等。研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”具有广泛的意义：一、几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；二、当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段
2、，是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。因此几何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题，在填空选择各类题型中都可以体现，且往往会多处出现。【经典例题经典例题】类型一、用解直角三角形的知识进行几何计算类型一、用解直角三角形的知识进行几何计算例题例题 1 如图，在中，。将绕点 C 逆时ABCRt190BC，ACACBABC 针旋转 30得到， 与 AB 相交于点 D。求 BD 的长。111CBA1CB解答：解答：分析：注意到若作于点 G，如图（1）则,45B
3、CBDG 可得中，DG=BG，同时在，DBGRt30DCG，CDGRt中 而 CB=1，从而可构造关于 BD 的方程，求得其值。 解：如图（2），作于点 G，设 BD=，CBDG x中，DGBRtQ,45BxBDBGDG22 22在中，DCGRt301CBBDCG。xxDGCG26 2233即解得。, 1CBBGCGQ, 122 26xx226 x的长为。BD226 例题例题 2 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/CD，AD=BC，延长 AB 到 E，使 BE=DC，连结 CE，若于点 F，且 AF 平分求的值。CEAF ,52,AECDDAECAFsinABEDCFG解答：解答：首先，在
4、中，ACFRt,sinACCFCAF 剩下的任务就是去求 CF 和 AC 之间的数量关系，如去求出 CF 用 AC 表示的代数式。 为此，去研究相应的条件： 由 ABCD 为等腰梯形，BECD 为平行四边形（BE/CD，BE=CD），可知： AC=BD=EC；由知 且 AF 平分得是等腰三角形，CEAF BDAF ,BADABD设 AF 交 BD 于点 G，则ACBDBG21 21由 BG/EC，知,ABGAEF,53 521AECDAE AEBEAE AEAB EFBG.65)21(35 35ACACBGEF如此一来，,61 65AFACACEFECCF当然就有。6161sinACACACC
5、FCAF例题例题 3 如图，把一副三角板如图（1）放置，其中90DEC，ACB45 ,A，斜边把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到30D6,ABcm7,DCcm如图（2）， 这时 AB 与相交于点，与 AB 相交于点 F。CEDCDOED （1）求的度数；OFE （2）求线段的长；AD （3）若把三角形绕着点 C 顺时针再旋转 30得到，这时点 B 在CED CED 的内部，外部，还是边上？证明你的判断。 CED解答：解答：分析：对于（1），如图（3），设 CB 与相交于点 G，则可通过与EDOFE内角的关系，求得的值；, CGEFGB OFE对于（2），可先推出，并导出的长；90
6、AOD,ODOA对于（3），设直线 CB 交于，应在中计算出的长，为此为基础 EDB CEBRtCB 进行判断。 解：（1）设 CB 与相交于点 G，如图（3），则：ED CGEBFGBBOFE180EBCEB。120901518045（2）连结，ADAODOD FOFD Q 1803018012090OD FOFE 又，ACOcmABBCAC451530,6,而Q。cmOCOBOA3 在 （3）cmCOCD，OD，AOAODRt4373中。cmAD54322（3）点 B 在内部，理由如下： CED 设 BC（或延长线）交于点， EDB,453015 CEB在，CEBRt中 cmCECB227
7、 2又，即点 B 在内部。cmcmCB22723Q, CBCB CED例题例题 4 如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们 重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）A、 sin1B、 cos1C、 sin D、cosACBFEODG解答：解答： 分析：将原问题抽象为图（2），在菱形 ABCD 中，顶点 A 到直线A CD 和直线 CB 的距离都为 1，求菱形 ABCD 的面积。为此，作交 CD 的延长线于点 H，则有,CDAH 其中AH，ADAHCDSABCD菱形sin1,sin1 sin1ABCDSADHAH，ADAH菱形即解：应选 A。类型二、用两个三角形相似
8、关系进行几何计算类型二、用两个三角形相似关系进行几何计算例题例题 5 如图，在边长为 8 的正方形 ABCD 中，P 为 AD 上一点，且BP 的垂直平, 5AP分线分别交正方形的边于点 E，F，Q 为垂足， 则 EQ：EF 的值是（ ） A、 B、 8:513:5 C、 D、16:58:3（1）解答：解答：分析：容易看出得BEQRt,BPARt,ABAP BQEQ即。BPBPEQ165 85 21而根据正方形的性质，易知，如图，把 FE 平移至 CG 的位置，由有，,BPARtCGBRtBPCGEF16:5:165:BPBPEFEQ解：选 C。 说明：在本题是将三角形相似、三角形全等结合起来
9、，分别将线段 EQ，EF 借助 BP 表示 出来，从而算出这两条线段的比。例题例题 6 已知，三个边长分别为 2，3，5 的正方形如图排列，则图中阴影分部的面积为 。235ABCDFPEQABCDFPEQG解答：解答：分析：可以用直接法或间接法，但都需要计算出有关线段的长， 这就需要借助于图中的直角三角形的相似关系。 解：如图，QBCMRtBENRtBHIRt则21 105BHIH BEEN BCCM。1212CM25 215EN41513253321 MNFGSS梯形阴影说明：正是借助于图中的相似三角形，使得线段 CM，EN，从而线段 GM，FN 的计算得以 落实。例题例题 7 某装修公司要
10、在如图所示的五角星图形中，沿边每隔 20 厘米装一盏闪光灯，若米，则共需要装闪光灯（ ）15 BCA、 100 盏 B、 101 盏 C、 102 盏 D、 103 盏解答：解答：分析：研究，由计算出 AB 的长来，ABC15 BC如图在中，（正五边形的外角）=72，ABCCBACAB,36A作交 AC 于点 D，则 AD=BD=BC，,ACBD又，得：，BCDABCABBC BCDCABBCBCDCADACAB2 即，也既022BCABBCAB01)(2BCAB BCAB解得。215 BCAB2) 15(215 AB灯的盏数应为1002 . 0 102解：选 A。 说明：在本题，关键是根据特
11、定条件，构造出。BCDABC 例题例题 8 如图，在矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于 O，于点 E，连结 ED，交BCOE GJAFIHNED M CBABCABCDOC 于点 F，作于点 G。BCFG （1）CG 和 CB 有怎样的数量关系？说明理由； （2）若想在 CB 上确定一点 H，使，请依据（1）得出的结果，说出画图的方CHCB4 法（不必说明理由）ABCDOEGF解答：解答：分析：显然，图中有一些相似三角形，比如：（组）；（组）CFGCOECABEFGEDC（组）；（组）等。OEFCDFFECFDA通过分析可知，应用到第组，因为其中含有线段 CG 和 CB（即与）CFGCAB
12、而其中的 CF 又包含在第组的三角形中，这样就有：解：（1）有结论在和中，由 OE/CD，易知.3CGCB OEFCDF ，OEFCDF即,12OECD OFCF,32COCF也即。CACF 31 26 2COCF在和中，CFGCAB,/ ABFGQ，CFGCAB得,31CACF CBCG.3CGCB （2）应这样确定点 H，连结 DG，交 CO 于点 M，作于 H，则应用CBMH 。CHCB4 说明：在不少情况，需从较多的三角形相似关系中选取最为直接的能够实现计算目的的两 对或几对相似三角形，这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达 到的目的的进行深入分析。例题例题 9 在
13、梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=DC=AD=6，点 E，F 分别在线段60ABCAD，DC 上，（点 E 与点 A，D 不重合）且设。,120BEFyDFxAE ,（1）求的函数表达式；xy与（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？xyABCDOEGFHMAEDFCB解答：解答：分析：这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何与代数结合的问题， 其解决的依据就是通过“几何计算”。 解：（1）在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=DC=AD=6，60ABC,60120180,120ABEAEBDAQ,60120180,120DEFAEBBEFQABEDEFABE.。DEAB D
14、FAEDEF.xyxyDFxAE66,Q的函数表达式是xy与；)60(61)6(612xxxxxy（2）。23)3(61 6122xxxy时，有最大值，最大值为。3x当y23说明：象本题这样的几何与代数综合题，正是以“几何计算”作为主要解决工具的。【技巧提炼技巧提炼】几何计算的两种主要方法是：1、借助于解直角三角形；2、借助于三角形的相似关系。1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算（1）凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形，而在这许多情况下，就需要恰当地构造出相应的直角三角形。（2）在图形复合，情况比较复杂时为了在直角三角形中完成计算，还常需要和题目的条件，图形的其他特征相结合，通过有关的性质及定理，把一些数值和数量关系转化到这个直角三角形中去。2、善于用两个三角形相似关系完成几何计算当两个三角形相似时，就会构成相关线段的比例等式，而在比例等式当中，若有一条线段是未知的，而其他线段是已知的或是未知线段
