《2015高考文数一轮--2014年高考真题分类汇编：6.4数列求和、数列的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015高考文数一轮--2014年高考真题分类汇编：6.4数列求和、数列的综合应用（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.4 数列求和、数列的综合应用 考点一 数列求和 1.(2014 课标,17,12 分)已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求an的通项公式;(2)求数列的前 n 项和.2解析 (1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,由题意得 a2=2,a4=3.设数列an的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d= ,从而 a1= .1232所以an的通项公式为 an= n+1.12(2)设的前 n 项和为 Sn,由(1)知 =,则22 + 22 + 1Sn= + +,322423 + 12 + 22 + 1Sn= + +.12323424 + 12 +
2、 1 + 22 + 2两式相减得 Sn= +-1234(123+ +12 + 1) + 22 + 2= +-.3414(1 12 1) + 22 + 2所以 Sn=2-. + 42 + 12.(2014 安徽,18,12 分)数列an满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设 bn=3n,求数列bn的前 n 项和 Sn.解析 (1)证明:由已知可得= +1,即- =1. + 1 + 1 + 1 + 1所以是以 =1 为首项,1 为公差的等差数列.11(2)由(1)得 =1+(n-1)1=n,所以 an=n2.从而 bn=n3n. Sn
3、=131+232+333+n3n, 3Sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1. -得-2Sn=31+32+3n-n3n+1=-n3n+1=.3(1 3)1 3(1 2)3 + 1 32所以 Sn=.(2 1)3 + 1+ 343.(2014 山东,19,12 分)在等差数列an中,已知公差 d=2,a2是 a1与 a4的等比中项. (1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求 Tn.( + 1)2解析 (1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6), 解得 a1=2, 所以数列an的通项公
4、式为 an=2n.(2)由题意知 bn=n(n+1).( + 1)2所以 Tn=-12+23-34+(-1)nn(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1), 所以当 n 为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn) =4+8+12+2n=2(4 + 2) 2=,( + 2)2当 n 为奇数时, Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)( 1)( + 1)2=-.( + 1)22所以 Tn=( + 1)22,为奇数,( + 2)2,为偶数.?4.(2014 四川,19,12 分)设等差数列an的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x的图象 上(n
5、N*). (1)证明:数列bn为等比数列;(2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2-,求数列an1 2的前 n 项和 Sn.2解析 (1)证明:由已知可知,bn=0,2当 n1 时,=2d, + 12 + 1 所以数列bn是首项为,公比为 2d的等比数列.21(2)函数 f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为 y-=(ln 2)(x-a2),它在 x 轴上的截距2222为 a2-.1 2由题意知,a2-=2-,解得 a2=2.1 21 2所以 d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,an=n4n.2于是,Sn=14+242+343+(n
6、-1)4n-1+n4n, 4Sn=142+243+(n-1)4n+n4n+1,因此 Sn-4Sn=4+42+4n-n4n+1=-n4n+1=.所以 Sn=.4 + 1 4 3(1 3)4 + 1 4 3(3 1)4 + 1+ 4 9考点二 数列的综合应用5.(2014 安徽,12,5 分)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2.过点 A 作2BC 的垂线,垂足为 A1;过点 A1作 AC 的垂线,垂足为 A2;过点 A2作 A1C 的垂线,垂足为 A3;,依此类推.设 BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,则 a7= . 答案 146.(2014 广东,19,1
7、4 分)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn满足-2(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*.(1)求 a1的值; (2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数 n,有+0,a1=2.(2)由-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,2得Sn-(n2+n)(Sn+3)=0, 又 an0,所以 Sn+30, 所以 Sn=n2+n, 所以当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+n-1=2n, 又由(1)知,a1=2,符合上式, 所以 an=2n.(3)证明:由(2)知,=,1 (+ 1)1 2(2 + 1)所以+1 1(1+ 1)1 2(2
8、+ 1)1 (+ 1)=+1 2 31 4 51 2(2 + 1)60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列an的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)4=4n-2, 从而得数列an的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n.显然 2n60n+800 成立.当 an=4n-2 时,Sn=2n2.2 + (4 2)2令 2n260n+800,即 n2-30
9、n-4000, 解得 n40 或 n60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41. 8.(2014 湖南,21,13 分)已知函数 f(x)=xcos x-sin x+1(x0). (1)求 f(x)的单调区间;(2)记 xi为 f(x)的从小到大的第 i(iN*)个零点,证明:对一切 nN*,有 + + 0,此时 f (x)0, 故 f(x)的单调递减区间为(2k,(2k+1)(kN),单调递增区间为(2k+1),(2k+2) (kN).(2)由(1)知, f(x)在区间(0,)上单
10、调递减,又 f=0,故 x1= ,当 nN*时,因为 f(n)( 2) 2f(n+1)=(-1)nn+1(-1)n+1(n+1)n+10, 且函数 f(x)的图象是连续不断的,所以 f(x)在区间(n,(n+1)内至少存在一个零点.又 f(x)在区间(n,(n+1)上是单调的,故 nxn+1(n+1).因此当 n=1 时, = ;121422 3当 n=2 时, + (4+1) ;121122122 3当 n3 时, + + 12112212124 + 1 +122+ +1( 1)2125 +11 2+ +1( 2)( 1)125 +(1 12)+(1213)+ +(1 21 1)= .12(6 1 1)6223综上所述,对一切 nN*, + + .1211221223
