线代教案第1章行列式

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1、线性代数教案 第 1 章 行列式1第第 1 章章行列式（共行列式（共 4 学时）学时）一、教学目标及基本要求一、教学目标及基本要求 1了解逆序数的概念 2掌握阶行列式的定义和行列式的性质n 3掌握行列式的按行（列）展开定理 4利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值二、教学内容与学时分配二、教学内容与学时分配 1预备知识 2阶行列式的定义 （2 学时）n 3行列式的性质 4行列式的展开 （2 学时）三、教学内容的重点及难点三、教学内容的重点及难点 重点：利用行列式性质及展开计算行列式 难点：行列式的计算技巧四、教学内容的深化和拓宽四、教学内容的深化和拓宽 行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际

2、中的应用，或讲稿中部分结论推广五、思考题与习题五、思考题与习题 思考题：见讲稿 作业：2， （2） ， （4） ， （6） ；3， （1） ， （3） ；7， （1） ， （3） ， （5）六、教学方式与手段六、教学方式与手段 注意行列式定义的引入，应用启发式线性代数教案 第 1 章 行列式2讲稿内容讲稿内容1.1 预备知识预备知识为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用 二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值：),(),(),(332211yxyx

3、yx. 11121332211yxyxyx这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。下面我们 利用线性方程组的求解引入行列式的概念。 设有二元线性方程组)2() 1 (22221211212111bxaxabxaxa可用消元法来解该方程组。1222211211222111222)( :)2() 1 (ababxaaaaaa2111122211222112111)( :) 1 ()2(ababxaaaaaa若，则0)(21122211aaaa21122211211112 2 21122211122221 1,aaaaababxaaaaababx如果我们定义

4、，称为二阶行列式二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行bcaddcbadcba二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简 单表示为DDxDDx2 21 1,其中为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式；22211211 aaaaD （用方程组的常数项代替系数行列式的第 1 列）222121 1ababD （用方程组的常数项代替系数行列式的第 2 列）221111 2babaD 类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组：333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxab

5、xaxaxa线性代数教案 第 1 章 行列式3定义322113312312332211333231232221131211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa D332112322311312213aaaaaaaaa且，则0DDDxDDxDDx3 32 21 1,这里的是由三行三列组成的三阶行列式，每个为三阶行列式的一个元素， 表示行标，表示列标，Dijaij行、列的交叉点就是元素。ijija前面我们定义了二阶、三阶行列式，要引入阶行列式，上面的方法显然是不行的，一方面一方面，行)3( nn列式的阶数增大，等式右边的项数也必增多，写出所有的项数较困难（阶行列式右边有项） ，也没有必n! n

6、要；另一方面另一方面，等式右端每一项的符号何时取正？何时取负？为此，首先介绍，全排列、逆序数等概念。把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列全排列，简称排列。如 3 个不同元素的所有可能排nn3 , 2 , 1列有：.312,321,231,213,132,123个不同元素的所有不同排列的个数，称为排列数排列数，通常用表示，如上nnP63P如求个自然数的全排列数nn , 3 , 2 , 1!123) 1(nnnPn 在个不同排列中，规定某一个排列为标准顺序的排列，一般地，规定从小到大的排列为标准顺序标准顺序（标! n 准排列或称为自然排列） 。如果在一个排列中，而在的前面，则说它们形成了一

7、个逆序（或反序）逆序（或反序） ，njiSSSSS 21jiSS iSjS一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数逆序数，用表示。1nsst 如， ， 0123t1132t3321t)(111小的数的个数后面比sssstn )(22小的数的个数后面比ss )(11小的数的个数后面比nnss)(22大的数的个数前面比ss)(33大的数的个数前面比ss )(大的数的个数前面比nnss如，或510013421365t510121421365t又如).1(2112)2() 1(321) 1( nnnnnnt线性代数教案 第 1 章 行列式4逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为偶数的排列称为

8、偶排列偶排列。 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换。将相邻两个元素对 调，叫做相邻对换。相邻对换。定理定理 1 一个排列中，任意两个元素对换排列改变奇偶性。 证明：分相邻对换与非相邻对换两种情形来证明。情形情形 1：相邻对换.1111mlmlbbabaababbaa 易知经过相邻对换后，中的任何两个元素间的逆序个数没有变化，同时两个元素与11,lmaa bbba,元素所形成的逆序总个数也没发生变化， 因此只有两个元素本身之间的逆序的个数发生11,lmaa bbba,了变化。设，则11lmt aa abbbt当时，即不构成逆序，经过相邻对换后，构成逆序，

9、所以。ba ba,ba,111lmt aababbt 当时，即构成逆序，经过相邻对换后，不构成逆序，所以。ba ba,ba,111lmt aababbt 即不论，还是，经过相邻对换后排列的逆序数不是增加 1 就是减少 1，从而排列的奇偶性发ba ba 生改变。情形情形 2：非相邻对换.111111nmlnmlcacbbbaacbcbabaa 设其对换过程为1 111111.m lmnlmnaa abb bccaababb cc b经过次相邻对换m a经过次相邻对换.111nmlcacbbbaa 共经过了次相邻对换，所以前后两个排列的奇偶性相反。12m推论推论 奇排列调成标准排列的对换次为奇数，

10、偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 有了以的基本概念，我们可以给出阶行列式的定义。n线性代数教案 第 1 章 行列式51.2 阶行列式的定义阶行列式的定义n为了得到阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构，三阶行列式的定义为n322113312312332211333231232221131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa（1）等式右端是 6 项（3！项）之和，其中 3 项为正，3 项为负，每项都是位于不同行不同列的元素的 乘积。（2）每一项各元素的行标排列成，因此右端的任意一项除符号外可写成的形式，其中123 3213

11、21pppaaa为 123 的某个排列。321ppp显然也可把右端每一项的列标排成自然顺序 123，而行标写为 123 的某个排列，即除符号外，行321ppp列式的每一项可写为。321321pppaaa（3）行标排列的逆序数为 0 带正号项的列标排列为 123 312 231 逆序数 0 2 2 带负号项的列标排列为 321 132 213 逆序数 3 1 1 易知带正号的项其列标排列的逆序数为偶数带负号的项其列标排列的逆序数为奇数如果我们假设的逆序数为 ，则三阶行列式可定义为321pppt 32132132133333231232221131211 ) 1(ppppppt ijaaaa aa

12、aaaaaaa仿此可得阶行列式的定义：n定义定义 个数排列成行列的一个表，并按下式计值2nnnDaaaaaaaaannnnnn 212222111211，其中，为的全排列， )(21 )(2121212121) 1() 1(nnnn pppnppptpppnppptaaaaaaD1npptt npp 1n 3 , 2 , 1则称为阶行列式。Dn当取 2 或 3 时即为前面所讲的二阶或三阶行列式，时，n1naa 例例 计算下列行列式的值 1对角行列式线性代数教案 第 1 章 行列式6121111222 12 ()( 1) nnt iiippnp ppnnnaaaaaaa令在行列式中，不论，因此在

13、中只有当nnija0ijajiji都有或 nnpppaaa 2121不为 0，其余各项均为 0。故原式npppn , 2, 1211n2 1121)1(21nnniniinaaaa令 )(212121) 1(nn pppnppptaaa此题不为 0 的元素有这样的特点1nji乘积中，只要有一个元素为 0，则整个乘积为 0，要使乘积不为 0，则每一个元素均不为 0，即 nnpppaaa 2121满足 1, 1,112, 112121 nnpnpnpnpnnpnp原式nnnnnnnntaaa 21)1(211)1(21321)1() 1() 1(3（主对角线以下的元素全为 0，称为上三角行列式）n

14、nnnaaaaaaD00000022211211 解：据行列式的特点，对每个 jiajiaijij0由于，从而不同行不同列的所有元素乘积中，不为 0 的项必须满足 )(212121) 1(nn pppnppptaaaD1, 1, 1, 2, 111121 pnpnpnpnpppnnnn故nnaaaD 22114 1212121223(1)1 ()01000020 ( 1)( 1)0001000nntt ppnpnnn p ppaaaa aaann 2311( 1)!( 1)!tnnnn 线性代数教案 第 1 章 行列式7从行列式的构成可知，不为 0 的项，只有1212,3,1nnpppn pL思考题思考题：用行列式的定义说明：一