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1、2005 -2006 学年第一学期学年第一学期一填空题(每小题 3 分,共 15 分)10 13 1 21 221 11 0 1 5 2 02. 若阶方阵 A 的秩 , 则 0 nrnA 3设,是 5 阶方阵,且3, 则基础解系中含 2 个解向量0rrxAA)(AR4若阶矩阵的特征值为,则 12 AA5设是对称阵的两个不同的特征值,是对应的特征向量,则 0 21,A21, pprr,21pprr 二选择题(每小题 3 分,共 15 分)1若为 3 阶方阵,且,则( C )A2A2A-4 4 -16 162设为阶方阵,满足等式,则必有( ) BA,nOAB 或 或 OA OB 0A0BOBA0
2、BA3设元线性方程组,且,则该方程组( )nbxArrnbARAR),()(r有无穷多解 有唯一解 无解 不确定 4设 P 为正交矩阵,则 P 的列向量( A )A组成单位正交向量组 B. 都是单位向量 C. 两两正交 D. 必含零向 量5若二次型为正定, 则对应系数矩阵A的特征值( )( )fxxAx都大于 0; 都大于等于 0; 可能正也可能负 都小于 0三 (8 分)计算行列式的值2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2D 解212343142 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 2 1 11 2 1 10 1 0 05551 1 2 11 1 2 10 0
3、 1 0 1 1 1 21 1 1 20 0 0 1rr Drrrrrr rr 四 (8 分)设,求 100210321 A1A解: 100 010 001 100210321 ) (EA 100 010 021 100210101 221rr(或用伴随矩阵)13231 0 0 12 1 0 1 0 01220 0 1 001rr rruuuuuuuu r 1002101211A五 (8 分)求齐次线性方程组的基础解系及通解 03203 0 432143214321xxxxxxxxxxxx解: 321131111111A 210042001111 000021001111通解方程组,基础解系,
4、通解为, ( 02043421 xxxxx00111r12012r2211rrkk为任意常数)21,kk六(8 分)已知向量,求向量组的秩及一个极大线性无 32111r 11112r 53313r关组,并把其余向量用极大线性无关组表示解: 513312311111,321rrrA220110220111 000000110111 000000110201极大无关组,且21,rr2132rrr七 (10 分)讨论取何值时,非齐次线性方程组 2 321321321)1 ()1 (0)1 ( xxxxxxxxx(1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解解:法 1 )3(111111111
5、2 A() 当且时,有,方程组有惟一解;030A()当时,3 930 112121211 A 600033300211,所以无解;3)(2)(ARAR()当时, ,方程组有无穷多解0 000000000111 A1)()(ARAR法 2 220001111111110111 A 2)2(000111 ) 1()3(0000111八 (8 分)用配方法将二次型化为标准形,并求可312 32 22 1321422),(xxxxxxxxf逆的线性变换 (或上届题?)解:,2 32 22 3312 132162)44(),(xxxxxxxxxf2 32 22 3162)2(xxxx令,即,所以, 33
6、223112xyxyxxy33223112yxyxyyx 321321100010201yyyxxx变换矩阵 标准形 , 100010201 C. 01C2 32 22 162yyyf九 (10 分)求矩阵的特征值与最大特征值所对应的特征向量 400032020 A解:,特征值) 1()4(2EA. 1, 4321当时,解 得,的对应于4210)4(rrxEA 0211r 1002rA的全体特征向量为, ) 4212221rrkk0(2 22 1 kk十 (每小题 5 分,共 10 分)1 设向量组线性无关,讨论向量组 的线性相关性321,rrr112123, rrrrrr解:令 即11212
7、3123()()0,kkkrrrrrrr123123233()()0kkkkkkrrrr因为线性无关,所以有,321,rrr1232230 0 0kkk kk k 由于方程组只有零解,故线性无关。112123, rrrrrr 设为满足等式的矩阵,证明 A 可逆,并求AOEAA2321A解:OEAA2321(3 )2(3 )2A AEEAAEE 所以 A 可逆,且11(3)2AEA2008 -2009 学年第一学期学年第一学期 A 卷卷一、填空题(共 75 分每空 3 分)1设,则 - 6 , , 3 1 10 2 10 0 1 A A 11/3 1/6- 1/6 - 0 1/2 2/ 10 0
8、 1 1A36 .2A得分2, . 2 10 23 22102111 0 0010101 12 58 54 13 224 32 13行列式= 18 ,行列式_12_. 6 3 3 2 1 2 1 1 1 2 2 02- 1 00 0 24 两个向量的内积为: 3 , 夹角为:;) 1 , 2 , 1 (),0 , 1 , 1 (216/把用施密特正交化方法得:21, 0 , 2/ 1 , 2/ 1 211)(,5若向量,则用组合的表达式是)3 , 2(),2 , 1 (),7 , 4(2121,.2126向量组的线性相关性为:)3 , 1 , 3(),0 , 1 , 0(),1 , 1- ,
9、1 (),0 , 0 , 2(4321线性相关,它的秩是 3 .7已知向量组 1=(1,0,0),2=(2,5,2),3=(1,5,k)线性相关,则 k =_2_.8若 3 阶方阵 A 的三个根分别是 1,2,3,则 方阵 A 的行列式6A9 设矩阵 A=,则矩阵 A 的秩为 2 ,线性方程组 0 00000 10100 0101的基础解系的向量个数为 3 . OXA10给定线性方程组, 2 32132132111xxxxxxxxx)(则:当 1 且 0 时,方程组有唯一解;当 = 1 时方程组有无穷解; 当 = 0 时方程组无解.11矩阵的特征值为: 2 、1,对应于特征值的 1 0 11
10、2 10 0 2 A1特征向量为:.0,110 kk12 设设方阵满足,则_.AAEAAA113二次型的矩阵的系数矩阵为: 2 3322 2212 13212222),(xxxxxxxxxxf,该二次型为 正 定二次型. 2 1 01 2 10 1 1A二、计算题(共 5 分)设矩阵 A=, 求矩阵 X, 使 1 11 2EAAX2解 由 AX = A+2E 得 2)2(1EAAX3 5 2- 1 02- 3 0 13 1 1 11 4 1 22 EAA即 5 2-2- 3 X三、计算题(共 6 分)已知向量组.1222,1343,1121,11114321 求向量组的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示4321,出来.姓名: 学号: 系别: 年级专业: ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 密封