指数与指数函数.

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1、1指数与指数函数知识要点：知识要点： 一一 指数：指数：1定义：叫做 的 n 次幂， 叫做幂的底数，n 叫做幂的指naaa数。2有理数指数幂的运算法则：), 0, 0()(), 0()(), 0(QpbabaabQqpaaaQqpaaaappppqqpqpqp3幂的有关概念零指数幂 )0( 10aa负整数指数幂 ), 0(1*Npaaapp正分数指数幂 ) 1n, 0(且Nqpaaaqpqp负分数指数幂 ) 1, 0(1nNnmaaamnmn 且二二 指数函数：指数函数：1定义：一般的函数叫做指数函数。)1, 0(Rxaaayx且为什么要在定义中规定呢？原因是在中，若，1, 0 aaxay 1

2、a则，这是一个常数函数，并不是指数函数。为了保证 x 取分数1y时都有意义，必须要求；但是时，只对有意义，且xa0a0a0x是定义在上的常数函数，因此，定义指数函数时，xy0, 0xay 要规定.1, 0aa22指数函数的性质：图像时的图象时的图象（1）定义域为 R，值域为（0，）（2），即 x = 0 时，y = 1,图象都经过（0，1）点（3）,即 x = 1 时，y 等于底数 a，图象都经过(1,a)点在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数性质既不是奇函数，也不是偶函数典型例题典型例题例题 1 为奇函数，求：1222)(xxaaxf（1）实数 的值；a（2）用定义法判断在其定义域上

3、的单调性。)(xf解：（1）因为是 R 上的奇函数)(xf所以 ，0)0(f即 . 1, 0222aa所以3（2）由（1）可知， 1212)(xx xf设且21xx Rxx21,则1212 1212)()( 112212xxxx xfxf0)12)(12()22(2)1221()1221(121212xxxxxx在 R 上增函数.)(),()(12xfxfxf所以探究提高 (1)若在处有定义,且是奇函数,则有)(xf0x)(xf,即可求得.0)0(f1a(2)由推得,实质上应用了函数在 R 上是21xx 2122xxxxf2)(单调递增这一性质.例题 2 已知函数1)31(xy（1）做出图像；

4、（2）由图像指出其单调区间；（3）由图像指出当 取什么值时函数有最值.x解：（1）由已知可得, ) 1(3) 1()31()31( 111 xxy xxx其图像由两部分组成：一部分是：)0()31(xyx向左平移一个单位) 1()31(1xyx4另一部分是： )0(3xyx向左平移一个单位.图像如下：) 1(31xyx（2）由图像知函数在上是增函数，在上是减1, , 1函数.（3）由图像知当时,函数有最大值 1,无最小值.1x探索提高 在作函数图像时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移或伸缩来完成.例题 3 已知函数满足,且cbxxxf2)()1 ()1 (xfxf,则与的大小关系.3)0(f)(xbf)(xcf分析：先求的值再求大小，要注意的取值是否在同一单cb,xxcb ,调区间内.解：，)1 ()1 (xfxf因为所以 函数的对称轴是.)(xf1x故,又, 2b3)0(f3c所以所以 函数在上递减, 在上递增.)(xf1, 1若,则, 0x123xx)2()3(xxff所以若,则, 0x123xx)2()3(xxff所以综上可得, 即.)2()3(xxff)()(xxcfbf