《2014年高考数学总复习教案：第二章 函数与导数第14课时 函数的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014年高考数学总复习教案：第二章 函数与导数第14课时 函数的综合应用（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一折网作文录第二章 函数与导数第 14 课时 函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)3739 页)考点分析考点新知函数是高考的热点内容，主要是以基本初等函数为载体，考查函数的性质及有关问题，如单调性、奇偶性、值域和最值问题，同时考查函数思想与其他数学知识的综合运用 能利用函数的各种性质解决如求最值、不等式和方程有关的问题，提高对函数图象的识图、作图和用图的能力. 熟练利用函数的知识方法解决函数的综合问题，注意函数与其他知识的联系，灵活选择适当方法解决问题.1. (必修 1P87习题 13 改编)已知集合 Ax|33x3log36，所以 A(2log32，)由 lg(x1)0，给出下列命题：
2、f（x1）f（x2）x1x2 f(3)0； 直线 x6 是函数 yf(x)的图象的一条对称轴； 函数 yf(x)在9，6上为单调增函数； 函数 yf(x)在9，9上有 4 个零点 其中正确的命题是_(填序号) 答案：解析：令 x3，得 f(3)0，由 yf(x)是偶函数，所以 f(3)f(3)0，正确；因为 f(x6)f(x)，所以 yf(x)是周期为 6 的函数，而偶函数图象关于 y 轴对称，所以直线 x6 是函数 yf(x)的图象的一条对称轴，正确；由题意知，yf(x)在0，3上为单调增函数，所以在3，0上为单调减函数，故 yf(x)在9，6上为单调减函数，错误；由 f(3)f(3)0，知
3、 f(9)f(9)0，所以函数 yf(x)在9，9上有个零点，正确5. (2013宿迁一模)已知函数 f(x)|x1|1|，若关于 x 的方程 f(x)m(mR)恰有四个互不相等的实根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4的取值范围是_答案：(3，0)解析：f(x)|x1|1|方程 f(x)m 的解就是 yf(x)|x1|1，x 0或x 2， 1|x1|，0 0， 1x 0，)所以函数 f(x)的定义域为(1，1)(2) 由 f(x)lg(1x)lg(1x)(x)42(x)2lg(1x)lg(1x)x42x2f(x)，所以函数 f(x)是偶函数(3) f(x)lg(1x)lg(1x)x
4、42x2lg(1x2)x42x2，设 t1x2，由 x(1，1)，得 t(0，1所以 ylg(1x2)x42x2lgt(t21)，t(0，1，设 00，xR)，下列命题正确的是_(填序号)x21|x| 函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称； 在区间(，0)上，函数 yf(x)是减函数； 函数 yf(x)的最小值为 lg2； 在区间(1，)上，函数 yf(x)是增函数 答案：解析：由 f(x)lglgf(x)，知函数 f(x)为偶函数，故正确；由（x）21|x|x21|x|一折网作文录f(2)lg f，知错误；由|x|2，知 f(x)lglg2，故正确；52(12)x21|x|1|x|x21|
5、x|因为函数 g(x)x 在(1，)上为增函数，所以 yf(x)在(1，)上也是增函数，故1x正确综上所述，均正确题型 2 函数图象与函数性质的联系例例 2 已知函数 f(x)ax2|x|2a1(a 为实常数) (1) 若 a1，作函数 f(x)的图象； (2) 设 f(x)在区间1，2上的最小值为 g(a)，求 g(a)的表达式；(3) 设 h(x)，若函数 h(x)在区间1，2上是增函数，求实数 a 的取值范围f（x）x解：(1) 当 a1 时，f(x)x2|x|1作图如下x2x1，x 时，f(x)在区间1，2上是增函数，g(a)f(1)3a2.12a12当 12，即 a 时，g(a)f2
6、a1.12a1412(12a)14a当2，即 012.)一折网作文录(3) 当 x1，2时，h(x)ax1，在区间1，2上任取 x1、x2，且 x10.因为 x2x10，x1x20，所以 ax1x2(2a1)0，即 ax1x22a1.当 a0 时，上面的不等式变为 01，即 a0 时结论成立当 a0 时，x1x2，由 10，cR.当且仅当 x2 时，函数 f(x)取x2bxc，x 0， 2，x 0，)得最小值2. (1) 求函数 f(x)的表达式； (2) 若方程 f(x)xa(aR)至少有两个不相同的实数根，求 a 取值的集合解：(1) 当且仅当 x2 时，函数 f(x)取得最小值2. 二次
7、函数 yx2bxc 的对称轴是 x 2.b2且有 f(2)(2)22bc2，即 2bc6. b4，c2. f(x)x24x2，x 0， 2，x 0.)(2) 记方程：2xa(x0)，方程：x24x2xa(x0)分别研究方程和方程的根的情况：() 方程有且仅有一个实数根a 0 2a 0)a 14 a 2)14方程有且仅有一个实数根，即方程 x23x2a0 有且仅有一个非正实数根 2a2 或 a .14综上可知，当方程 f(x)xa(aR)有三个不相同的实数根时， 0)上的最小值； (2) 对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(3) 证明对一切 x(0，)，都有
8、lnx成立1ex2ex(1) 解：f(x)lnx1，当 x时，f(x)(0，1e)(1e，)0，f(x)单调递增 当 00)，则 h(x) 1.3x2x3x2x22x3x2（x3）（x1）x2当 x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增所以 x1 时，h(x)取得极小值，也就是最小值，即h(x)minh(1)4，所以 a4.(3) 证明：问题等价于证明 xlnx ，x(0，)xex2e由(1)知，f(x)xlnx 在(0，)上最小值是 ，1e当且仅当 x 时取得1e设 m(x) ，x(0，)，xex2e则 m(x)，1xex易得m(x)maxm(1) ，1e当且仅当 x1 时取得，从而对一
9、切 x(0，)，都有 lnx成立1ex2ex变式训练 定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：对任意 xD，存在常数 M0，都有|f(x)|M 成 立，则称 f(x)是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 f(x)的上界已知函数 f(x)1axx.(12)(14)(1) 当 a1 时，求函数 f(x)在(，0)上的值域，并判断函数 f(x)在(，0)上是否 为有界函数，请说明理由； (2) 若函数 f(x)在0，)上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围解：(1) 当 a1 时，f(x)1.(12)x(14)x因为 f(x)在(，0)上递减，所以 f(x)f(0)3，即 f(x
10、)在(，0)的值域为(3，)，一折网作文录故不存在常数 M0，使|f(x)|M 成立，所以函数 f(x)在(，0)上不是有界函数(2) 由题意知，|f(x)|3 在0，)上恒成立3f(x)3，4a2，所以42xa22x在0，)(14)x(12)x(14)x(12)x(12)x上恒成立所以a，42x(12)xmax22x(12)xmin设 2xt，h(t)4t ，p(t)2t ，由 x0，)得 t1，设 1t10，p(t1)p(t2)0，a1) (1) 当 a1 时，求证：函数 f(x)在(0，)上单调递增； (2) 若函数 y|f(x)t|1 有三个零点，求 t 的值； (3) 若存在 x1、
11、x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，试求 a 的取值范围审题引导： 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题第(3)问要将“若存在x1、x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1”转化成|f(x)maxf(x)min|f(x)maxf(x)mine1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负规范解答： (1) 证明：f(x)axlna2xlna2x(ax1)lna.(2 分) 由于 a1，故当 x(0，)时，lna0，ax10
12、，所以 f(x)0. 故函数 f(x)在(0，)上单调递增(4 分) (2) 解：当 a0，a1 时，因为 f(0)0，且 f(x)在 R 上单调递增，故 f(x)0 有唯一 解 x0.(6 分)一折网作文录所以 x、f(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)极小值 又函数 y|f(x)t|1 有三个零点，所以方程 f(x)t1 有三个根，而 t1t1，所 以 t1f(x)minf(0)1，解得 t2.(10 分) (3) 解：因为存在 x1、x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，所以当 x1，1时， |f(x)maxf(x)min|f(x)maxf
13、(x)mine1.(12 分) 由(2)知，f(x)在1，0上递减，在0，1上递增，所以当 x1，1时，f(x)minf(0) 1，f(x)maxmaxf(1)，f(1)而 f(1)f(1)(a1lna)a 2lna，(1a1lna)1a记 g(t)t 2lnt(t0)，因为 g(t)1 0(当且仅当 t1 时取等号)，1t1t22t(1t1)2所以 g(t)t 2lnt 在 t(0，)上单调递增，而 g(1)0，1t所以当 t1 时，g(t)0；当 01 时，f(1)f(1)；当 01 时，由 f(1)f(0)e1alnae1ae， 当 00 时，函数 f(x)与 g(x)的图象有两个交点即
14、可当 x0 时，g(x)lnx，令 h(x)f(x)g(x)2x2lnxm，则 h(x)4x ，由 h(x)0，得 x .易知当 x 时，h(x)有极小值为 ln2m，要使函数 f(x)1x121212与 g(x)的图象在(0，)内有两个交点，则 h0)图象上1x一动点若点 P、A 之间的最短距离为 2，则满足条件的实数 a 的所有值为_2答案：1，10一折网作文录解析：设 P，x0，则(x，1x)PA2(xa)2x22a2a2(1xa)21x2(x1x)2a2a22.(x1x)2(x1x)令 tx ，则由 x0，得 t2，1x所以 PA2t22at2a22(ta)2a22.由 PA 取得最小值，得a 2， 224a2a22（2 2）2，)或解得 a1 或 a.a 2
