线性代数综合练习题1

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1、1线性代数综合练习题（一）线性代数综合练习题（一）一、单项选择题一、单项选择题 1. 对于阶可逆矩阵，则下列等式中（ B ）不成立.nAB(A) 对 (B) 111BAAB)/1 ()/1 (111BAAB(C) 对 (D) 对111BAABABAB/112. 若为阶矩阵，且，则矩阵（ B ）.An03A1)(AE（A） （B） （C） （D） 2AAE2AAE2AAE2AAE3. 设是上（下）三角矩阵，那么可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（ C ）.AAA(A) 全都非负 （B） 不全为零 （C）全不为零 （D）没有限制4. 设 ，33)(ijaA 1333123211311312112

2、32221aaaaaaaaaaaa B 1000010101P 1010100012P那么（ C ）.（A） （B） （C） （D） BPAP21BPAP12BAPP21BAPP125. 若向量组线性相关，则向量组内（ A ）可由向量组其余向量线性表示.m,21L（A）至少有一个向量 （B）没有一个向量 （C）至多有一个向量 （D）任何一个向量 6. 若，其秩（ B ）. 210253143212 A)(AR（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7. 若方程中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ B ）.bAX （A）必有无穷多解 （A）必有非零解 bAX 0AX（C）仅有零解 （D）一定无

3、解0AX0AX8. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ B ）.A（A） （B） （C） （D） 1AA24ATA9. 若满足条件（ D ） ，则阶方阵与相似.nAB（A） （B） （C）与有相同特征多项式 BA )()(BRARAB（D）与有相同的特征值且个特征值各不相同ABn 二、填空题二、填空题1. 若向量组线性无关，则向量组是线性 无关无关 .321,321211,22. 设为 4 阶方阵，且，是的伴随阵，则的基础解系所含的解向量的个数A3)(ARAA0XA是 .33. 设为阶正交阵，且，则 1 .An0AA4. 设，线性相关，则 3 .2, 1, 115, 22k1, 6, 1

4、3k5. 设，则 . 300050004 A1)2(EA 100000031216. 设三阶方阵有特征值 4，5，6，则 120 ，的特征值为 4,5,6 AATA，的特征值为 .1A61 51 41,三、计算题三、计算题 1. 计算行列式babbbbbabbbbbabbbbba2. 已知矩阵，求. 200012021 A10A3. 设三阶方阵满足 ，其中AiiiA)3 , 2 , 1( i，求.T)2 , 2 , 1 (1T) 1 , 2, 2(2T)2 , 1, 2(3A4. 取何值时，非齐次线性方程组1610522321321321xxxxxxxxx （1）有惟一解；（2）无解； （3）

5、有无穷多解，并求其通解. 四、证明题四、证明题1. 设为阶可逆阵，.证明的伴随阵.AnEAA 2AAA 2. 若，都是阶非零矩阵，且.证明和都是不可逆的.ABn0ABAB3线性代数综合练习题（一）参考答案线性代数综合练习题（一）参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B 8. B 9. D 二、填空题二、填空题 1. 无关； 2. 3 ； 3. 1 ； 4. 3 ；5. ； 6. 120 ， 4，5，6 ， . 1000000312161 51 41,三、计算题三、计算题1. 解： babbbbbabbbbbabbbbbaaaa

6、aaabbbba000000 . 4000000000aaaabbba2. 解：先求的特征值，A= 200012021 EA)1)(3)(2(， 1, 3, 2321当时，由得，的对应于 2 的特征向量是， 210)2(XEAA 1001当时，有得，的对应于的特征向量是，320)3(XEAA3 0112当时，有得，的对应于的特征向量是， 120)(XEAA1 0113取. . 1001 01121, 01121324令 ，则，所以321,P 1321APPAPPT. TPPA1010132 1010 2110 2110 2110 212000) 13() 13(0) 13() 13(3. 解：

7、因为，所以)3 , 2 , 1( iiAii， 300020001 ),(),(321321A因此 . 1 321321),( 300020001 ),( A又，所以， ),(321 2121222211 321),( 21212222191故 . A 212122221300020001 21212222191 622250207314. 解：， )3)(5( 61011211 D（1）当，即且时，方程组有惟一解. 0D53（2）当时，5 1610155122151 ),(ABr 100013902151此时，方程组无解， 3)(, 2)(BRAR（3）当时，3 1610153122131)

8、,(ABr 0000100171 75717 78此时，方程组有无限多个解.，并且通解为2)()(BRAR5. 10757871717321 cxxx )(Rc四、证明题四、证明题 1. 证：根据伴随矩阵的性质有EAAA 又，所以，再由于可逆，便有.EAA 22AAA AAA 2. 证：假设可逆，即存在，以左乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾；A1A1A0AB0BBn类似的，若可逆，即存在，以右乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾，B1B1B0AB0AAn因此，和都是不可逆的.AB线性代数综合练习题（二）线性代数综合练习题（二）一、选择题一、选择题1. 设是四维列向量，且，则21321,m1321,

9、n3221,（ ） 。21123,（A） （B） （C） （D） nm)(nmmn nm2. 如果为三阶方阵，且，则（ ） 。A2AA（A） 4 （B） 8 （C） 2 （D） 16 3. 设为阶方阵，且，则（ ） 。An0A（A）中必有两行（列）的元素对应成比例 ，A （B）中至少有一行（列）的元素全为 0 ， A （C）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合， A （D）中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。A4. 设矩阵、的秩分别为，则分块矩阵的秩满足（ ） 。nmAB21,rr),(BAr（A） （B） （C） （D） 21rrr21rrr21rrr21rrr

10、 5. 设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（ ） 。AnCnACCBT（A）与相似 （B）与等价ABAB （C）与有相同的特征值 （D）与有相同的特征向量ABAB 二、填空题二、填空题61. 阶行列式 。nabbqbaba000000000000LLMMMMMLL2. 设，则 。T)3 , 2 , 1 (T 31,21, 1TAnA3. 设三阶矩阵，满足，且，则 。ABBAABAA61 714131000000 AB4. 设四阶方阵，则 。1100210000120025A1A5. 设向量组，线性相关，则 。T3 , 4 , 11Tt1, 22T1 , 3 , 23t6. 设三阶方阵的特征值为 1，2，3，则 ，的特征值为 ，的特AA1AA征值为 。7. 设二次型为正定二次型，则 的范围是 32212 32 22 132122),(xtxxxxxxxxxft。 三、计算题三、计算题1. 求向量组，的秩与一个最大无关组， 0111 3122 2133 7054 13895并把其他向量用最大无关组线性表示。2. 为何值时，方程组有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出 1554212321321321xxxxxxxxx 方程组的通解。3. 三阶实对称矩阵的特征值为，对应于特征值的特征向量为A1113217, 求。 11