命制二次函数中考题的实践与思考

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1、百度文库命制二次函数中考题的实践与思考命制二次函数中考题的实践与思考南京市教学研究室 朱建明 函数是中学数学的核心内容，它是刻画变量与变量之间依赖关系的数学模型作为函 数中的重要成员，二次函数在现实世界中有着广泛的应用，它是研究单变量最优化问题的 基本模型，如最大面积、最大利润等几乎所有的中考数学试卷，都包含二次函数试题， 命制好二次函数试题，不仅能有效考查学生数学基础知识及基本技能，还能有效考查学生 的基本数学素质和能力 下面笔者就以近年南京市中考数学试题为例，谈谈命制二次函数中考题的实践与思 考 1 通过利用两个相关变量的一次函数关系命制试题通过利用两个相关变量的一次函数关系命制试题 对于

2、现实生活中的有些三量关系的实际问题，在它们的相等关系 abc 中，如果 b 是 c 的一次函数，那么可以构建 a 与 c 的二次函数关系，例如，买卖商品时的商品数量、单 价、总金额三个量中，如果商品的数量与单价成一次函数关系，那么买卖商品的总金额与 单价之间或者总金额与商品数量之间就可以构建二次函数关系通过这种关系构造二次函 数模型在现行初中数学教材和中考数学试卷中较为常见 例 1 （1999 年）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发 现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2

3、 件 （1）若商场每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 本题中设每件衬衫应降价 x 元，那么该商场平均每天可多售出 2x 件衬衫，这两个变量 满足一次函数关系，于是商场每天的盈利与每件衬衫应降价的金额之间就构成了一个二次 函数模型 本题的得分率为 0.27，本题结合实际问题，考查了学生用所学知识建立二次函数模型 的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的实际问题，使学生体会 二次函数是刻画现实世界的重要的数学模型，体会二次函数与二次方程之间的有机联 系学生解答时的主要错误有：不能利用每件衬衫应降价的金额与平均每天

4、可多售出的衬 衫数之间的一次函数关系列出二次函数；配方求最值时出现错误 类似的试题素材我们在 2006 年南京市中考数学命题中也曾使用过，那是在例 1 的基础 上的延伸和拓展： 某西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天 可售出 200 千克为了促销，该经营户决定降价销售经调查发现，这种小型西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克另外，每天的房租等固定成本共 24 元该经营户要 想每天盈利 200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 实际上，本题如果本题加上一问：“每千克小型西瓜的售价降低多少元时，该经营户 平均每天盈利最多？” ，

5、那么方程型应用问题就转变为二次函数型应用问题了 2 通过挖掘二次函数关系式的内涵命制试题通过挖掘二次函数关系式的内涵命制试题 二次函数关系式可以从另一角度来认识，yax2bxc 可以分成“三部分的和”来认 识：与 x2成正比例部分、与 x 成正比例部分、固定不变部分 c 这三部分的和这样不仅可 以丰富对函数的认识，而且大大拓展了命制函数试题的渠道 例 2 （2005 年）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一 面镜子，镜子的长与宽的比是 21，已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元，边框的价格 是每米 30 元，另外制作这面镜子还需加工费 45 元设制作这面镜子的总费用是

6、 y 元，镜 子的宽是 x 米百度文库（1）求 y 与 x 之间的关系式； （2）如果制作这面镜子共花了 195 元，求这面镜子的长和宽 本题是将 ax2bxc 分成三部分后，再将它们赋予实际意义，即制作这面镜子的总费 用包括购买镜面玻璃的费用、买边框的费用以及制作这面镜子的加工费三部分，这种认识 与把 yax2bxc 看成一个整体有着较大的反差，正是这种认识上的变化，带来了命制 试题的创新变化实际上一次函数也可以看成是 kx、b 两部分的和，利用一次函数的这一 特性也可以命制试题 本题的得分率为 0.48，主要考查学生二次函数知识、分析问题和解决问题的能力，学 生解答时的主要错误有：误列函数

7、 y240 x290 x45 或 y16 x212 x3；不理解题意， 无法求解 3 通过利用几何图形的性质命制试题通过利用几何图形的性质命制试题 利用三角形、四边形的有关性质以及图形之间的相互关系，可以构建图形面积和相关 线段长、线段长与线段长之间的二次函数关系 31 命制有关面积的二次函数问题命制有关面积的二次函数问题 与面积有关的二次函数问题较为常见，这类问题往往因缺少变化而显得过于简单，因 此作为中考试题，必须增加图形之间关系的复杂性，使之能完成数学中考的相应考查目 标 例 3 （2001 年）如图 1，E、F 分别是边长为的正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，CE1，CF ，

8、直线 FE 交 AB 的延长线于 G过线段 FG 上的一个动点 H 作4 3HMAG，HNAD，垂足分别为 M、N设 HMx，矩形 AMHN 的面积为 y （1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x 为何值时，矩形 AMHN 的面积最大，最大面积是多少?本题是一道典型的描述面积与相关线段长之间的二次函数关系问题，主要通过平行线 和三角形相似来联接线段与线段之间的关系 本题的得分率为 0.38，主要考查学生二次函数知识、运算能力和逻辑推理能力，学生 解答时的主要错误有：利用配方法求最大面积时不能正确配方、先设 y 与 x 之间的函数关 系式是 ykxb 或 yax2bxc，然后求解；错

9、误利用FCEHOE 求解例 4 （2006 年）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB2AD，线段 EF10在 EF 上取一 点 M，分别以 EM、MF 为一边作矩形 EMNH、矩形 MFGN，使矩形 MFGN矩形 ABCD令 MNx，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？ 本题利用矩形 ABCD 与矩形 MFGN 之间的相似关系、线段 AB 与 AD 之间的数量关系， 找出线段 EM 与 MN 之间的数量关系，于是求出 S 与 x 之间的函数表达式本题还可以将 矩形全部改为平行四边形，研究一般化的图形之间的关系 本题的得分率为 0.57，主要考查二次函数知识、获

10、取图形信息的能力和逻辑推理能力， 学生解答时的主要错误有：寻找 EM 与 MN 之间的数量关系时出现错误；利用配方法求最DABCNMFGHE图 2E HFCNMGBAD图 1O百度文库大值时不能正确配方、先设 y 与 x 之间的函数关系式是 yax2bxc，然后求解 32 命制有关线段与线段之间关系的问题命制有关线段与线段之间关系的问题 利用线段与线段之间关系构建二次函数模型，在数学中考试题中并不多见，这是特殊 图形中蕴涵的特殊关系，因此命制这类中考数学试题，需要挖掘图形的内在特点和规律 例 5 （2007 年）如图 3，在梯形 ABCD 中，ADBC， ABDCAD6，ABC60，点 E、F

11、 分别在线段 AD、DC 上（点 E 与点 A、D 不重合） ，且BEF120 设 AEx，DFy （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ 本题是以图形为背景的二次函数的应用问题，这类问题在以前曾出现过，如下面的题 1 和题 2： 题 1 如图 4，在等边三角形 ABC 中，AB2，点 D、E 分别在线段 BC、AC 上（点 D 与点 B、C 不重合） ，且ADE60设 BDx，CEy （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？题 2 如图 5，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E、F 分别在

12、线段 BC、CD 上（点 E 与 点 B、C 不重合） ，且AEF90设 BEx，CFy （1）求 y 与 x 的函数表达式； （2）当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ 题 1 是在等边三角形中构建一个 60角的问题，题 2 是在矩形正方形中构建一个 90角 的问题，例 5 则是在此基础上的进一步延伸和拓展，原来是在正六边形中构建一个 120角 的问题，后进行了图形的简化，才变成了在等腰梯形中构建一个 120角的问题这些问题 都只要利用两个三角形相似就可以求出 y 与 x 的函数表达式 例 5 的得分率为 0.44，主要考查二次函数的性质、运算能力和逻辑推理能力，学生解 答时的主要错误有：没能正确推导出ABEDEF，因而无法求出二次函数表达式；利 用配方法求最大值时不能正确配方 总之，二次函数以其表达形式简单、内涵丰富而广受命题者亲睐，但命制一个题干优 美、符合考查目标的二次函数试题，需要命题者从生活和数学中开发和利用试题素材资源， 更多地进行探索和研究当然，命制二次函数中考题还要防止出现“解析几何”化的倾向， 使其更好地符合新课程标准的理念和要求 本文发表于中学数学教学参考初中版2008 年第 3 期ABCDEF图 3BCD图 4EAAEFBCD图 5