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1、1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理1 1 教材分析教材分析1.11.1 教材的地位和作用教材的地位和作用计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.本节课内容是学生在已有的利用列举法进行计数的基础上，进一步研究计数的规律，归纳出两种基本计数原理，它是本章的一个基础知识.另外，本节课由浅入深、螺旋上升，由特殊到一般，培养学生的抽象概括能力，同时通过分类加法计数原理和分步乘法计数原理形象比喻为“自主学习”与“合作学习” ，引导学生养成良好
2、的学习方式. 所以，无论在知识的结构上，还是对学生的能力培养上，本节课都有十分重要的作用.1.21.2 教学目标的确定教学目标的确定基于本节课在教材中的地位和作用，根据课程标准上的明确要求，结合学生的认知特点，我认为应该通过本节课的教学，达到以下目标：知识目标：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；能力目标：培养学生的归纳概括能力；情感目标：了解学习本章的意义，激发学生的兴趣引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.1.31.3 教学重点与难点的确定教学重点与难点的确定这是一节概念课，对数学概念的理解，学生往往有困难，或是停留在一种
3、朴素的阶段，使学生切实理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念是上好本节课的关键，理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理既是本节课的重点也是本节课的难点.2 2 教材处理教材处理教材先根据两类和两步的情况归纳出分类加法计数原理与分步乘法计数原理，再推广到一般形式，由简单到复杂，有特殊到一般，螺旋上升，符合学生学习的心理特点.充分利用教材中的“思考” 、 “探究”问题，还适当补充一些问题，通过实例，让学生总结归纳，引导学生合作探讨，调动学生获取新知识的兴趣，更好地在课堂上展现师生互动.3 3 教学方法教学方法本节课采用问题式、螺旋上升为主的教学方法，通过设置问题情景，引导学生观察归纳，让学生
4、自己获取新知识. 既符合教师主导作用与学生主体作用相结合的规律，也符合掌握知识与发展智力相统一的规律.4 4 教学过程教学过程4.14.1 教学流程教学流程引入课题分类加法计数原理提出问题 发现新知 知识应用 一般归纳分步乘法计数原理提出问题 发现新知 知识应用 一般归纳综合应用巩固练习课堂小结课外作业24.24.2 教学程序教学程序引入课题引入课题 通过两个问题：从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？ 要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法.而在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理
5、与分步乘法计数原理.提出问题，激发学生学习的欲望；让学生带着问题去学习新知识，寻找解决问题的方法，培养学生钻研的精神，自主获取新知识的能力.1 1 分类加法计数原理分类加法计数原理通过两个问题，让学生归纳出它们的共同特征，从而得出分类加法计数原理，再把分类加法计数原理推广到一般形式，很好地体现出新课程的理念. 2 2 分步乘法计数原理分步乘法计数原理在上面的基础上，让学生自主去探索，获取结论. 然后通过比较分类加法计数原理与分步乘法计数原理的差异，分类加法计数原理中每类方法都能独立完成某件事，类似“自主学习” ；分步乘法计数原理中必须每步都做了，才能完成某件事，类似“合作学习”. 3.3. 本
6、节课要体现的特色本节课要体现的特色（1）通过问题形式，引导学生在解决问题的过程中获取新知；（2）由浅入深，螺旋上升，由特殊到一般，充分体现新课程的理念；（3）引导学生自主学习的过程中，渗透了思想方法教育.两角和与差的余弦公式教案两角和与差的余弦公式教案【教学三维目标教学三维目标】 1.知识目标： 理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的 余弦公式，解决相关数学问题。 2 能力目标 ： 培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观 察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3.情感目标： 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培
7、养学生良好的数学表达和思考的能力，学会 从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。 【高考等级要求高考等级要求】 C 级【教学重点教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。 【教学难点教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深 入理解和灵活运用。 【教材分析】 这节内容是教材必修 4 的第三章三角恒等变换第一节，是高考的重点考点，历年高 考必考内容，一般在填空或解答题第 15 题出现。教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐 标表示以及向量数量
8、积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函 数 “两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数 线，推出 ， 均为锐角时成立对于 ， 为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了 探究同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。3【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时 期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生活，储 备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良
9、好的知识基础。 【学具准备】 小黑板 圆规 【学法设计】 独立思考，生生交流探究，小组合作 【知识链接】 诱导公式平面向量的数量积一、一、 产产生生对对公式的需求公式的需求 引入新引入新课课 （ （1 分分钟钟） ）首先让学生通过具体实例消除对“cos(-)=cos-cos”的误解，说明两角和（差）的三角函 数不能按分配律展开。并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。 二、自主探究二、自主探究 引引发发思考思考 层层层层深入深入 得出得出结论结论 （ （8 分分钟钟） ）独立思考以下独立思考以下问题问题： ：(1)向量的数量积则 _ba),a11yx（),b22yx（_ba（2
10、）单位圆上的点的坐标表示由图可知：( ) , ( )则 aOP1 b2OPba_a _b 问题问题 1 ： )3045cos(Pcos21OP问题问题2 ：由出发，你能推广到对任意的两个角都成立30sin45sin30cos45cos)3045cos( 吗问题问题 3 ：两角和与差的余弦公式推导（一）两角差的余弦公式设),sin,cosa（),sin,cosb（sinsincoscosba4cosbabaQsinsincoscoscos如果，那么 故 , 0sinsincoscos)cos(实际上，当为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化，)2 , 0使。)cos(cos综上所述， ，
11、对于任意的角都成立。sinsincoscos)-cos(,根据两角差的余弦公式，你可以猜猜 提示提示：令 ?)cos(（二）两角和的余弦公式（学生回答）sinsincoscos)cos(结论：结论：）（两角和与差的余弦公式C)cos(sinsincoscosm注：注： 1.公式中两公式中两边边的符号正好相反（一正一的符号正好相反（一正一负负）；）；2.式子右式子右边边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中式子中、是任意的。是任意的。4 式子的逆用，式子的逆用，变变形用形用正因为 、 的任意性，所以赋予 C(+)公式的强大生命力 三三
12、互相交流，小互相交流，小组组活活动动 公式公式应应用用闯闯关关 （ （12 分分钟钟） ）第一关：小第一关：小试试身手身手请用特殊角分别代替公式中 、，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是 3060 45等）(1) ；(2) ；(3) ；0cos15_0cos75_0cos105_问题预测问题预测： ：学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求 cos15、cos75、cos105、cos(-15)、cos165 的值。甚至可能有的同学会说他验证了 cos30=sin60.（让同学感受获得公式后的第一份喜悦）由于初 学公式的应用，我选择其中之一作示范。第二关：再接再第二关：再接再厉厉
13、 若 固定，分别用 代替 ，你将会发现什么结论呢？2,5(1)cos()_(2)cos()_(3)cos()_(4)cos()_22 设计设计意意图图：引导同学发现余弦的诱导公式可用 C()公式得到证明：初步让学生发现 C()公式是诱导.sin)2cos(,sin)2cos(,cos)cos(公式的推广。 （从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦）第三关：各第三关：各显显神通神通 倘若让你对 C()公式中的 、 自由赋值，你又将发现什么结论呢？(1)；(2) cos_4（）cos_（）(3)_)_)sin(_sin(_cos(_)(_)coscos）（(4)_)_)sin(_sin(_cos(_
14、)cos(_)cos）（）（问题预测问题预测： ：可能有的同学发现 cos2=cos(+)=cos2-sin2，这是以后要学的二倍角公式，还有的同学 发现： cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin，甚至有调皮的同学发现 cos0=cos(-) =cos2+sin2=1，这就无意中证明了平方关系， （据此，让同学感受到 C()公式的强大功能）。 （必要 时，教师可适当提示）。注：注：按课本编排未必能让同学注意公式中 , 的任意性， （而正是因 、 的任意性，所以才赋 予 C(+)公式的强大生命力） 。于是我设计上述三个有层次的 A ,B,C 级的问题，留时间先让同学用特殊 角自由赋值，逐渐摸索、尝试，不断总结、归纳。这样更能使同学亲自感受公式的强大功能，并掌握赋 值法。四四师师生共同活生共同活动动 数学运用数学运用 （ （10 分分钟钟） ）1.例例题题： ：知，求的值。)23,(,53cos)
