《2013高考数学(理)一轮复习教案：第八篇 立体几何第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013高考数学(理)一轮复习教案：第八篇 立体几何第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系【2013 年高考会这样考】1本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力2有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题【复习指导】1掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理2异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键基础梳理1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一
2、个平面(3)公理 3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error!Error!(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角或直角叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角)范围：.(0，23直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关
3、系有平行、相交两种情况5平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面三个作用(1)公理 1 的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理 2 的作用：公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理 3 的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线双基自测1(人教
4、 A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( )A空间中不同三点确定一个平面B空间中两两相交的三条直线确定一个平面C一条直线和一个点能确定一个平面D梯形一定是平面图形解析 空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故 D 正确答案 D2已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( )A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析 由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若 bc，则 ab，与已知 a、b 为异
5、面直线相矛盾. 答案 C3(2011浙江)下列命题中错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 对于 D, 若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，甚至可能平行于平面 ，其余选项均是正确的答案 D4(2011武汉月考)如果两条异面直线称为“一对” ，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A12 对 B24 对 C36 对 D48 对解析 如图所示，与 AB 异面的直线有 B1C
6、1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有 12 条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对)12 42答案 B5两个不重合的平面可以把空间分成_部分答案 3 或 4考向一 平面的基本性质【例 1】正方体 ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过 P、Q、R 的截面图形是( )A三角形 B四边形 C五边形 D六边形审题视点 过正方体棱上的点 P、Q、R 的截面要和正方体的每个面有交线解析 如图所示，作 RGPQ 交 C1D1于 G，连接 QP 并延长与 CB 交于 M，连接 MR 交BB1于 E，连接 PE、RE
7、 为截面的部分外形同理连 PQ 并延长交 CD 于 N，连接 NG 交 DD1于 F，连接 QF，FG.截面为六边形 PQFGRE.答案 D画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置【训练 1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_解析 在图中，可证 Q 点所在棱与面 PRS 平行，因此，P、Q、R、S 四点不共面可证中四边形 PQRS 为梯形；中可证四边形 PQRS 为平行四边形；中如图所示取A1A 与 BC 的中点为 M、N 可证明
8、PMQNRS 为平面图形，且 PMQNRS 为正六边形答案 考向二 异面直线【例 2】如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是 A1B1、B1C1的中点问：(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由审题视点 第(1)问，连结 MN，AC，证 MNAC，即 AM 与 CN 共面；第(2)问可采用反证法解 (1)不是异面直线理由如下：连接 MN、A1C1、AC.M、N 分别是 A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A 綉 C1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C 在同一平面内，故 AM
9、 和 CN 不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面假设 D1B 与 CC1不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B平面 ，CC1平面 ，D1，B、C、C1，与 ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面【训练 2】 在下图中，G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有
10、_(填上所有正确答案的序号)解析 如题干图(1)中，直线 GHMN；图(2)中，G、H、N 三点共面，但 M面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图(3)中，连接 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图(4)中，G、M、N 共面，但 H面 GMN，GH 与 MN 异面所以图(2)、(4)中 GH 与 MN 异面答案 (2)(4)考向三 异面直线所成的角【例 3】(2011宁波调研)正方体 ABCDA1B1C1D1中(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小；(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点，求 A1C1与 EF 所成角的大小审题视点 (1)平移 A1D 到 B1C，找出
11、 AC 与 A1D 所成的角，再计算(2)可证 A1C1与 EF 垂直解 (1)如图所示，连接 AB1，B1C，由 ABCDA1B1C1D1是正方体，易知 A1DB1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角AB1ACB1C，B1CA60.即 A1D 与 AC 所成的角为 60.(2)如图所示，连接 AC、BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E、F 分别为 AB、AD 的中点，EFBD，EFAC.EFA1C1.即 A1C1与 EF 所成的角为 90.求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线
12、平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行【训练 3】 A 是BCD 平面外的一点，E，F 分别是 BC，AD 的中点(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 ACBD，ACBD，求 EF 与 BD 所成的角(1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A、B、C、D 在同一平面内，这与 A 是BCD 平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线(2)解 如图，取 CD 的中点 G，连接 EG、FG，则 EGBD，所以相交直线 E
13、F 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角在 RtEGF 中，由 EGFG AC，求得FEG45，即异面直线 EF 与 BD 所12成的角为 45.考向四 点共线、点共面、线共点的证明【例 4】正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 AB 和 AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F 四点共面；(2)CE、D1F、DA 三线共点审题视点 (1)由 EFCD1可得；(2)先证 CE 与 D1F 相交于 P，再证 PAD.证明 (1)如图，连接 EF，CD1，A1B.E、F 分别是 AB、AA1的中点，EFBA1.又 A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F 四点共
14、面(2)EFCD1，EFCD1，CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直线 DA，CE、D1F、DA 三线共点要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质 3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上【训练 4】 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 BC、CD 上的点，且 ，求证：三条直线CFCBCGCD23EF、GH、AC 交于一点证
15、明 E、H 分别为边 AB、AD 的中点，EH 綉 BD，而 ，12CFCBCGCD23 ，且 FGBD.FGBD23四边形 EFGH 为梯形，从而两腰 EF、GH 必相交于一点 P.P直线 EF，EF平面 ABC，P平面 ABC.同理，P平面 ADC.P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上，故 EF、GH、AC 三直线交于一点 阅卷报告 10点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析【示例】(2011四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3
