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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学数学试题试题参考公式：参考公式：锥体的体积公式锥体的体积公式: V锥体锥体=Sh，其中，其中 S 是锥体的底面积，是锥体的底面积，h 是高。是高。1 3一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位分。请把答案填写在答题卡相应的位置上置上.1、设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，则实数 a=_.解析 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位） ，则 z
2、 的模为_.解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等，z 的模为 2。3、盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知识。31 62p 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有_根在棉花纤维的长度小于 20mm。解析考查频率分布直方图的知识。注注 意意 事事 项项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要
3、求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 。本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.
4、请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。100（0.001+0.001+0.004）5=305、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(xR)R)是偶函数，则实数 a=_解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由 g(0)=0，得 a=1。6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M112422 yx到双曲线右焦点的距离是_解析考查双曲线的定义。，为点 M 到右准线的距离，422MFedd1x =2，MF=4。d7、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是_解析考查流程图理解。输出。2412223133,L25122263S L8、函
5、数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，22(),kkkyaaxa0y 2kax 所以。1135,164 1212k kaaaaa 9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0422 yx的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2，圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1，的取值范围是（-13，13） 。|113cc
6、10、定义在区间上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作 20,PP1x 轴于点 P1，直线 PP1与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2的长为_。解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2的长即为 sinx 的值，且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx=。线段 P1P2的长为2 32 311、已知函数,则满足不等式的 x 的范围是_。21,0( )1,0xxf xx2(1)(2 )fxfx解析 考查分段函数的单调性。2212( 1,21)10xxxx 12、设实数 x,y 满足 38，49，则的最大值
7、是 。2xyyx243yx解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。，的最大值是 27。2 2()16,81x y211 1 , 8 3xy32 2 421()2,27xx yyxy43yx13、在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，则6cosbaCab=_。tantan tantanCC AB解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边和边 a、b 具有轮换性。具有轮换性。当当 A=B 或或 a=b 时满足题意，此时有：时满足题意，此时有：，1cos
8、3C 21 cos1tan21 cos2CC C2tan22C，= 4。1tantan2 tan2ABCtantan tantanCC AB（方法二）（方法二），226cos6cosbaCabCabab2222 222236,22abccabab abab2tantansincossinsincossinsin()1sin tantancossinsincossinsincossinsinCCCBABACABC ABCABCABCAB由正弦定理，得：上式=2222221411 3cos()662ccc cC abab 14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块
9、是梯形，记,则 S 的最小值是_。2(S 梯形的周长） 梯形的面积解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设设剪成的小正小正三角形的边长为，则：x222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxSxxxx（方法一）利用导数求函数最小值。（方法一）利用导数求函数最小值。，224(3)( )13xS xx22224(26) (1)(3)( 2 )( )(1)3xxxxS xx 2222224(26) (1)(3)( 2 )42(31)(3) (1)(1)33xxxxxx xx ，1( )0,01,3S xxx当时，递减；当时，递增；1(0, 3x( )0,S x1 ,1)3x(
10、 )0,S x故当时，S 的最小值是。1 3x 32 3 3（方法二）利用函数的方法求最小值。（方法二）利用函数的方法求最小值。令令，则：，则：11 13,(2,3),( , )3 2xt tt222441 8668331tStt tt故当时，S 的最小值是。131,83xt32 3 3二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤.15、 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,1
11、)。(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足()=0，求 t 的值。OCtABOC解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14 分。（1） （方法一）（方法一）由题设知，则(3,5),( 1,1)ABAC uuu ruuu r(2,6),(4,4).ABACABACuuu ruuu ruuu ruuu r所以| 2 10,| 4 2.ABACABACuuu ruuu ruuu ruuu r故所求的两条对角线的长分别为、。4 22 10（方法二）（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:
12、E 为 B、C 的中点，E（0，1）又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为 BC=、AD=；4 22 10（2）由题设知：=(2,1)，。OCuuu r(32 ,5)ABtOCttuuu ruuu r由()=0，得：，OCtABOC(32 ,5) ( 2, 1)0tt 从而所以。511,t 11 5t 或者：，2 AB OCtOCuuu r uuu ruuu r (3,5),AB uuu r211 5|AB OCtOC uuu r uuu r uuu r16、 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=B
13、C=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 （1）证明：因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PDBC。由BCD=900，得 CDBC，又 PDDC=D，PD、DC平面 PCD，I所以 BC平面 PCD。因为 PC平面 PCD，故 PCBC。（2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则：易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。
14、又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。由（1）知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC，因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC 于 F。易知 DF=，故点 A 到平面 PBC 的距离等于。2 22（方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。因为 ABDC，BCD=900，所以ABC=900。从而 AB=2，BC=1，得的面积。ABC1ABCS由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积。11 33ABCVSPD因为 PD平面 ABCD，DC平面 ABCD，所以 PDDC。又 PD=DC=1，所以。222PCPDDC由 PCBC，BC=1，得的面积。PBC2 2PBCS由，得，A PBCP ABCVV11 33PBCShVV2h 故点 A 到平面 PBC 的距离等于。217、 （本小题满分 14 分）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m） ，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际
