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1、1 经济分析中常用的五大经济学函数1）总成本函数 （Total Cost Function） C x在经营活动中的总成本（用字母 C 表示）与产品的产量（用字母表示）密切相关，经过抽x象简化，可以看成仅是产量的函数，即 CC x在不考虑产品积压，假设供求平衡的条件下，为产品的产量产量为产品的销售量销售量。xx 01C xCCx其中：表示固定成本，如设备维修费、企业管理费等等，表示可变成本，如购买原0C 1Cx材料、动力费等等。 平均成本： 10C xCxCC xxxx2）总收入（或称总收益）函数 （用字母 R 表示） （Total Receipt Function） R x RR x当产品的单
2、价（price）为 p，为销售量时 x RpRp xR, xxxxx即平均收益函数3）总利润函数 （用字母 L 表示） （Total Gain Function） L x LL xR xC xtxtx为国家征税率， 为产量。 0L x 称为：收支平衡4）需求函数 （用字母表示） （Demand Function）dQdQ max0, 00 , ddddQQpQabpabaQpb在线形情况下：称为最大销售价格。5）供给函数 （用字母表示） （Supply Function）SQsQ 00, 0- , ssssdQQpQcdpcdacQQabpcdppbd 在线形情况下：称为均衡价格。6）复利公式
3、复利公式 设银行存款的年利率为 r，开始存钱为，则 t 年后，0T年复利公式： 月复利公式： 01tT tTr 120112trT tT连续复利公式（即：按天、时或更少的时间）： nt rt 00nrT tlimT1T en如果当初的没有存入银行，则当初的相当于现在的值： 0T0T 0rtT tT e2边际与边际分析在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数在内的平均变化率为，如我)(xfy ),(00xxxxy 们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等瞬时变化率就是函数 对自变量的导数，即当自变
4、量增量趋于零时平均变化率的极限：)()()(lim0000xfxxfxxfx在经济学中，一个经济函数的导数称为该函数的边际函数边际函数在点处的)(xf)(xf )(xf0xx 导数称为在点处的变化率，也称为在点处的边际函数值它表示)(0xf )(xf0xx )(xf0xx 在点处的变化速度)(xf0xx 现设是一个可导的经济函数，于是当很小时)(xfy xxxfxxxfxfxxf)()()()()(由于产品的最小单位是 1，故，当或时，分别给出1x1x或 )()() 1(xfxfxf)() 1()(xfxfxf因此边际函数值的经济意义的经济意义是：经济函数在点处，当自变量再增加 1 个单位)(
5、0xf )(xf0xx x时，因变量的改变量的近似值，或近似于经济函数值与之差但在应用问题中y)(0xf) 1(0xf解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”两字，因为产品的最小单位为 1，不存在小数【例 1】 设函数，试求在时的边际函数值2xy y5x解解 因为，所以 该值表明：当时，改变一个单位(增加或减少一xy2.105xy5xx个单位)，约改变 10 个单位(增加或减少 10 个单位)y 下面介绍经济学中常用的三个边际概念3-2-1边际成本 Cx某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的 价格或费用总额它由固定成本和可变成本两部分组成 平均成本
6、是生产一定量产品，平均每单位产品的成本 边际成本是总成本的变化率在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数设总成本函数，为产量，则平均成本函数为 ， )(QCC QQQCQCC)()(生产个单位产品时的边际成本函数为 Q)(QCC称为当产量为时的边际成本西方经济学家对它的解释是：当生产个单位产品)(0QC0Q0Q前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产个单位产品后增加的那个单位产品所花费的0Q成本这两种理解均算正确，我们一般使用后一种说法【例 2】 已知生产某产品 Q 件的成本为(元)，试求：(1)边际成本函数；2001. 0409000QQC(2)产量为 1000 件
7、时的边际成本，并解释其经济意义； (3)产量为多少件时，平均成本 最小？解解 (1)边际成本函数： QC002. 040(2)产量为 1000 件时的边际成本： .601000002. 040)1000(C它表示当产量为 1000 件时，再生产 1 件产品需要的成本为 60 元；(3)平均成本： ， ，QQQCC001. 0409000001. 090002QC令0，得 Q = 3000(件)由于0，故当产量为 3000 件时平均成本最小C C【例 3】 某工厂生产个单位产品的总成本为产量 的函数 ，QCQ2 120011100)(QQCC求：(1)生产 900 个单位时的总成本和平均成本；
8、(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率； (3)生产 900 个单位时的边际成本；解解 (1)生产 900 个单位时的总成本为 1775900120011100)900(2 CC平均成本为 97. 19001775 900)900(C(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率为58. 110017751933 9001000)900()1000(CC QC(3)生产 900 个单位时的边际成本为 5 . 16001 120011100)900(9009002 QQQQC3-2-2 边际收益和边际利润 Rx L x总收益是生产者出售一定量产
9、品所得到的全部收入平均收益是生产者出售一定量产品，平 均每单位产品所得到的收入，即单位商品的售价边际收益为总收益的变化率p 总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数设为价格，（有时也用表示，但要注意与完全不同！）为销售量，则总收益函数PQxQ,dsQ Q为： PQQRR)(若需求函数为，则总收益函数为 ， )(QPP )()(QPQQRR故平均收益函数为 ， )()()()(QPQQQP QQRQRR即价格可视作从需求量(这里需求量即为销售量)上获得的平均收益边际收益为)(QPQ )()() )()(QPQPQQPQQRR的经济意义为：表示销售量为个单位时，多销售一个单位产品或少销售一个单)(
10、0QR)(0QR0Q位产品时收益的改变量 由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为，则总利润函数为L(其中为商品量) )()()(QCQRQLLQ那么边际利润函数为 )()()(QCQRQLL它的经济意义是：表示销售量为单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量)(0QL0Q【例 4】 设某产品的需求函数为：，其中为价格，为销售量，当销售量为 15 个520QPPQ单位时，求总收益、平均收益与边际收益；解解 因为需求函数为，则总收益函数为： ，520QP520)()(2QQQPQQRR故销售量为 15 个单位时，有总收益 ，2555151520)15(2 R平均收益 ，17)()()
11、()15(15 1515 Q QQQPQQQP QQRR边际收益 14155220)(15QQRR【例 5】 某工厂生产一批产品的固定成本为 2000 元，每增产一吨产品成本增加 50 元，设该产品的市场需求规律为 Q = 1100 10P(P 为价格)，产销平衡，试求：(1)产量为 100 吨时的边际利润； (2)产量为多少吨时利润最大？解解 由于 故总收入为 ，,10110QP101102QQPQR总成本为 ， 故总利润为 QC502000200010602 QQCRL(1)边际利润为 560QL当产量为 100 吨时，边际利润为 (元)40510060)100(L(2)令得 Q = 30
12、0(吨)由于，故当产量为 300 吨时，利润最大0L0 L同样，还有边际需求和边际供给，一共 5 个边际函数个边际函数。 dQp sQp3弹性与弹性分析前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率在实际问题中，有时仅知道函数的改变量及绝对改变率是不够的例如，设有 A 和 B 两种商品，其单价)(xfy y)(xf 分别为 10 元和 100 元同时提价 1 元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为 10%和1%前者是后者的 10 倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性弹性它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变
13、动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数定义定义 设函数在点处可导，且函数的相对改变量与自变量的相)(xfy x( )0yf xy y对改变量之比当时的极限 x x0x)()(lim 0xfxfxyyx xxyyx称为函数在点处的弹性，记作，即 )(xfy x0xxyx)()(xfxfxyx由定义知，当时，可见，函数的弹性具有下述意义：函数%1 xx%yxyy)(xfy 在点处的弹性表示在点处当改变 1%时，函数在的水平上近)(xfy 0x0xxyx0xx)(xfy )(0xf似改变在应用问题中解释弹性的具体意义时，常略去“近似”二字%0xxyx由定义还可见，函数的弹性与量纲无关，即与各有关变量的计量单位无关这使得弹性概念 在经济中具有广泛应用例如，显然各种商品的计量单位不尽相同，但比较不同商品的需求弹性并不受到计量单位的限制函数在点的弹性反映了对的变化反映的强烈程度或灵敏度xyx)(xfx的表达式可改写为 ， yxyxdy dx y x边际函数 平均函数故在经济学中，弹性又可解释为边际函数与平均函数之比3-1需求弹性dQ p在经济学中常用到需求弹性（指需求弹性对价格）
