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1、第91卷第2期1991年4月25日化、学工程口衬刀卫了口通乙忍那口才刃刀刃召 才NG(口万了万月Vol.19,那。2A尹.25,19 91一维扩散模型的解析及评论胡宗定赵学明(天津大学化工系)本文对扩傲棋型进行了详细的推导、解析。结果表明,根据棋型参数的取值不同,扩散棋型本身既可简化为活塞流,也可简化为全很流.在闭式边界条件下,棋组的解可在。簇Pe o o 的范围内适用,而其它边界条件下的解,在 e P 较小时会有较大误差,甚至得出无愈义的结果.关锐词:扩散扩散模型数学模型一、前俏卜.曰关于扩散模型的应用及研究已有不少文献作了报导,从ve川甲1.1,司,ROmonts 都曾指出扩散模型的适用范
2、围可从活塞流(F怡一c o)到全混流(P协一0 )。Hl n. 1 按开式双无限系统进行阶跃示踪实验,对扩数模型解出:1二_,护丙,l一6、n,.、F。(0)=令21一材f【之份二(二.二三) 5(l)2、-一2、 护万万一他认为当e Pc o及O时分别为活塞流及全混流,但从式Q)或F。( 9 )健 图中均得不出上述结论.Hi l l还列出了开式双无限脉冲注入的结果图1辰,*(l一。):,。、E。(0)=音l号exp一二奋一二二.(2)-。、一2丫劝一.r一4 0并把式( 2)与文献【2中的闭式E( 0)e曲线对应起来,显然其忽视了不同边界条件对应不同解析结果这一重要问题。大竹试雄困在对式(l
3、 )微分后得出:一,_、l辰。氏(l一。):,。、风(0)=音I二e xp一二二止二 一一二二J(3)-一ZV,一“r4事实上,对式(l )微分得 不到式( 3)。尽管这样,大竹仍以此为根据进行了外推,其认为e PO为全混流,e P 一o o 为活塞流。u Bt t .指出由式(1)和式(2)可计算得到尸。(e)e及几(的e图。我 们对此进行了验证,结果表明这些式子和图并不存在一一对应关系。本文将对普遍适用的扩散模型进行推导,并对一维情况进行详细的解析和讨论。二、模型建立根据传递过程原理,组分i在j方向的通量为:-,一尽C、N,=U认+( 一Dj升井)(4)一矛吐夕式中肠为j方向的扩散系数(分
4、子扩散系数或涡流扩散系数),且0(D ,镇 c o。若于柱坐标系中取一 体积为v的 环状微元体,并以v为控制容积,在非稳态、有化学反应发生时,对组分亏作徽分质量衡算得:一6一a(V已).刁(刃人),a(刃r儿 ).一气屯一一州 卜一-共:一一.肠名.宁-一一二 , 一-们两口Z砚”.介,V。几(5)将轴向、径向坐标:,分别运用于式(4),然后将式( 4)代入式(5)。假定. D,肠为常数,且只存在轴向的主体流动(即. U =0 ),则式( 5)展开整理可得:1诚.飞r下丁十r口;a( QC)那_护认. Da,韶i、_ 一刀.二, 二一二尸气r.:二,=拍d名.护仁尸记尸式中各项分别为累积项、主
5、体流动项、轴向扩散项、径向扩散项和化学反应项。d(以了)刁 犷认了一O CV占(t)y代入式(12)整理得出三、模型解析必.1.,.、二r十吧叱声=仃o 0够夕 .万(6)(13)1.非稚态示跳实验,无化学反应(l )活塞流模型(P. 一卜。)因不 存在径向梯度和轴向扩散,且Q恒定,则式( 6)变为韶._韶.,_、 于+U于二0(7)砚一击,此为一阶双曲型偏微分方程。进行脉冲实验:初始条件x. ct=0,c(z,t) ,0(8)边界条件B.c.z二0,c(z,t)=6(t)(9)对式(7 ) ( 9)进行拉氏变换,得活塞流的传递函数:对式(13)取拉氏变换可得全混流的传递函数万(8) =1 1
6、斗诏(14)二,_、万(乙,)。、。 少,饭可可=exP(一了习)(10)取拉氏反变换可得活塞流的R TD密度函数为:召() 二 右,万(S)二占(t一了)(1 1)其均值及方差为脚1,砖=O。(2 )全混流模型(F七一0 )因无轴向和径向梯度,则式( 6)变为其反变换即为全混流的RTD密度函数(:) =乙一,J(s)1一枷(一归r 1 5 )其均值和方差为:内=1,峙=1.(3 )轴向扩散活塞流(A Dp F)模型( 01 6时,为避免上述困难,可用下式进行近似计算:_、_ . r辰,e ( Pl一。)2,_评(0)l一 !l 共众e xPL一一二 二ds 厂J夕y砂一;一、切(28)经研究
7、表明,在化工常用的e P范围(。e P8 0)内,均可用式(26 )进行计算。这时需将式(2 6)变换,使式中无三角函数。由于si n叭=士勿璐。、丫i+如。2姚斋舞歹,代入式吸26 )可得一,一、一,e P氏_ 、召( 一1 ).+ l吠 伴叨,=乙r.ex P叹飞犷一-r口,夕,一不万犷一一一一- 二之万- - 甲-一.任-,- r七-.。、,r弓.一、 孟L,e s丁十 明从-丁一十四十犷e, 任任F(0) 1一 评(8).exp( 一票。)(3。)r移(31)戮,)旦骤2一x e Zp(华一躲)夕,二二几( 一1)“+心 e PZ.一 - 丁十叫十犷e 任心_、.eXP气一不万口夕且尸
8、C(32)c.闭式条件下脉冲与阶跃法解析结果的比较对式(32)进行数值拉氏变换,得(,2一警)丁了愈(一1)+嵘e P2.。.一-号一十 武十尸e 纽e P2.。一下一十成尸任。,_。、 ,。、 x eP L一一币于甲口.仑一叨又。)现以e P=6.0为例进行计算。取0。镇4.4,采样间隔却=0.1,从式(2 1)和式(33 )所计算的结果见表l所示。农1不同s所对应的瓦s )及厄“(s )厄(S)式(2 1)0.9062548310.749801470.6258 6 20 360.5264805 35E“(S)式(3 3)0.90 606297 70.7494547 790.62 54620
9、180.526066432厄(s)式(2 1)0.445 9384 10.41137 75 250.1968591840.103 55 7943豆(s)式(33)0.445525 37 1.4109 6749419 6 49679 51032 44 55 411几 幼曰一8一S S S S SE(S)式(21) “s(,式3 3,l l lS S S石(s)式(21) 豆s ()式(3 3) 4 4 4 4 40.0582 1145 91 1 10.5794 47 446 6 68 8 88.72 29 65 79卜03 3 38.!6 0318 8l E一03 3 35 5 5 5 50.0
10、3439100 53 3 30.03416767 15 5 59 9 95.806 989 4 1卜03 3 35议712 32359卜03 3 36 6 6 6 60.02 11279997 7 70.02的488 881 1 110 0 03。9 4023 667E-03 3 33.部6 3614E-03 3 37 7 7 7 70.0133981036 6 60.0132485 57 8 8 8 8 8 8 8 8 8由表1可见,二者是极为一致的。这说明,仅在闭式条件下,脉冲和阶跃法之间存在着对应关系。而在开式条件下,脉冲法的结果与阶跃法的结果之间并不存在着对应关系。d.不同边 界条件下
11、解析结果的比较表2列出了不 同边界条件下的解析结果和矩量极限值。当e P较小时,不同边界条件下的脚,嘴有很大差别。内、菇的极限值表明,仅闭式条件下的解可在0成e P(c o 的范围内适用而其它条件下则 出现崛的和、恤山c o,这显然是无意义的。为了找出除 p食今O 闭式外其它边界条件下解析结果的适用范围,现以闭式的结果为基准,计算出其它边界条件下的矩量值与闭式条件下矩量值的相对偏差,如表合所示。表中数据表明,若以嘴的相对偏差小于5%为判据,则二 点法的结果适用于2 0 e P镇c o,开一开 式的结果 适用 于10 0(Pe簇二。表3开一开式及二点法矩t值与闭式矩l 值的相对偏差e e e P
12、 P P2 2 24 4 46 6 68 8 810 0 0l6 6 62O O O30 0 040 0 050 0 0100 0 0l l l100.0 0 050.0 0 033.3 3 3 325.0 0 020.0 0 012.5 5 510.0 0 06.6 7 7 75.0 0 04.0 0 02.0 0 0, ,428.亏亏l石5.1 1 199.9 0 0 071.42 2 255。60 0 033.3 3 3 326.30 0 017;24 4 412,82 2 210.20 0 05.0 5 5 5八八3 3 376.16 6 632.52 2 219.94 4 414.2
13、8 8 811.1 1 1 16.67 7 75.26 6 63。45 5 52。5 6 6 62.0 4 4 4l。01 1 12.稼态情况,有化学反应以下就闭一闭式、开一开式二种边界 条件下,有化学反应发生的ADP F模型进行讨论。(1 )闭一闭式条件,一级不可逆反应A止写Pa.0Pe(。由式(6 )无因次化得:己氏k丁氏=0(34)塑d z z上e P名=0,仇。=(。)。+一壳(黯)。+(35)(孕):一,一压多(3 6)解得乒七月04a =(l+。)石xp一氏(l一。)/幻一(l一。)ex协一几。+。)/幻(37)式中丫万番(38)b。Pe一C减将a作级数展开,并代入式( 37)。l
14、,4k了、1,4k了、,1十下,吸戈二一)一下气蕊 ,)“re6r七+二,(39)故鱼。一*一C月。(40)这显然就是活塞流 的情况。0.P亡0将式(37)分母中的 一p仁一譬(卜)及x ep一擎(1+。)分别作级数展开,忽略高 一r2、一一“了“礴”一一“”一 次项后代入式(37)得一9一.睦僻彩截澳脚自跳映蓄殊殊自0.卜以壮 巴杖阁侧留袍盆牢粥程试蓄划,杖旧侧御。弋公毓侧喊招咨溺岭牟分黄公蓄权段曦片健.报旧侧扣。 “端公喊娜理啤长侧俘食赎名卜蛇拿拭反栩神试O”州g g g g gJ J J,曰闷闷8 8 88 8 88 8 88 8 8七七 主主主主主主主昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌
15、昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌昌8 8 8 8 8 8 8. ,. , .目 . 户 . . .月 . . . . . . . . . . . .叫. . . . .目.目如. . . -. . . . . . . 口叫 门. . . -一丁一一J . . . 口 . . . . . . . . . . .主主主主心, ,仁二二咤二二二.二, ,写写写匡匡万万8 8 88 8 88 8 8下万万8 8 8 8 8 8 8万万一下万- - -一二万一一一,丁, ,二厂厂工工工工工工工工工 幽幽产、马马o o之之”之之“决决。l己己七七七心心+ + + + + + + + + O O O O O O O。!己己。己己。1截截截: : : : : : : : : : : : : : : 忿忿忿忿忿忿忿忿 “ “ “舍舍舍舍舍舍 l l l l l l l l l l l l l l l 叫叫叫己己。己己川己己川己己己e e e e eO, ,十十十十十十尸尸奢显显勺勺勺口, ,尹.、 、牡l口口月月勺勺垦蛋蛋勺勺. . .褚 口闷闷钊刊刊世世l l l记尹、“ “倡倡倡倡拭拭1._.1囚囚囚己己。 。 电电电电电引导剐剐剐
