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1、20082008 年全国高中数学联合竞赛一试年全国高中数学联合竞赛一试(A(A 卷卷) )试题、参考答案及评试题、参考答案及评分标准分标准文章来自: 时间:2008-11-25说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、选择题一、选择题( (本题满分本题满分 3636 分，每小题分，每小题 6 6 分分)
2、)1 1.函数在(-,2)上的最小值是( )A.0 B.1 C.2 D.3 解解 当 x2 时，2-x0，因此=2，当且仅当时上式取等号.而此方程有解 x=1(-,2)，因此f(x)在(-,2)上的最小值为 2.( (选选 C)C)2 2.设 A=-2,4)，B=x|x2-ax-40，若，则实数a的取值范围为( )A.-1,2) B.-1,2 C.0,3 D.0,3) 解解 因 x2-ax-4=0 有两个实根，故等价于 x1-2 且 x24，即，解之得 0a3.( (选选 D)D)3 3.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6
3、 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望 E为( )A. B. C. D. 解法一解法一 依题意知，的所有可能值为 2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有，故.( (选选 B)B) 解法二解法二 依题意知， 的所有可能值为 2，4，6.令 Ak表示甲在第 k 局比赛中获胜，则表示乙在第 k 局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得，故.4 4.若三个棱长均为整数(单位：cm)的正方体的表面积之和为 5
4、64cm2，则这三个正方体的体积之和为( )A.764cm3或 586cm3 B.764cm3 C.586cm3或 564cm3 D.586cm3 解解 设这三个正方体的棱长分别为 a,b,c，则有 6(a2+b2+c2)=564，a2+b2+c2=94，不妨设 1abc10，从而 3c2a2+b2+c2=94，c231.故 6c10.c 只能取 9，8，7，6.若 c=9，则 a2+b2=94-81=13，易知 a=2,b=3，得一组解(a,b,c)=(2,3,9).若 c=8，则 a2+b2=94-64=30，b5.但 2b230，b4，从而 b=4 或 5.若 b=5，则 a2=5无解，
5、若 b=4，则 a2=14 无解.此时无解.若 c=7，则 a2+b2=94-49=45，有唯一解 a=3，b=6.若 c=6，则 a2+b2=94-36=58，此时 2b2a2+b2=58，b229.故 b6.但 bc=6，故b=6，此时 a2=58-36=22 无解.综上，共有两组解体积为 V1=23+33+93=764cm3或 V2=33+63+73=586cm3.( (选选 A)A)5 5.方程组的有理数解(x,y,z)的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4 解解 若 z=0，则解得或若 z0，则由 xyz+z=0 得 xy=-1. 由 x+y+z=0 得 z=-x-y. 将代入
6、 xy+yz+xz+y=0 得 x2+y2+xy-y=0. 由得，代入化简得(y-1)(y3-y-1)=0.易知 y3-y-1=0 无有理数根，故 y=1，由得 x=-1，由得 z=0，与 z0 矛盾，故该方程组共有两组有理数解或 ( (选选 B)B)6 6.设ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 成等比数列，则的取值范围是( )A.(0，+) B. C. D. 解解 设 a,b,c 的公比为 q，则 b=aq,c=aq2，而.因此，只需求 q 的取值范围.因 a,b,c 成等比数列，最大边只能是 a 或 c，因此 a,b,c 要构成三角形的三边，必需且只需 a+bc 且 b+ca
7、.即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是.( (选选 C)C)二、填空题二、填空题( (本题满分本题满分 5454 分，每小题分，每小题 9 9 分分) )7 7.设 f(x)=ax+b，其中 a,b 为实数，f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f(fn(x)，n=1,2,3,，若f7(x)=128x+381，则 a+b= . 解解 由题意知，由若 f7(x)=128x+381 得 a7=128，因此 a=2,b=3,a+b=5.( (答案答案 5)5)8 8.设 f(x)=cos2x-2a(1+cosx)的最小值为，则 a=_. 解解 .(1)a2 时，f(x)当 cosx=1 时取
8、最小值 1-4a；(2)a-2 时，f(x)当 cosx= -1 时取最小值 1；(3)-2a2 时，f(x)当时取最小值.又 a2 或 a-2 时，f(x)的最小值不能为，故，解得， (舍去).( (答案答案-2+-2+) )9 9.将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种. 解法一解法一 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校，而用*表示名额.如|*表示第一、二、三个学校分别有 4，18，2 个名额.若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“|”，故不同的分配方法相当于 24+2=26 个位置(两端不在内)被 2
9、 个“|”占领的一种“占位法”.“每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“*”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“|”，故有种.又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种.综上知，满足条件的分配方法共有 253-31222 种. 解法二解法二 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1,x2,x3个名额的分法数为不定方程x1+x2+x3=24 的正整数解的个数，即方程 x1+x2+x3=21 的非负整数解的个数，它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合：.又在“每校至少有一个名额的分法“中“至少有两个学校的名额数相同“的分配方法
10、有 31种.综上知，满足条件的分配方法共有 25331222 种.( (答案答案 222)222)1010.设数列an前 n 项和 Sn满足：，n=1,2,则通项 an=_. 解解 ，即，由此得.令，有，故，所以.( (答案答案) )1111.设 f(x)是定义在 R 上的函数，若 f(0)=2008，且对任意 xR，满足 f(x+2)-f(x)32x，f(x+6)-f(x)632x，则 f(2008)=_. 解法一解法一 由题设条件知f(x+2)-f(x)=-(f(x+4)-f(x+2)-(f(x+6)-f(x+4)+(f(x+6)-f(x)-32x+2-32x+4+632x=32x,因此有
11、 f(x+2)-f(x)= 32x,故f(2008)=f(2008)-f(2006)+f(2006)-f(2004)+f(2)-f(0)+f(0)=3(22006+22004+22+1)+f(0)=22008+2007. 解法二解法二 令 g(x)=f(x)-2x，则 g(x+2)-g(x)=f(x+2)-f(x)-2x+2+2x32x-32x=0,g(x+6)-g(x)=f(x+6)-f(x)-2x+6+2x632x-632x=0,即 g(x+2)g(x),g(x+6)g(x),故 g(x)g(x+6)g(x+4)g(x+2)g(x),得 g(x)是周期为 2 的周期函数，所以 f(2008
12、)=g(2008)+22008=g(0)+22008=22008+2007.( (答案答案 2 220082008+2007)+2007)1212.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_. 解解 如答 12 图 1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 r，作平面 A1B1C1平面 ABC，与小球相切于点 D，则小球球心 O 为正四面体 P- A1B1C1的中心，PO面A1B1C1，垂足 D 为 A1B1C1的中心.因，故 PD4OD4r，从而 PO=PD-OD=4r-r=3r.记此时小球与面 PAB 的切点
13、为 P1，连接 OP1，则.考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB)相切时的情况，易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 P1EF，如答 12 图 2.记正四面体的棱长为 a，过P1作 P1MPA 于 M.因,有，故小三角形的边长.小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分).又 r=1，所以.由对称性，且正四面体共 4 个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为.( (答案答案) )三、解答题三、解答题( (本题满分本题满分 6060 分，每小题分，每小题 2020 分分) )1313.已知函数 f(x)=|sinx|的图像与直
14、线 y=kx(k0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证：.证f(x)的图象与直线 y=kx(k0)的三个交点如答 13 图所示，且在内相切，其切点为 A(,-sin)，.5 分 由于 f(x)=-cosx，所以，即 =tan. 10 分因此15 分.20 分1414.解不等式log2(x12+3x10+5x8+3x6+1)1+log2(x4+1). 解法一解法一 由 1+log2(x4+1)=log2(2x4+2),且 log2y 在(0，+)上为增函数，故原不等式等价于x12+3x10+5x8+3x6+12x4+2.即 x12+3x10+5x8+3x6-2x4-10.5 分分组
15、分解 x12+x10-x8+2x10+2x8-2x6+4x8+4x6-4x4+x6+x4-x2+x4+x2-10，(x8+2x6+4x4+x2+1)(x4+x2-1)0，10 分所以 x4+x2-10，. 15 分所以.故原不等式解集为. 20 分 解法二解法二 由 1+log2(x4+1)=log2(2x4+2),且 log2y 在(0，+)上为增函数，故原不等式等价于x12+3x10+5x8+3x6+12x4+2.5 分即， 10 分令 g(t)=t3+2t，则不等式为， 显然 g(t)=t3+2t 在 R 上为增函数，由此上面不等式等价于，15 分即(x2)2+x2-10，解得(舍去)， 故原不等式解集为. 20 分1515.如题 15 图，P 是抛物线 y2=2x 上的动点，点 B，C 在 y 轴上，圆(x-1)2+y2=1 内切于PBC，求PBC 面积的最小值. 解解 设 P(x0,y0
