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1、2010 年全国各地高考数学真题分章节分类汇编之实际应用题一一 选择题选择题:1.(2010(2010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 8)8)为了迎接 2010 年广州亚运会,某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯彩灯闪亮只能是红橙黄绿蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )A 1205 秒 B.1200 秒 C.1195 秒 D.1190 秒【答案】C.【解析】每次闪烁时间 5 秒,共 5
2、120=600s,每两次闪烁之间的间隔为 5s,共 5(120-1)=595s.总共就有 600+595=1195s. 2.(2010.(2010 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 7)7)某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获 利 40 元,乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获 利 50 元.甲乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲乙两车间耗费工时总和 不得超过 480 小时,甲乙两车间每天总获利最大的生产计划为
3、 w_w_w.k*s 5*u.c o*m(A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱则w_w w. k#s5_u.c o*m目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案:B w_w_w.k*s 5*u.c o*m3. (2010(2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 6)6
4、)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为(A)100 (B)200 (C)300 (D)400【答案】B 解析解析:根据题意显然有,所以,故.二二 填空题填空题: :1.(2010(2010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 14)14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则 S 的最小值是_【答案】解析 考查函数中的建模应用,等价转化思想一题多解设设剪成的小正小正三角形的边长为,则:( (方法一方法一) )利用导数求函数最小值利用导数求函数最小值
5、,当时,递减;当时,递增;故当时,S 的最小值是( (方法二方法二) )利用函数的方法求最小值利用函数的方法求最小值 令令, ,则则: :故当时,S 的最小值是2.(2010(2010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 14)14)铁矿石和的含铁率,冶炼每万吨铁矿石的的排放量及每万吨铁矿石的价格如下表:(万吨)(百万元)50%1370%0.56某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求的排放量不超过(万吨),则购买铁矿石的最少费用为 (百万元). 【答案】15 【解析解析】设铁矿石购买了万吨,铁矿石购买了万吨,购买铁矿石的费用为百万元,则由题设知,本题即求实数满足约束条件,即(*)时,的最小
6、值.作不等式组(*)对应的平面区域,如图阴影部分所示.现让直线,即平移分析即知,当直线经过点时,取得最小值.又解方程组得点坐标为.故.三三 解答题解答题: :1.(2010(2010 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 19)19)(本小题满分 13 分),轮船位于港口 O 北偏西且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小 时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方
7、向与航 行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由 【解析】如图,由(1)得而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,故轮船与小艇不可能在 AC(包含 C)的任意位置相遇,设,OD=,由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为和,所以,解得,从而值,且最小值为,于是当取得最小值,且最小值为此时,在中,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇2. ( (20102010 年高考数学湖北卷理科年高考数学湖北卷理科 17)17)(本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶 和外墙需要建造
8、隔热层.某幢建筑 物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度(单位:cm)满足关系:,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.()求的值及的表达式;()隔热层修建多厚对,总费用达到最小,并求最小值.3. (2010(2010 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 19)19)(本小题满分 13 分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的
9、垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系(图 6).在直线的右侧,考察范围为到点 B的距离不超过km 的区域;在直线的左侧,考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过km 的区域.()求考察区域边界曲线的方程;()如图 6 所示,设线段,是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为 前一年的 2 倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.【解析】()设边界曲线上点 P 的坐标为.当2 时,由题意知当,因而其方程为故考察区域边界曲线(如图)的方程为()略 【命题意图】本题以应用题为背景,考查考察考生数
10、学建模能力,考查圆的方程椭圆的定义 与方程直线与圆锥曲线的位置关系等比数列求和本题属难题4.(2010(2010 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 19)19)(本小题满分 12 分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养 中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并
11、且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?【解析】设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐,共花费元,则可行域为即作出可行域如图所示:经试验发现,当时,花费最少,为元.5.(20105.(2010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 17)17)(本小题满分 14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角ABE=,ADE=(1)该小组已经测得一组的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出 H 的值;(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确
12、度若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时,-最大?解析 本题主要考查解三角形的知识两角差的正切及不等式的应用(1),同理:,ADAB=DB,故得,解得:因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m(2)由题设知,得,(当且仅当时,取等号)故当时,最大因为,则,所以当时,-最大故所求的是m6.(2010(2010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 22)22)(本小题满分 10 分)某工厂生产甲乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;乙产品的一等品率为 90%,二等品率为 10%生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是二等品则亏损 1 万元;生产 1
13、 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等品则亏损 2 万元设生产各种产品相互独立(1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列;(2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率解析 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力满分 10 分解:(1)由题设知,X 的可能取值为 10,5,2,-3,且P(X=10)=0.80.9=0.72, P(X=5)=0.20.9=0.18,P(X=2)=0.80.1=0.08, P(X=-3)=0.20.1=0.02由此得 X 的分布列为:X1052-3P0.720.180.080.
14、02(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有件,则二等品有件由题设知,解得,又,得,或所求概率为答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.81927.(2010(2010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 17)17)(本小题满分 12 分)如图,A,B 是海面上位于东西方向相聚 5(3+)海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45,B 点北偏西 60且与 B 点相距海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船达到 D 点需要多长时间?解 由题意知 AB=海里, DAB=9060=30, DAB=9045=45,ADB=180(45+30)=105,在ADB 中,有正弦定理得
