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1、初中教育资源网 http:/19951995 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题第一试 一、选择题 本题共有 6 个小题，每一个小题都给出了以（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）为代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。1已知，则有（ ）553a444b335c（A） ；（B） ； （C）； （D）cbaabcbacbca2方程组的正整数解的组数是（ ） 2363 yzxzyzxy（A）1； （B）2； （C）3； （D）43如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实0)2)(1(2mxxx数 m 的取值范围是（ ）（A）； （
2、B）； （C） ； （D）10 m43m143 m143 m4如果边长顺次为 25，39，52 和 60 的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（ ） （A）62 （B）63 （C）64 （D）65 5AB 是圆 O 的一条弦，CD 是圆 O 的直径，且与弦 AB 相交，记，则（ ）OABDABCABSNSSM2. |（A）； （B）M=N； （C） （D）M，N 的大小关系不确定NM NM 6设实数 a，b 满足不等式（ ）| )(|baabaa（A）且 （B）且0a0b0a0b （C）且 （D）且0a0b0a0b 二、填空题 1 在 12，22，33，952 这 95 个数中，十位数字为奇数
3、的数共有_个。2 已知 是方程的根，则的值等于_。0412 xx234521 3 设为正实数，则涵数的最小值是_。xxxxy124 以线段 AB 为直径作一个半圆，圆心为 O，C 是半圆周上的点，OC2=ACBC，则 CAB=_。 第二试 一、已知ACE=CDE=90，点 B 在 CE 上，CA=CB=CD，过 A，C，D 三点的圆交 AB 于 F（如图） 。求证：F 为CDE 的内心。初中教育资源网 http:/二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点。试在二次函数的图像上找出满足的所有整点（，）59 10102 xxy| xy xy二、试证：每个大于 6 的自然数 n 都可表示
4、为两个大于 1 且互质的自然数之和。19951995 年全国初中数学联赛试题答案年全国初中数学联赛试题答案 第第 一一 试试 一、选择题 1 （C），1111555243)3(3a，1111444256)3(4b，1111333125)5(5c .bac 2 （B） 第二个方程可以改写为.23)(zyx因为x+y2,且 23 是质数，故z=1，x+y=23，由此得y=23-x，将此代入第一个方程得，63) 1)(23(xx即 .040222xx解之得 ,.21x202x因此，原方程组的两组解为：,；21x211y11z,.202x32y12z3 （C）因为有两根，故0，得m1.原方程的三根为，
5、022mxxm4411x，.显然，x2x1x3.注意到mx112mx113221xx初中教育资源网 http:/，由此得.3111xmm43m4 （D） 设 ABCD 为圆内接四边形，且AB=25，BC=39，CD=52，DA=60.圆内接四边形对角互补，故.连接BD，由余弦定理（如图） ，AC180AADABADABBDcos2222CCDCBCDCBcos222即 Acos60252602522Acos52392523922解得 0)52396025(252396025cos2222 A故 为圆的直径.BDA9065602522BD故圆周长为.65 5 （B）如图，作于E，于F，延长CF交
6、圆O于G，连接DG，因CD是直径，ABDEABCF 故是直角，从而EFGD是矩形，.不妨设，作于G，DGCGFDE FGCF CGOH 于L，则 H 是CG的中点，于是ABOL.OLHFFCHFCHFGCF22因此 DABCABSSM2)( 22FGCFABDEABCFAB.OABSOLAB26 （B） 若a,b满足题设的不等式.则有，22)(baabaa经化简整理得.baabaa )(由此知，.从而，0a0baaa baba上式仅当，时成立，从而0a0ba0ab 二、填空题二、填空题 19在 12,22,102中，十位数字是奇数的只有，.两位数的平方可以表16423662示为，它的十位数的奇
7、偶性与b2十位数字的奇偶性相同.22220100)10(bababa因此，b只能取 4 与 6.即相邻的每 10 个数中有两个数的十位数字是奇数.因此，题目给的 95 个数中，十位数字是奇数的共有 19 个. 220,) 1)(1() 1(123aaaaa初中教育资源网 http:/.222345) 1)(1(aaaaaaaa满足等式 ，0412 aa ，.1a01a所以 22223453) 1(11 aaaa aaaaa.20 )41(1412 31.1)1() 1(11) 1(222xxxxxxy当x=1 时，与同时取最小值 0，因此y2) 1( x2)1(xx 的最小值为 1. 475或
8、 15如图，因AB是直径，故，.由得90ACBABBCCAB sinBCACOC2.BCOC OCAC在中，由正弦定理得ABCOCCABACAOCsinsin.21ABOC ABBC BCOC 或.30AOC150 在等腰中，OAC或.752180AOCCAB15第第 二二 试试一、证明一、证明 ，BCAC 90ACB .45CBACAB A,C,F,D四点共圆. ，45CAFCDF ，90CDE CDFCDEEDF初中教育资源网 http:/，CDF 45即DF平分.CDE ， ，CDCA CDACAD 又 CADCFD180CDA180CFA180，CFB45CBFCDF CDFCFDDC
9、F180CBFCFB180.BCF 即CF平分.DCE 所以F是的内心.CDE 二、二、由y|x|，得|x|，10182 xx即 10|x|. 182 xx当x0 时，式为10x，182 xx即 0，18112xx解得 2x9. 对于上述区间内 x 的整数值，当x=2,4,7,9 时，相应的y为整数值.此时，满足条件 的点有(2,2),(4,3),(7,6),(9,9).当时，式为0x-10x，182 xx即 0，1892 xx解得 -6x-3. 对于上述区间内 x 的整数值，当x=-6,-3 时，相应的y为整数值.此时，满足条件的 点有(-6,6)(-3,3). 故满足条件的整点共有 6 个
10、. 三、证明三、证明 对n分情况讨论.（1）当n为奇数时，设(k1,k为整数）.若n=4k，此时12 knn=k+(k+1)由于，上述表示符合要求.1) 1,(kk（2）当n为偶数时，设或(k1,k为整数).若，此时kn424 kkn4.) 12() 12(kkn与是互质的，因为若它们有公因数d2，设, (m,n12 k12 kndk12mdk12初中教育资源网 http:/是自然数)，则，可见，所以，这与，均为奇数相矛2)(dnm2d2d12 k12 k盾.若 ，此时24 kn.)32() 12(kkn与是互质的.因为若它们有公因数d2，设, (m,n12 k32 kndk12mdk32是自
11、然数)，则，可见，所以，这与，均为奇数相矛2)(dnm2d2d12 k12 k盾.若 ，此时24 kn.)32() 12(kkn与是互质的.因为若它们有公因数d2，设, (m,n12 k32 kndk12mdk32是自然数)，则，可见，即d=2 或 4.这与，均为奇数相矛4)(dnm4d12 k32 k盾. 综上所述，原命题得证. 19951995 年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案第一试 一、选择题 1讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化 为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c(53)111251124311(35)11a25611(44)
12、11b。选C。利用lg20.3010，lg30.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。 2讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z1,进而可求出两个解： (2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程组直接判断：因为xy(否则不是正整数)，故方程组或无解或有两个解，对照选 择支，选B。 3讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1x221。三根能作 为一个三角形的三边，须且只须x1x21又有044m1初中教育资源网 http:/4讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也 存在且唯一又由AB2AD225260252（52122）52132(3242)132
13、392522BC2CD2故可取BD65为直径，得周长为65，选D 5讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由 是错误的比如有的考生取AB为直径，则MN0，于是就选B其实， 这只能排除A、C，不能排除D 不失一般性，设CEED，在CE上取CFED，则有OFOE，且SACESADESAEF2SAOE同理，SBCESBDE2S BOE相加，得SABCSDAB2SOAB，即MN选B若过C、D、O分别作AB的垂线（图3） ， CEAB、DFAB、OLAB，垂足分别为E、F、L连CF、DE，可得 梯形CEDF又由垂径分弦定理，知L是EF的中点根据课本上做过 的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差 的
