动力学入门知识

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1、1动力学 动力学概述 1 动力学的研究内容 静力学研究作用在刚体上力系的简化和力系的平衡条件；没有讨论物体受不平衡力系 作用将如何运动；运动学只是从几何角度研究了物体的运动和描述物体运动的方法， 但未涉及物体所受到的力。动力学则将两者结合起来。研究物体运动的变化与作用于 物体上的力之间的关系。即建立物体运动的普遍规律。 2 动力学研究的力学模型质点，质点系 于非自由质点系非自由质点系，刚体属自由质点系3 动力学研究的问题 （1）已知物体的运动，求作用于物体的力； （2）已知作用于物体的力，求物体的运动情况。 4 动力学的课程体系 1） 经典动力学（矢量动力学）最高原理：牛顿定律 )(),(),

2、(smkgSIFam 时间长度：质量单位制：惯性参考系实验定律rr导出规律： 达朗伯原理质点系普遍定律2） 分析力学初步 3） 两种特殊的运动：碰撞和机械振动基础。 第十二章 动量定理和动量矩定理 本章研究的两个定理 动量定理力系主矢量的运动效应反映； 动量矩定理力系主矩的运动效应反映。 一质点系质量的几何性质 1 质心 质点系的质量中心，其位置有下式确定：mrmrii crrimm其投影式为 , , mxmxii cmymyii cmzmzii c2 刚体对轴的转动惯量定义：为刚体对轴的转动惯量或2 iiZrmIz)(22 iiiZyxmI2影响的因素单位：ZI 是常量与刚体是固连在一起时若

3、轴的位置有关与转轴量的分布有关与刚体的质量多少和质zIzz2kgm物理意义：描述刚体绕轴时惯性大小的度量。z的计算方法：ZI（1）积分法例 12.1 已知：设均质细长杆为 ，质量为。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴lm 的转动惯量。z解：建立如图 12.2 所示坐标，取微段其质量为，则此杆对轴的转动dxdxlmdm z惯量为：1222 22 0mldxxlmIlz例 12.2 已知：如图 12.3 所示设均质细圆环的半径为，质量为，求其对于垂直于Rm圆环平面且过中心的轴的转动惯量。O解：将圆环沿圆周分为许多微段，设每段的质量为，由于这些微段到中心轴的距离im都等于半径，所以圆环对于中心轴的转

4、动惯量为：Rz222mRmRRmIiiz3例 12.3 已知：如图 12.4 所示，设均质薄圆板的半径为，质量为，求对于垂直于Rm板面且过中心的轴的转动惯量。Oz解：将圆板分成无数同心的细圆环，任一圆环的半径为，宽度为，质量为rdr，由上题知，此圆环对轴的转动惯量为，于是，rdrRmdm22zdrrRmdmr3 222整个圆板对于轴的转动惯量为：z2302212mRdrrRmIRz（2）回转半径（惯性半径）设刚体对轴的转动惯量为，质量为，则由式定义的长度，称为刚zZImmIz z体对轴的回转半径。z例如：均质杆（图 12.2） 122mlIzll289. 0122 均质圆环（图 12.3） 2

5、mRIzR均质薄圆板（图 12.4） 2 21mRIzRR707. 022 若已知刚体对轴的回转半径，则刚体对轴的转动惯量为：zz2 zzmI（3）转动惯量的平行轴定理在图 12.5 中，轴间距离为，刚体质量为，其中轴过质心，则有zz /dmz2mdIIzz4例如：在图 12.2 中，细长杆对轴的转动惯量为z22231 212mllmmlIz （4）组合体例 12.4 已知：钟摆可简化为如图 12.6 所示。设均质杆和均质圆盘的质量分别为和1m，杆长为 ，圆盘直径为，求钟摆对通过悬挂点的水平轴的转动惯量。2mldO解：钟摆对水平轴的转动惯量为：O盘杆OOOIII其中： 21 3lmIO杆222

6、 2 222 dlmdmIO盘所以 ldldmlmIO22 221 83 3二动量定理 1 动量的概念与计算质点的动量为vmr质点系的动量系为OnnLpvmvmvmrrrLrr,22115质点系的动量（动量系的主矢量）为iivmprr将质心公式对时间 求一阶导数，有即mrmrii crrtmrmrii c&r &riivmvmrr于是 cvmprr2 动量定理 1）质点的动量定理设质点质量为，速度为，作用力为，由牛顿第二定律，有mvrFrFdtvdmrr 变换为质点的动量定理的微分形式 （为元冲量）dtFvmdrrdtFr将上式对时间 积分有t冲量 质点的动量定理的积分形式2112ttdtFv

7、mvmrrr2）质点系的动量定理设质点系由个质点组成，其中第 个质点的质量为，速度为，所受外力为niimivr，内力为（图 12.7）iFr iFr（1）由牛顿第二定律 iii iFFdtvdmrrr ni, 1L将上式由到求和，有1iniiiiFFdtvdmrrr，Qpdtpdvmdtd dtvdmiiii&rrrr 0 iFr（) izziyyixxi FpFpFpFp &r&r由 , cvmprrcampr&r质心运动定理： （） izcziycyixcxic FmaFmaFmaFamrr质心运动定理反映了质心的重要力学特征：质点系的质心的运动只取决于质点系 的外力，内力改变不了质心的运

8、动。这个定理在理论上和实际中都具有重要的意6义。 在求解刚体系统动力学问题时，为了应用方便，常将上式改写为（） iziziiyiyiixixiiii FamFamFamFamrr式中 、分别是刚体系统中第 个刚体的质量和质心加速度。imiari是由质心公式对时间求二阶导数后得到的，即ciiamamrrmrmrii c&rr（2）积分形式由式（）可得到积分形式 2112ttidtFpprrr（3）动量守恒（质心守恒）若 则常矢量 或常矢量0iFrprcvr若 则常量 或常量0ixFpcxv若则常量 （质心守恒）00tccxxv&cv实例分析 实例 1 利用质心运动定理解释定向爆破实例 2 利用质

9、心运动定理分析汽车的起动与刹车例 12.5 已知：如图 12.11 所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上，设其外壳和定子的总质量为，质心位于转子转轴的中心；转子质量为，1m1O2m由于制造或安装是的偏差，转子质心不在转轴中心上，偏心距。转子以2OeOO21等角速度转动，试求电动机机座的约束力。7解： 1 研究对象：电动机整体 2 分析受力（如图示）3 分析运动：定子不动；转子作匀速圆周运动，其法线加速度0 11OOyx&22ean O4 列动力学方程求解：ixixiFamxFtemmcos02 21iyiyiFamgmmFtemmy212 21sin0由此解出： temFxcos2 2temgm

10、mFysin2 2215 讨论 1） 机座的约束力由两部分组成，一部分由重力（主动力）引起的，称为静约束 力（静反力） ，另一部分是由于转子质心运动状态变化引起的，称为附加动约 束力。 2） 附加动约束力有最大值或最小值：时，02 2maxemFx时，22 221minemgmmFy时，2 2minemFx时，232 221maxemgmmFy3） 附加动约束力与成正比，当转子的转速很高时，其数值可以达到静约束力的 几倍，甚至几十倍，而且这种约束力是周期性变化的，必然引起机座和基础8的振动，还会引起有关构件内的交变应力。 4） 利用动量定理能否求约束力偶矩？M本例也可以选用质心运动定理求解。i

11、cFamrr在图 12.10 中，因为定子不动，故是惯性参考系中，写出系统的质心坐标公xyO1式： 212cos mmtemxc212sin mmtemyc将上两式对时间求二阶导数，可得：212 2cos mmtemxc&212 2sin mmtemyc&由质心运动定理：ixcFxm&xFmmtemmm212 2 21cosiycFym&gmmFmmtemmmy21 212 2 21sin可得temFxcos2 2temgmmFysin2 221例 12.6 在上例中（例 12.5） ，若电动机机座与基础之间无螺栓固定，且为光滑接触（图 12.12） ，初始时电动机静止。求转子以等角速度转动时

12、电机外壳的运动，并分析电机跳 起的条件。解：1）求电机外壳的运动研究电机整体 由图示受力分析知 又因为故常量0ixF00tcx &cx9时，由图 12.11 0 a2121mmemxc时，由图 12.11 t b2121cos2mmtexmxmxc因为 解得： 21ccxxtmmemxcos1212说明电机沿水平方向作简谐振动，振幅为212 mmem 2） 电机未跳起时，仍可用上例所求结果，即yFtemgmmFysin2 221令，求的电机的角速度为：0yF tegmm sin21讨论：当，即时，转子质心在最高处，可求得使电机跳起的最小1sint2t2O角速度为： egmm21 min例 12

13、.7 已知：如图 12.13 表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的理想流 体，而且流动是定常的。求流体对管壁的作用力。解：1）研究对象：取管中截面和截面之间的流体为研究的质点系aabb 2）受力分析：如图所示10设流体密度为，流量为， （流体在单位时间内流过截面的体积流量，定常流动时，vq是常量）在时间内，流过截面的质量为，其动量改变量为vqdtdtqdmvabbapppdrrr 11 baaaabbapppp 111rrrr11aabbpprr即 dtvvqpdv12rrr由 iFdtpdrr得 NvFFFWvvqrrrrrr2112令 NNNFFF rrr其中为管子对流体的静

14、约束力，由下式确定NFr021NFFFWrrrr则有 yyvNyxxvNx vNvvqFvvqFvvqF1212 12rrr为流体流动时，管子对流体的附加动约束力。可见，当流体流速很高或管子截面积很NF r大时，流体对管子的附加动压力很大，在管子的弯头处必须安装支座（图 12.14）三 动量矩的概念及其计算111 质点的动量矩设质点的质量为，某瞬时的速度为，到点的矢径为（图 12.15）MmvrOrr质点对点的动量矩为 OvmrvmMLOOrrrrr质点对轴的动量矩为 zdmvvmMLxyZzr质点对点和轴（该轴通过点）的动量矩关系为 OzO zzOLLr2 质点系的动量矩设质点系由个质点组成，其中第 个质点的质量为，速度为，到点的矢径为，niimivrOirr则质点系对点的动量矩（动量系对点的主矩）为：OiiiiiOOvmrvmMLrrrrr质点对轴的动量矩为 zizzvmMLr动量矩的解析式为 OLrkLjLiLLOzOyOxOrrrr刚体动量矩的计算121)刚体平动（图 12.17）ccciiiiiOvmrvrmvmrL