《Caylay树上非齐次马氏链场二元泛函的极限性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Caylay树上非齐次马氏链场二元泛函的极限性质（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河北工业大学硕士学位论文Caylay树上非齐次马氏链场二元泛函的极限性质姓名：吴然申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：刘文2003.6.1河北工业大学硬士学位论文C a y l a y 树上非齐次马氏链场二元泛函的极限性质摘要树上随机场是随机过程理论在树这一最新的数学模型上的应用，它产生于信息理论的编码和译码问题假设一个序列 x 。) ，其中的状态和状态序偶出现的频率是否遵从大数定律直接影响到编译码方法的优劣，故这一领域一直是众多学者研究的重点最近刘文教授及其合作者对树上的马氏链场的极限定理作了研究，对于非齐次马氏链场，仅对其中的奇偶马氏链场和非对称马氏链场作了研究，本文讨论了一般的非齐
2、次马氏链场的极限性质，得到了关于C a y l a y 树上有限非齐次马氏链场二元泛函的一类极限定理，作为推论得到了关于状态与状态序偶出现频率的极限定理最后我们将S h a u n o n - M c M i l l m a 定理推广到非齐次马氏链场的情形关键字：树，树上非次马氏链场。测度的网微分，样本相对熵率强偏差定理，S h a n n o n - M c M i U a n 定理里型垃塑占韭童壅呈重壁堑三歪坚里垫堡曼丝堕S o M EL I M I TP R o P E R T I E SF o RT H EF U N C T I o N So FT W oV A R I A B L E
3、 So FN o N H o M o G E N E o U S M A R K o VC H A I NF I E L D So NC A Y L A YT R E E SA B S T R A C TR a n d o mf i e l d so nt r e ea T ea p p l i c a t i o n so nt r e e so ft h e o r yo fr a n d o mp r o c e s s - an e wm a t hm o d e l ，w h i c hd e v e l o p e df r o mc o d i n ga n de n c o d
4、 i n gp r o b e l mi ni n f o r m a t i o nt h e o r y A s s u m i n gt h e r ei so n es e q u e n c e x n ，w h e t h e rt h ea p p e a r i n gf r e q u e n c yo fs t a t ea n ds t a t ec o u p l eo b e y st h el a r g en u m b e rl a wi st h ek e yo fag o o dc o d i n ga n de n c o d i n gm e t h o
5、 d ，S Ot h i sd o m a i ni sa l w a y sb e i n gar e s e a r c h i n ge m p h a s e sf o rm o s ts c h o l a r s R e -c e n t l y P r o f e s s o rL i u ，e na n dh i sa s s o c i a t e ss t u d yt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sf o rM a r k o vc h a i nf i e l d sO i lt r e e sB u tf o
6、rt h en o n h o m o g e n e o u sM a r k o vc h a i nf i e l d s ，t h e yo n l ys t u d yt h ee v e n o d dM a r k o vc h a i na n di l O n s y m m e t r i cM a r k o vc h a i n H o w e v e r ，t h i sa r t i c l eg o e si nt h en o r m Mn o n h o n o -g e n e o u sM a r k o vc h a i nf i e l d sa n
7、dg e t sac l a s so fl i m i tt h e o r e m sf o rt h ef u n c t i o n so ft w ov a r i a b l e so ff i n i t en o n h o m o g e n e o u sM a r k o vc h a i nf i e l d s S o m el i m i tt h e o r e m so nt h ef r e q u e n c e so fs t a t e sa n do r d e r e ds t a t ec o u p l e sa r eo b t a i n e
8、 db ys e v e r a ic o t o l l a r i e s A t1 a s t w ee x t e n dt h eS h a n n o n M c M i l l a nt h e o r e mt ot h en o n h o m o g e n e o u sM a r k o vc h a i nf i e l d s K E YW O R D S ：t r e e ，n o n h o m o g e n e o u sM a r k o vc h a i nf i e l d so nt r e e s ，d i f f e r e a t i a t
9、i o no fm e a s u r e so nan e t ，s a m p l er e l a t i v ee n t r o p yr a t e ，s t r o n gd e v i a -t i o nt h e o r e m ，S h a n n o n - M c M i l l a nt h e o r e mGrl l( n ，J )Sn，w ( ) 民0 )咒 P符号说明一一个图 一一个树 一A 中顶点的个数 一一个琰点 一随机变量的取值空间 一概率空间 一a 一代数集族 一集函数 一关于“。的数学期望 一6 示性函数 一随机过程 一概率测度河北工业大学硕士学位
10、论文第一章绪论在概率论的发展史上，极限定理的研究一直占重要地位刘文教授及其合作者利用其首创的分析方法I IJ ，在极限定理的研究方面做了大量的工作1 2 - 6 三十几年前诞生的4 随机场”这一概率论与统计物理的交叉学科，一方面为统计物理提供了严格的数学工具，另一方面也大大扩充了概率论的研究领域【7 J 马氏链场即是一种特殊的随机场数模型近年来引起物理学、概率论及信息论界的广泛兴趣 a - l o ，信息论中S h a n n o n M c M i l l a n 定理的研究，也一度成为学者们研究的一个热点I n - 1 3 1 最近，刘文教授把分析方法巧妙的引入了树上马氏链场的极限定理的研
11、究 1 4 - 1 q ，他的学生杨卫国、王丽英、李艳敏等又将结论推至更普通的形式，本论文继续了这方面的工作随机场中以马氏链场为最常见的一种情况，而马氏链场又以非齐次马氏链场较为重要，杨、王、李的论文中讨论了非齐次马氏链场中较特殊的奇偶马氏链场及左右马氏链场本论文讨论的是更为一般的非齐次马氏链场的情形概率论的严格理论是以测度论为基础的，在刘文教授的分析方法中，一个重要的步骤是构造新测度本论文中关于c a y l e y 树上非齐次马氏链场的极限定理的证明就是以构造新测度为起点的全文共分五章，第一章介绍了本论文的选题背景并对已有工作做了简要介绍，第二章至第四章是主要内容第二章分两节，第一节给出了
12、有关的一些定义及符号，第二节是利用分割单位矩形法，源于刘文教授的分钠单位区间法，并做一定程度的推广，使其适用于马氏链随机场第三章讨论了强极限性质，第一节利用网微分法给出了关键定理的证明，第二节则给出了关于随机场中状态与状态序偶出现频率的极限定理第四章是一类强偏差定理先对强偏差定理方面已有的工作做了简单总结，本章主要是利用样本相对熵率引进一种度量。从而得到了强偏差定理，并将S h a n n o n - M c M i U a n 定理推广到了非齐次马氏链场的情形第五章对本论文所得结果做了俺要总结与以往文献相比，本论文第二章第二节N 元树上非齐次马氏链场在【o ，1 ) “上的实现更具适应性，它
13、可应用于所有马氏链场，且可推广刊可列树上第三章的主要定理涵盖了一类马氏链场，以往结论可由本定理推论得出，第四章的偏差定理亦是如此，这些结论是对这领域的成果的进一步深化第二章定义及其在f o ，1 ) N 上的实现本论文主要采用文献f 1 6 1 1 2 0 2 1 】中的符号2 1 定义及符号表示在本章中有关树的详细定义可参看S p i t e r 的专著树是不含圈的连通图设G = f 正E 是一个树z Y 是T 中任意两个顶点，则存在唯一的从。到”的路径z = Z l ，Z 2 ，z 。= Y ，这时称z 与”是连通的其中2 l ，砘，z 。互不相同，且盈与z l + 1 为只有一条边相连的
14、两顶点，或称为帽邻顶点，m 一1 称为z 到的距离如果一个顶点与根顶点的距离为n 。则称此顶点为n 层上的顶点根顶点称为位于0 层上的顶点设T 是一个树，为正整数如果第n ( n 0 ) 层上的每个顶点均与第n + 1 层上的个顶点相邻，则称此树为C a y l e y 树，记之为T N 设嚣表示含有T 的从第m 层到第n 层所有顶点的子图；L 。= 三：表示含有n 层上所有顶点的子图；r 哪表示含有从根顶点到第n 层的所有顶点的子图本文讨论的是给定值的C a y l e y 树以下统称为T 用1 口1 表示子图B 中的顶点的个数则n1 T ( “I = N ( 2 1 1 ) k = 0从第
15、n 层上的每一个顶点有个分支到达第n + 1 屡，用，J ) ( 1 JSN “，n 1 )表示第n 层上的第J 个顶点。为统一起见也记根顶点为( 0 ，1 ) 乃如图l 所示图l 二进树第三层第二层第一层根设b 是正整数，取S = 1 ，2 ，b ) ，n = S T ，u = u ( ) n ，其中u ( ) 是定义在T 上在S 中取值的函数，是n 的所有有限维柱集产生的口一代数，p 是可测空间2河北工业大学硬士学位论文( n ，一上的概率测度X = X t ，t T 是定义在( n ，) 上的坐标过程，即对任何u = u ( ) n ，定义五) = “J ( ) ，t T ( 2 1 2
16、 )记X 州刖= X t ，T ( “) ；p ( x r 制= x T ( n ) ) = 肛( 茁一“) 下面我们直接利用柱集的分布给出树T 上非齐次马氏链场的一种定义，它是马氏链古典定义的自然推广定义2 1 1 设P k = ( p k ( J 1 1 ) ) 是s 上严格为正的随机矩阵列。q = ( 口( 1 ) ，q ( 2 ) ，q ( 6 ) )是s 上的严格为正的分布，蜥是( n ，) 上的概率测度如果卢p ( x o ，1 ) = q ( x o 1 ) ；( 21 3 )n 一1N kN h 脚( ，”) = q ( x o ，1 ) p ( x k + l ，。 ) ，n 1 ( 2 1 4 ) k = 0h = l4 = m 1 ) + 1则p 。称为随
