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1、高中新课标学习资料第 1页必修五第三必修五第三章章不等式不等式本章内容主要包含三大块： 1. 不等式的性质和解法； 2. 线性规划问题。根据目标函数分类有三种类型：z = ax + by (截距型)，z =axby (斜率型)，z = ( x a )2+ ( y b )2(距离型)；3. 基本不等式，亦即“均值不等式” ，是解决“最值”问题比较好的工具，是复习的重点。第一课时第一课时不等关系与不等式不等关系与不等式教材回归教材回归1. 两个实数大小的比较原理两个实数大小的比较原理差值比较原理设 a，bR，则 a b 0a b；a b = 0a = b；a b 1a b；ba= 1a = b；b
2、abb b，b ca c性质性质 3可加性a ba + c b + c不等式两边加同一个数，不等号方向不变；性质性质 4可乘性a b，c 0ac bcc 为正数不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；a b，c b，c da + c b + d同向不等式相加， 不等号方向不变性质性质 6同向同正可乘性a b 0，c d 0ac bd同向同正不等式相乘， 不等号方向不变性质性质 7可乘方性a b 0an bn( nN，n 2 )同正对任意两正数进行正数次方， 所得结果大小关系不变性质性质 8可开方性a b 0nanb( nN，n 2 )同正性质性质 9取倒数ab 0，a ba10，b 0，且 a
3、 b，试比较 a3+ b3与 a2b + ab2的大小.总结 ：【练】 2. 已知 x 0，试比较nn11与 2n的大小.高中新课标学习资料第 3页4. 已知 a 0，b 0，试比较ba+ab与a+b的大小.5. 若 a b 0，试比较ba 与ab的大小.6. 若 f(x) = 3x2 x + 1，g(x) = 2x2+ x 1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是 (). A. f(x) g(x)B. f(x) b，则 ac bc； 若 ac2 b c2，则 a b； 若 a b 0，则a1b，c d，则 a c b d； 若 a b，c d，则 a + c b + d； 若 a b，c d
4、，则 ac bd。 其中正确的有 _ . ( 把正确命题的序号填在题中横线上 )高中新课标学习资料第 4页【练】 2. 若 a b 0，则下列不等式不成立的是 ().A.a1| b |C. a + b b 0，a c，则 a2 bcB. 若 a b c，则cacbC. 若 a b，nN*，则 an bnD. 若 a b 0，则 lna a b 0，求证：aca bcb .【练】2. 若 a b 0，且 0 bca bB.若 a2 b2a bC.若a1b1a ba1b a b； |a | bc2a b. 其中正确结论的个数是 (). A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知 a b2B.a1b
5、1C. 2a 2bD. 2 a 2 b4. 已知 a b，c 0，则下列不等式一定成立的是 ().A. a2 b2B. ac bcC. a + c b + cD.cacb5. 已知 a ab ab2B. ab2 ab aC. ab a ab2D. ab ab2 a6. 已知 a b 0，c 0= 0 0) 的图像的图像一元二次方程一元二次方程 ax2+ bx + c = 0 (a 0)的根的根x1，2=aacbb 242x1= x2= ab 2无实数根一元二次不等式一元二次不等式 ax2+ bx + c 0 (a 0)的解的解x x2x ab 2R一元二次不等式一元二次不等式 ax2+ bx
6、+ c 0)的解的解x1 0 (a 0)的解集，即二次函数 y = ax2+ bx + c (a 0)满足 y 0 时 的自变量 x 组成的集合，即二次函数 y = ax2+ bx + c (a 0)的图像在 x 轴上方时的点的横坐标 x 的集合，而一元二次方 程 y = ax2+ bx + c (a 0)的根就是二次函数图新与 x 轴交点的横坐标，因此要加深理解“二次函数、一元二次方程和一 元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系。典型例题典型例题【例题【例题 1】一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法解二次不等式的解答步骤：解二次不等式的解答步骤：1求根求根(因式分解、求根公式因式分解
7、、求根公式)；2由由 a 作图作图；一定不要改变二次项系数的正负，这关系到后面单调性问题，开口方向变化，单调性就变。；一定不要改变二次项系数的正负，这关系到后面单调性问题，开口方向变化，单调性就变。3依题意找区间依题意找区间；4写解集写解集；高中新课标学习资料第 8页1. 解下列一元二次不等式. (1) 2x2+ 5x 3 0；(2) x2 4x + 4 0；(3) 2x2+ x + 1 0；【练】2. 不等式xx 22 0 的解集为 x |210 的解集.总结：一元二次方程的根就是其对应的不等式的解集的区间端点。总结：一元二次方程的根就是其对应的不等式的解集的区间端点。【练】 2. 若关于
8、x 的不等式 ax2+ bx + a2 1 0 的解集为(，12，+)，则 a + b = _.高中新课标学习资料第 9页【例题【例题 3】解含参的一元二次不等式】解含参的一元二次不等式1. 解下列关于 x 的不等式. (1) x2 (a + 2)x + 2a 0；(2) x2+ 2x + a 0.【练】 2. 解不等式 ax2 (a + 2)x + 2 0.【例题【例题 4】一元二次不等式的综合运用】一元二次不等式的综合运用1. 若函数 y = lg(mx2+ 2mx + 2m + 4)的定义域为 R，求实数 m 的取值范围.【练】 2. 已知不等式(a2 1)x2 (a 2)x 1 0 的
9、解集是(21，31)，则 a + b 的值为 ().A. 10B. 10C. 14D. 143. 已知集合 A = x | (x + 1)(x 2) 0 ，集合 B 为整数集，则 AB = (). A. 1，0B. 0，1C. 2，1，0，1D. 1，0，1，24. 若a1x2+ bx + a 0 的解集是(2，8)，则 a = _，b = _ .5. 已知函数 f(x) = x2+ ax + 6. (1) 当 a = 5 时，解不等式 f(x) 0 的解集为 R，求实数 a 的取值范围.高中新课标学习资料第 11页课后作业课后作业一、选择题一、选择题1. 不等式 19x 3x2 6 的解集为
10、 ().A. x | 6 x 31B. x |31 x 6C. x |x 6 或 x 31D. x | x 31或 x 62. 已知 a 1，则不等式 x2 (a + 1)x + a 0 的解集是 x 3 或 x 0 的解集为(3，2)，则不等式 bx2 5x + a 0 的解集为 ().A. (31，21)B. (，31)(21，+)C. (3，2)D. (，21)(31，+)6. 在 R 上定义运算：xy = x(1 y)，若不等式(x a)(x + a) 0)的解集为(x1，x2)，且 x1 x2= 15，则 a 等于 ().A.25B.27C.415D.215二、填空题二、填空题8.
11、不等式 x2 x + 4 0 的解集为 _. (用区间表示)10. 已知函数 f(x) = x2+ mx 1，若对于任意 xm，m + 1都有 f(x) 0； (3) 21x2+ 3x 5 0； (4) 2x2+ 3x 2 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax + By + C = 0 某一侧的所有点组成的 平面区域(半平面)，不包括边界直线；不等式 Ax + By + C 0 所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2) 位于直线 Ax + By + C = 0 的同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax + By + C 的值符号相同，也就是位于直线 Ax + By + C = 0 某一侧的
12、所有点，其坐标适合 Ax + By + C 0(或 Ax + By + C 0)；(3)在直线 Ax + By + C = 0 的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从 Ax0+ By0+ C 的符号来 判断 Ax + By + C 0(或 Ax + By + C 0，b 0，都有2ba ab，当且仅当“a = b”时等号成立；重点难点突破重点难点突破1. 重要不等式的使用条件重要不等式的使用条件两个不等式 a2+ b2 2ab，2ba ab成立的条件是不同的，前者要求 a，bR，后者要求 a，bR+，同时两个不等式中都带有等号，当且仅当“a = b”时等号成立. 这一点至关重要，在解
13、题时，要引起足够的重视，另外常见 的还有如下不等式：ba+ab 2 (ab 0)；ab (2ba )2；ba112ab2ba 222ba (a，bR+)在利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件： 含变数的各项的和(或积)必须是正值； 含变数的各项的和(或积)必须是定值； 含变数的各项均相等时取得最值。 以上三条简称为“一正二定三相等” ，这是我们利用基本不等式求最值求最值的依据。2. 两个重要不等式使用的具体方向两个重要不等式使用的具体方向定积和最小，定和积最大定积和最小，定和积最大已知 x，y 都是正数，若其积 x y 是定值 P，那么仅当 x = y 时，和 x + y 有最小值 2P；
14、若其和 x + y 是定值 S，那么仅当 x = y 时，积 x y 有最大值41S2；典型例题典型例题【例题【例题 1】下列解法哪些正确？哪些错误？为什么？】下列解法哪些正确？哪些错误？为什么？ y = x +x4 2xx4= 4ymin= 4.(). y = sin2x +x2sin4 2xx22 sin4sin= 4ymin= 4.().高中新课标学习资料第 17页 y =3x+ 43x 2xx 343= 4ymin= 4.(). y = 1222xx=12x+ 112x 2ymin= 2.(). y = 4522xx=42x+ 412x 2ymin= 2.().【例题【例题 2】利用基本不等式比较大小】利用基本不等式比较大小1. 已知 a 0，b 0，试比较ab，2ba ，222ba ，ba112的大小.【练】2. 已知 a b 1， P =ba lglg， Q =21(lga + lgb)， R = lg2ba ， 则 P， Q， R 的大小关系是： _ 0，b 0，a + b = 1，求证：(1 +a1)(1 +b1) 9.【练】2. 已知 x 1，求证：x +12
