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1、 概率论计算与证明题 113第四章第四章数字特征与特征函数数字特征与特征函数1 1、设是事件 A 在 n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中，再设随机变量视取偶pAP)(数或奇数而取数值 0 及 1，试求及。ED2 2、袋中有 k 号的球 k 只，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。nk, 2 , 1L3 3、随机变量取非负整数值的概率为，已知，试决定 A 与 B。0n!/nABpn naE4 4、袋中有 n 张卡片，记号码 1,2,n,从中有放回地抽出 k 张卡片来，求所得号码之和的数学期望及方差。5 5、试证：若取非负整数值的随机变量的数学期望存在，则。1kkPE6 6、若随机变量服从拉
2、普拉斯分布，其密度函数为 。试求,21)(| xexpx 0，。ED7、若相互独立，均服从，试证。21,),(2aN aE),max(218、甲袋中有只白球只黑球，乙袋中装有只白球只黑球，现从甲袋中摸出只球放ab()c cab入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。9、现有 n 个袋子，各装有只白球只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第ab二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第 n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这 n 次摸球中所摸得的白球总数为，nS求。nS10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重
3、复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。11、若的密度函数是偶函数，且，试证与不相关，但它们不相互独立。2E 12、若的密度函数为，试证：与不相关，但它们不独立。, 22221,1( , ) 0,1xyp x y xy 13、若与都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。14、若，试证的相关系数等于的相关系数。,UaXb VcYd,U V,X Y概率论计算与证明题 11415、若是三个随机变量，试讨论（1）两两不相关；123, 123, （2）；（3）之间的关系。123123()DDDD1 23123EEEE 16、若服从二元正态分布，。证明：与的
4、相关系数, ,1,1Ea DEb D，其中。cosrq()()0qPab17、设服从二元正态分布，试证：( , ) 0,1,EEDDrr。(1)max( , )rE 18、设与独立，具有相同分布，试求与的相关系数。2( ,)N apquv19、若服从，试求。2( ,)N a|kEa20、若及分别记二进制信道的输入及输出，已知 1,01,Pp Pp ，试11Pq011,10,Pq Pr 001Pr 求输出中含有输入的信息量。21、在 12 只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。22、试用母函数法
5、求巴斯卡分布的数学期望及方差。23、在贝努里试验中，若试验次数是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充v要条件，是服从普阿松分布。v24、设是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和，其中 k12vL是随机变量，它与相互独立，试用（1）母函数法， （2）直接计算证明v k。2,()kkkEEv EDEv DDvE25、若分布函数成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它( )1(0)F xFx 的特征函数是实的偶函数。26、试求均匀分布的特征函数。0,127、一般柯西分布的密度函数为。证它的特征函数为221( ),0()p xx ，利用这个结果证明柯西分
6、布的再生性。exp| |i tt概率论计算与证明题 11528、若随机变量服从柯西分布，而，试证关于特征函数成立着0,1，但是与并不独立。( )( )( )ftftft 29、试求指数分布与分布的特征函数，并证明对于具有相同值的分布，关于参数有再生r性。30、求证：对于任何实值特征函数，以下两个不等式成立：( )f t。21(2 )4(1( ), 1(2 )2( ( )ftf tftf t31、求证：如果是相应于分布函数的特征函数，则对于任何值恒成立：( )f t( )F xx。1lim( )(0)(0)2TitxTTf x edtF xF xT32、随机变量的特征函数为，且它的阶矩存在，令，
7、称( )f tn01log( ),kkkk tdXf tknidt为随机变量的 k 阶半不变量，试证（是常数）的阶半不变量等于。kXbb(1)k k kX33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。34、设相互独立，具有相同分布试求的分布，并写出它的数学期望及12,n L2( ,)N a1n M协方差阵，再求的分布密度。11ni in35、若服从二元正态分布，其中，试找出矩阵，使，且要求服从(0, )N4221 AA非退化的正态分布，并求的密度函数。36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。37、若为 ( , ) 中中中1212 121212 212!(,)(1)!()!kkn
8、 kkinpkkppppk knkk01ip， （1）求随机变量的边际分布；（2）求。 0 knikkn121,2i E( | ) 38、若的取值是非负数，且,又，求, ,r v()!nABpnn8E?,?AB39、设且二者独立，求 ,的相关系数(2,1),(1,4)NNU 22Vuv40、某汽车站在时间 t 内发车的概率为 P(t)=1-，求某人等候发车的平均匀时间。et8概率论计算与证明题 11641、某厂生产的园盘的直径服从内的均匀分布，求园盘面积的数学期望。( , )a b42、搜索沉船， 在时间 t 内发现沉船的概率为， 求为了发现沉船所需要的平P tet( )()10均搜索时间。4
9、3、从数字中按有放回方式取数，设随机变量表示第一次选取的数字，随机变量表示第二1,2,3,4次选取的不小于的数字. (1)写出的联合分布列; (2)求.( , ) E44、如果互不相关,且方差分别为,求的相关系数., , 1,3,6,uvuv45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机变量分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的, 个数。1)求二维随机变量的联合分布列; 2)求( , ) E46、设相互独立，且，求的相关, RV 2, 1, 1, 4EDED-2 , 2 - UV 系数。uvp47、民航机场一送客汽车载有 20 个旅客从机场开出，旅客可从 10 个站下车，如果到站没人下车就不 停
10、车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数。48、据统计，一个 40 岁的健康者在 5 年内死亡的概率为，保险公司开办五年人寿保险，条件是1- p参加者需要交保险费元，若五年内死亡，公司赔偿元，问应如何确定才能使公司可ab()bab望受益？若有个人参加保险，公司可望收益多少?m49、对敌人防御地段进行 100 次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是 2，方差 是 1.69，求 100 次轰炸中有 180220 颗命中目标的概率。50、若有把看上去样子相同的钥匙，其中只有 1 把打开门上的锁。用它们去试开门上的锁，设取得n 每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开后除去，求试
11、开次数的期望。X51、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间上。求球的体积的期望。 , a b52、设服从几何分布，它的概率分布列为：，其中，求X1,1,2,iP XiqpnL1qp ，。()E X()D X53、设离散随机变量的分布列为，求的期望。X1,1,2,2P XiiLsin2YX54、有 3 只球，4 只盒子，盒子的编号为。将球随机地放入 4 只盒子中去。记为其中至少1,2,3,4X有 1 只球的盒子的最小号码。求。()E X55、随机地掷 6 个骰子，利用切比雪夫不等式估计 6 个骰子出现点数之和在 15 点到 27 点之间的概率。概率论计算与证明题 11756、已知正常成人血液
12、中，每亳升白细胞数平均是 7300，标准差是 700。利用切比雪夫不等式估计每 亳升男性成人血液中含白细胞数在 5200 至 9400 之间的概率。p57、一部件包括 10 部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且服从同一分布、其期望是2，标准差是 0.05。规定总长度为时产品合格，求产品合格的概率。mmmm(200.1)mm58、根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现随机取 16 只，设它们 的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率。59、证明 Cuchy-Swchz 不等式，若 存在 ,则EE22EEE22260、设
13、 r0，则当 E 存在时， ,有。| |r 0PErr(| |)| | 61、若 则。-1() 1,2, 1(0)kPkpqkpqpL1Ep62、设与都只取两个数值，且与不相关，则与独立。63、叙述并证明契比雪夫大数定律。64、若是取非负整数的随机变量，均存在，则。,EDEPii 1()65、设的联合密度函数是，求证: ,f x y ReRxRxy y ( , )() 121212 12222ERmax( , ) 166、证明：对取值于区间中的随机变量恒成立，。 , a b2 ,( )2baaEb D67、设随机变量的方差存在，为任一实数，证明：Dc2()DEc68、设随机变量的密度函数为：
14、， 其中为正整数， 证明：0( )! 00n xxexp xn x npnn n()021169、若相互独立且同分布，试证： 对任意的12,nRV L1, 1, 1,2,3,iiEDinL有(1,2, ) k knL1(1)02ki ikPkk概率论计算与证明题 11870、如果随机变量序列，当时有，证明：服从大数定律.nn 2 11()0nk kDnn71、设的密度函数是 ，证明与不相关，且不独立。( , ) 222211( . ) 01xyP x y xy 72、设连续型的密度函数为 (其中为正整数)，试利用契贝晓夫不,R V(0)()! 0(0)m xxexP Xm x m等式证明.(0
