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1、金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 1 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 20102010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案(考试时间:2010 年 9 月 4 日 9：0011：30) 二题号一9101112总分得分 评卷人 复核人注意： 1.本试卷共 12 小题，满分 150 分； 2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答； 3.书写不要超过装订线； 4.不能使用计算器.一、填空题（每小题一、填空题（每小题 8 8 分，共分，共 6464 分）分）1.函数的值域是_.2( )24f xxxx2.函数_的图象与的图象
2、关于直线对称.y xye1xy3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于_.4.设椭圆与双曲线相切，则_.22 111xy tt1xy t 5.设是复数，则的最小值等于_.z|1|1|zziz6.设，是实数，若方程的三个根构成公差为 1 的等差数列，abc320xaxbxc则，应满足的充分必要条件是_.abc7.设是的内心，OABC5AB 6AC 7BC OPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r，动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于_.0, ,1x y zP8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是_.二、解答题（共二、解答题（共 8686 分
3、）分）9.（20 分）设数列满足，.求的通项公式. na10a 12 1n naa2n na金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 2 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 10.（22 分）求最小正整数使得可被 2010 整除.n224nn11.（22 分）已知的三边长度各不相等，分别是，的平ABCDEFABC 分线与边，的垂直平分线的交点.求证：的面积小于的面积.BCCAABABCDEF12.（22 分）桌上放有根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多n根火柴，此后每人每次至少取走 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.1n1 取得最后一
4、根火柴者获胜.问：当时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.100n 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 3 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准参考答案及评分标准一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1.答案：.42 5,8提示：因，设（） ，则04x22cosx0（其中，为锐4cos2sin42 5cos()4y2cos51sin5角） ，所以当时，当时，故.0max8ymin42 5y42 5,8y2. 答案：1 ln(1)x提示：因两函数图象关于直线对称，所以，1xy1xy1yx ，解得.11y
5、xe1 ln(1)yx 3. 答案：1 3提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所 以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角的两倍.，tan22 211cos1tan3则.21cos22cos13 4. 答案：5提示：由椭圆方程知，设其参数方程为（为22 111xy tt1t 1cos1sinxtyt参数）代入双曲线方程，得.1xy 22sin2 1t 因两曲线相切，故. 221 1t 5t 5. 答案：13提示：在复平面上，设，则当为的费马点时，( 1,0)A (1,0)B(0,1)CZABC金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 4 页 共 6 页 金太阳新课标
6、资源网金太阳新课标资源网 取得最小值，最小值为.|1|1|zziz32 32 3113333 6. 答案：且.2 13ab 3273aac 提示：设三个根为，则，1132(1)()(1)xaxbxcxxx右边展开与左边比较得，3a 2(1)(1)(1)(1)31b ，消去得，这就是所(1) (1)c 2313273abaac 求的充要条件.7. 答案：12 6提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点在图P 中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点的轨迹所P覆盖的平面区域的面积等于等于面积的 2 倍，即ABC.12 68. 答案：6 7提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有个三角形，其中
7、直角三角形有3 8C个，所求“构成直角三角形”的概率是.3 412 C3 4 3 8126 7C C二、解答题（共 86 分）9. 解：特征根法. 又，（10 分）114221n n naaa11111n n naaa 得，21212222( 2)( 2)( 2)111nnnnnnnaaa aaa L于是.（20 分）( 2)2 ( 2)1nnna金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 5 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 10. 解： 22010|24nn2222240mod2240mod3240mod5240mod67nnnnnnnn 2220mod31mod54
8、3mod67nnnnnn （10 分）又或，20mod30nnn2mod3，21mod52mod5nnn或，243mod6710nnn56mod67故所求最小正整数.（22 分）77n 11. 证明：由题设可证，六点共圆. （10 分）ABCDEF不妨设圆半径为 1，则有，1(sin2sin2sin2 )2ABCSABC.1(sinsinsin)2DEFSABC由于sin2sin2sin2ABC 111(sin2sin2 )(sin2sin2 )(sin2sin2 )222ABBCCAsin()sin()sin()sin()sin()sin()ABABBCBCCACAsin()sin()sin
9、()ABBCCAsinsinsinABC的面积小于的面积. （22 分）ABCDEF12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目从小到大排序为：n，不难发现其前 4 项分别为 2，3，5，8.1n2n3n下面我们用数学归纳法证明：（1）满足； in11iiinnn（2）当时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目；inn1in（3）当时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目.1iinnnin（10 分）设（） ，注意到.iknn4i 212i iinnn当时，甲第一次时可取根火柴，剩余根火柴，乙无法获胜.12inkk2ink金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 6 页 共 6 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 当时，根据归纳假设，甲可以取到第根火柴，并且甲12i inkn21iinknk此时所取的火柴数目，剩余根火柴，乙无法获胜.2in22iinn当时，设甲第一次时取走根火柴，若，则乙可取走所有剩小的火柴；1iknmmk若，则根据归纳假设，乙总可以取到第根火柴，并且乙此时所取的火柴数目mkk，剩余根火柴，甲无法获胜.2in22iinn综上可知，.11iiinnn因为 100 不在数列，所以当时，甲有获胜策略. （22 分） in100n
