《【优秀教案】高中数学第二册上_第八章_圆锥曲线方程：_8.4双曲线的简单几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优秀教案】高中数学第二册上_第八章_圆锥曲线方程：_8.4双曲线的简单几何性质（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课课 题题： ：2 4 双曲双曲线线的的简单简单几何性几何性质质教学目的：教学目的：1使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质奎屯王新敞新疆2掌握标准方程中的几何意义奎屯王新敞新疆cba,3并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题奎屯王新敞新疆教学重点：教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程奎屯王新敞新疆教学教学难难点：点：渐近线几何意义的证明奎屯王新敞新疆授授课类课类型：型：新授课 奎屯王新敞新疆课时课时安排：安排：1 课时 奎屯王新敞新疆教教 具具：多媒体、实物投影仪 奎屯王新敞新疆教学教学过过程程：一、复一、复习习引入：引入： 名名 称
2、称双双 曲曲 线线定定 义义平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫21,FF21FF双曲线。即aMFMF221当 22时，轨迹是双曲线ac当 2=2时，轨迹是两条射线ac当 22时，轨迹不存在ac标标准准方方程程焦点在轴上时： 焦点在轴上时：x12222 by axy12222 bx ayxOy注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数常数的的cba,关关 系系 （符合勾股定理的结构）222bac0 ac最大，可以cbababa,二、二、讲讲解新解新课课： ：1范围、对称性 由标准方程可得，当时，y 才有实数值；对于 y 的任何12222 by ax22ax ax 值，x
3、 都有实数值奎屯王新敞新疆 这说明从横的方向来看，直线 x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着 x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线奎屯王新敞新疆 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心奎屯王新敞新疆 2顶点顶点： 特殊点：0 ,),0 ,(21aAaAbBbB, 0), 0(21实轴：长为 2a, a 叫做半实轴长奎屯王新敞新疆 虚轴：长为 2b，b 叫做虚半轴长奎屯王新敞新疆21AA21BB讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程中，令 y=0 得12222 by axxyQB1B2A1A2NMO，故它与 x
4、轴有两个交点，且 x 轴为双曲线的对ax0 ,),0 ,(21aAaA12222 by ax称轴，所以与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线0 ,),0 ,(21aAaA的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线21AA的实轴长，它的长是 2a.12222 by ax在方程中令 x=0 得，这个方程没有实数根，说明双曲线和12222 by ax22byY 轴没有交点。但 Y 轴上的两个特殊点，这两个点在双曲线中也有bBbB, 0), 0(21非常重要的作用奎屯王新敞新疆 把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是 2b奎屯王新敞新疆 要特别注意不要把虚21BB轴与椭
5、圆的短轴混淆奎屯王新敞新疆 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异奎屯王新敞新疆3渐近线过双曲线的两顶点，12222 by ax21, AA作 Y 轴的平行线，经过ax21,BB作 X 轴的平行线，四条直线围by成一个矩形奎屯王新敞新疆 矩形的两条对角线所在直线方程是（），xaby0by ax这两条直线就是双曲线的渐近线奎屯王新敞新疆 分析：要证明直线（）xaby0by ax是双曲线的渐近线，即要证明12222 by ax随着 X 的增大，直线和曲线越来越靠拢奎屯王新敞新疆 也即要证曲线上的点到直线的距离MQ越来越短，因此把问题转化为计算MQ奎屯王新敞新疆 但因MQ不好直接
6、求得，因此又把问题转化为求MN奎屯王新敞新疆 最后强调，对圆锥曲线而言，渐近线是双曲线具有的性质奎屯王新敞新疆 22|axabxabMNMQ)(22axxab22axxab（）奎屯王新敞新疆| MQ0 x4等轴双曲线a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线奎屯王新敞新疆 结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成(或，它的实轴和都等于 2a(2b)，222ayx)2b这时直线围成正方形，渐近线方程为奎屯王新敞新疆 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和xy虚轴所成的角奎屯王新敞新疆 5共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程xaby)0( kxkakb就一定是：或
7、写成 奎屯王新敞新疆)0( 1)()(2222 kkby kax2222by ax6双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图奎屯王新敞新疆具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两A2A1F2F1xOy点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线奎屯王新敞新疆焦点在 y 轴的情况同学们自己研究7离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率奎屯王新敞新疆 ac ace22范围：1e双曲线形状与 e 的关系：，112 2222 eac aac
8、abk因此 e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔奎屯王新敞新疆 (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约奎屯王新敞新疆利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解奎屯王新敞新疆 这样做将有助于实在本节的这个难点奎屯王新敞新疆 8离心率相同的双曲线(1)计算双曲线的离心率；19422 yx0e(2)离心离为的双曲线一定是吗？举例
9、说明奎屯王新敞新疆 如果存在很多的话，它们0e19422 yx能否用一个特有的形式表示呢？(3)离心率为的双曲线有多少条？213分析：的关系式，并从中发现只要实现2222 )(1)(1kakb ab aba ace半轴和虚半轴各与 a=2,b=3 有相同的比 k：1(k0)的双曲线，其离心率 e 都是奎屯王新敞新疆 2139共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线奎屯王新敞新疆 如与奎屯王新敞新疆191622 yx116922 xy注意的区别：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互换）c 相同奎屯王新敞新疆通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线
10、奎屯王新敞新疆 此即为共轭之意奎屯王新敞新疆1 性质：共用一对渐近线奎屯王新敞新疆 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上奎屯王新敞新疆2 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为-1奎屯王新敞新疆 3 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为kxy，当时交点在 x 轴，当时焦点在 y 轴上奎屯王新敞新疆 )0(1222 kyx00三、三、讲讲解范例：解范例：例例 1. 求双曲求双曲线线 的的实实半半轴长轴长和虚半和虚半轴长轴长,焦点坐焦点坐标标,离心率离心率.14416922xy解解: 把方程化把方程化为标为标准方程得准方程得,1342222 xy可得可得:实实半半轴长轴长:
11、 a=4虚半虚半轴长轴长: b=3 半焦距半焦距: 焦点坐焦点坐标标: (0,-5),(0,5)离心率离心率:例二求下列双曲例二求下列双曲线线的范的范围围、焦点、焦点、顶顶点、离心率点、离心率（ （1） ）32822 yx（ （2） ）422 yx53422c45ace（ （3） ）1254922 yx例例 2.已知双曲已知双曲线线的中心在原点，的中心在原点，对对称称轴为轴为坐坐标轴标轴,它的一个焦点它的一个焦点 F（ （5， ，0） ）,且离心率且离心率 e 可可以使方程以使方程 有相等的有相等的实实根，求根，求满满足条件的双曲足条件的双曲线线方程方程041) 1(22xex例例 3.已知双
12、曲已知双曲线线虚虚轴轴的一个端点的一个端点为为 M, 两焦点分两焦点分别别 F1 , F2 , 且且, 则则双曲双曲线线的离心率的离心率 为为(B )o12021MFFA B C D 326 36 33（参考例（参考例题题） ）例例 1 求双曲线的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，142 2yx并作出草图奎屯王新敞新疆分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答奎屯王新敞新疆解：解：把方程化为标准方程1212222 yx由此可知，实半轴长 a1，虚半轴长 b2顶点坐标是（1，0）， （1，0）焦点的坐标是(，0)，(，0)5212222bac55渐近线方程为，即 奎屯王新敞新疆02
13、1yxxy2例例 2 求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程奎屯王新敞新疆191622 yx)3, 33(A分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得 K 的值即可奎屯王新敞新疆解：解：设与共渐近线且过的1342222 yx)3, 33(A双曲线的方程为奎屯王新敞新疆222234yx则 ，从而有奎屯王新敞新疆22223)3( 4)33( 1611所求双曲线的方程为奎屯王新敞新疆 19916 1122 yx例例 3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方14416922xy程解： ：把方程化为标准方程1342222 xy由此可知，实半轴长
14、a4，虚半轴长 b35342222bac焦点的坐标是(0，5)，(0，5)离心率45ace渐近线方程为，即 奎屯王新敞新疆yx43xy34例例 4 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高 55m选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到 1m)xyOBCCBA251213AxOy分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为 X 轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲
15、线的方程具有最简单的形式。解：解：如图所示，建立直角坐标系 xOy，使小圆的直径 AA在 x 轴上，圆心与原点重合这时，上、下口的直径 CC、BB平行于 x 轴，且|CC|=132(m)，|BB|=252(m)设双曲线的方程为奎屯王新敞新疆12222 by ax)0, 0(ba令点 C 的坐标为(13，y)，则点 B 的坐标为(25，y55)因为点 B、C 在双曲线上，所以 且 1)55( 12252222 by112132222 by解方程组，得 （负值舍去）125by 代入方程，得奎屯王新敞新疆1)55125(12252222 bb化简得19b2275b181500 解方程(使用计算器计算)，得b25(m)所以所求双曲线方程为 奎屯王新敞新疆 162514422 yx点点评评： ： 这是一个有实际意义的题目解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来四、四
