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1、1三角形的五心旋轉三角形的五心旋轉一一.研究動機研究動機 :有一次，我們隨意翻閱三年級的課本第五冊第三章，裡面剛好有提到三角形的重心、內心、外心。於是好奇的我們便去請教數學老師 :三角形只有三個心嗎？老師告訴我們並不是，其實是有五個心，分別是重心、內心、外心、垂心和傍心。然後我們便嘗試以三角形的五心為圓心旋轉，觀察其所產生的圓形。二二.研究目的研究目的 :探究以下的幾種旋轉情形：1.正三角形的四心旋轉。 （重心、內心、外心、傍心）2.等腰三角形（三角皆銳角）的四心旋轉。3.等腰三角形（一角是鈍角）的四心旋轉。4.直角三角形的四心旋轉。5.等腰直角三角形的四心旋轉。6. 正三角形的傍心旋轉。7.
2、 等腰三角形（三角皆銳角）的傍心旋轉。8. 等腰三角形（一角是鈍角）的傍心旋轉。9. 直角三角形的傍心旋轉。10. 等腰直角三角形的傍心旋轉。2三三.實驗器材實驗器材 :量角器、直尺、圓規、計算機、厚紙板、奇異筆。四四.實驗步驟實驗步驟 :1.裁減一個正三角形，畫出重心，轉出其圓。2.裁減一個等腰三角形（三角皆銳角） ，畫出重心，轉出其圓。3.裁減一個等腰三角形（一角是鈍角） ，畫出重心，轉出其圓。4.裁減一個直角三角形，畫出重心，轉出其圓。5.裁減一個等腰直角三角形，畫出重心，轉出其圓。6.如以上 1. 2. 3. 4.步驟分別裁減正三角形、等腰三角形（三角皆銳角、 一角是鈍角） 、直角三角
3、形和等腰直角三角形，畫出內心，轉出其圓。7.也是裁減正三角形、等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角） 、直角三角形和等腰直角三角形，畫出外心，轉出其圓。8.裁減正三角形、等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角） 、直角三角形和等腰直角三角，畫出垂心，轉出其圓。9.因正三角形三邊等長，所以繪出一個傍心即可。轉出其圓。10.而等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角）和等腰直角三角形倆邊等長，所以畫二個傍心。轉出其圓。311.但直角三角形三邊皆不同，所以畫三個傍心。轉出其圓。12.最後互相比較正三角形的五心旋轉、等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角）的五心旋轉、直角三角形及等腰直角三角的五心旋轉，並把其結果記錄
4、下來。五五.實驗結果與討論實驗結果與討論 :1.正三角形的五心旋轉 :正三角形的重心旋轉正三角形的內心旋轉正三角形的外心旋轉正三角形的垂心旋轉4正三角形的傍心旋轉2.等腰三角形（三角皆銳角）的五心旋轉 :等腰三角形（三角皆銳角）的重心旋轉等腰三角形（三角皆銳角）的內心旋轉等腰三角形（三角皆銳角）的外心旋轉等腰三角形（三角皆銳角）的垂心旋轉5等腰三角形（三角皆銳角）的傍心旋轉【1】6等腰三角形（三角皆銳角）的傍心旋轉【2】3.等腰三角形（一角是鈍角）的五心旋轉 :等腰三角形（一角是鈍角）的重心旋轉等腰三角形（一角是鈍角）的內心旋轉7等腰三角形（一角是鈍角）的外心旋轉8等腰三角形（一角是鈍角）的垂
5、心旋轉9等腰三角形（一角是鈍角）的傍心旋轉【1】等腰三角形（一角是鈍角）的傍心旋轉【2】4.直角三角形的五心旋轉直角三角形的重心旋轉 直角三角形的內心旋轉10直角三角形的外心旋轉 直角三角形的垂心旋轉直角三角形的傍心旋轉【1】直角三角形的傍心旋轉【2】11直角三角形的傍心旋轉【3】5.等腰直角三角形的五心旋轉 :12等腰直角三角形的重心旋轉 等腰直角三角形的內心旋轉等腰直角三角形的外心旋轉 等腰直角三角形的垂心旋轉等腰直角三角形的傍心旋轉【1】13等腰直角三角形的傍心旋轉【2】1.正三角形的五心旋轉:因為重心、外心、內心、垂心都在同一點上，它們的圓心也在同一點上，轉出來的圓也一樣大。傍心的半徑
6、就是三角形的高。2.直角三角形的五心旋轉:轉出來的圓，外心的圓垂心的圓內心的圓重心的圓，因為直角三角形有三個不同長的邊所以有三個不同位置的傍心，底邊越短轉出來的圓越小。3.等腰三角形的五心旋轉(銳角):重心、外心、內心、垂心旋轉的圓心都在重心的位置，所以轉出來圓都一樣大。因為兩邊相同所以只畫兩個傍心即可，底邊越短轉出來的圓越小。4.等腰三角形的五心旋轉(鈍角):轉出來的圓，垂心的圓外心的圓重心的圓內心的圓。傍心在下方的圓傍心在旁邊的圓。 5.等腰直角三角形的五心旋轉:垂心的圓外心的圓重心的圓內心的圓傍心的圓，重心的圓不是以重心為準，所有的圓只屬內心是14完整在裡面。傍心底邊越短轉出來的圓越小。
7、六六.結論結論 :我們要證明三角形所轉出的圓，其圓心到達三邊的距離是最短或相等的。1正三角形1.重心、內心、外心、垂心轉出的三角形洽為 ABC 的內切圓，所以圓心至三邊的距離r1r2r3A.B C2.傍心因為12，OEBODB90，BOBO所以 BEOBDO（AAS）故 r1EODOr2同理可證 r2r3所以 r1r2r32等腰三角形（銳角）1.重心、內心、外心、垂心15經由操作實驗得知，如圖由此三角形的重心、內心、外心、垂心所轉出來的圓，皆為三角形的內切圓，故圓心至三邊之距離 r1r2r3 都等長，即 r1r2r32.傍心r1r2r3，其證明同正三角形 A3等腰三角形（鈍角）1.重心 B C
8、經操作測量後得知，所轉出的圓與 AB、AC 相切，所以r2r3r12.外心如圖，因為EOD90所以 OEODr1r2OEODr1r2r1同理 r3r1所以 r2r3r13.內心所轉出的圓為的 ABC 內切圓，所以 r1r2r3164.垂心如圖，以垂心所轉出的圓與 AB 相切，但因垂心落於 C 點，故 r只有一個5.傍心如圖，因為OEA90，所以 OAOEr1又 r3OFOAOEr1 r3r1，同理 r2r117另一傍心為 r1r2r3（另一圖請看 P.8）4等腰三角形（直角）1.重心、內心以等腰直角三角形的重心、內心所轉出來的圓，亦為三角形的內切圓，所以 r1r2r32.外心ACAB，ACB9
9、0連接 OC，則 （1）ODCOEC90（2）CDCE（CDBCACCE）（3）OC=OCCOECOD（RHS）r1r23.垂心如圖，以垂心旋轉後的 r 只有一個184.傍心已知：12，34欲証：r1r2r3CEOCDO90CDOCEO（AAS）r1r2，同理 r1r3r1r2r35直角三角形1.重心、垂心r3r2r12.內心r1r2r33.外心r2r1.4.傍心r1r2r31920七七.參考文獻參考文獻 :1.http:/euler.tn.edu.tw/diymenu.htm 2.http:/.tw/practice/datas-up/datas-up.htm 3.http:/poncelet.math.nthu.edu.tw/usr3/summer99/25/works/newpage3a. htm 4. http:/210.68.134.193/k_bar_ontime/k-learn/high_map_07.htm 5.http:/www.khjh.kh.edu.tw/science40/%E5%9C%8B%E4%B8%AD/% E5%9C%8B%E4%B8%AD%E6%95%B8%E5%AD%B81/%E5%9C%8 B%E4%B8%AD%E6%95%B8%E5%AD%B81.html6.國民中學數學第五冊 國立編譯館主編7. 解析幾何 孫文先編著 九章出版社
