《实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实验三实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性最佳平方逼近多项式的收敛性一、一、实验目的实验目的若已知给定区间a,b上的连续函数,寻找一个简单、易于计算的函数()来代替使用，即用去近似，这就是函数逼近所要研究的问题。()()()()而逼近的方法很多，收敛速度也各有差异，本实验主要讨论最佳平方逼近，分别对 Legendre 以及 Chebychev 方法讨论其 n 次截断多项式的问题，观察其收敛性，学习并掌握最佳平方逼近多项式的 MATLAB 实验及精度比较。二、二、实验原理实验原理由教材定义有：对于给定的函数，如果存在,)(baCxf* 01( )( ),( ),( )nSxSpanxxxL使得22
2、*( )( )( )min( )( )( )bbaaa x bxf xSxdxxf xs xdx 则称 S*(x)是 f (x)在集合中的最佳平方逼近函数。01( ),( ),( )nSpanxxxL显然，求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系)()(0*xaxSjnjj数，使多元函数* 1* 0,naaaLdxxaxfxaaaIjnjjban2010)()()(),( L取得极小值，也即点()是 I (a0, ，an)的极点。由于 I (a0, a1, * 1* 0,naaaL，an)是关于 a0, a1, ，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，(k = 0, 1, 2, ,
3、n)0kaI即0)()()()(20 dxxxaxfxaIkjnjjbak得方程组), 2, 1, 0(,)()()()()()(0nkdxxxfxdxxxxakbajkbanjjL 如采用函数内积记号,)()()(),(,)()()(),(dxxxfxfdxxxxkqakjkbajk那么，方程组可以简写为.（1）0(,)( ,)(0,1, 2, )nkjjk jafknL这是一个包含 n + 1 个未知元 a0, a1, , an的 n + 1 阶线性代数方程组，写成矩阵形式为（2）0001000101111101(,)(,)(,)( ,)(,)(,)(,)( ,)( ,)(,)(,)(,)
4、nnnnnnnnafafaf LLMML L L LL此方程组叫做求 aj (j = 0, 1, 2, , n)的法方程组。显然，其系数行列式就是克莱姆行列式 Gn = Gn (0, 1, , n)。由于0, 1, , n线性无关，故 Gn 0，于是上述方程组存在唯一解。), 1, 0(*nkaakkL从而肯定了函数 f (x)在中如果存在最佳平方逼近函01( ),( ),( )nSpanxxxL数，则必是.（3）*0( )( )njj jSxax三、三、实验内容实验内容考虑 f (x)=|x|在区间-1,1上关于 Legendre 多项式和 Chebychev 多项式的展开式。分别取展开式的
5、 4 次、8 次阶段多项式，画出 f (x)及各次截断多项式的图像，观察收敛性。四、四、实验步骤实验步骤1.最佳平方逼近算法最佳平方逼近算法1)输入被逼近函数 f(x)和对应的逼近区间a,b并选择逼近函数系（x）和权函数；2)解方程组（1）或（2） ，其中方程组的系数矩阵和右端的项由式（3）得到；3)由式（3）得到函数的最佳平方逼近。2.MATLAB 实现实现编写三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数，作出 n 取不同值时的逼近函数曲线，与原函数图像进行比较，观察其收敛性。五、五、实验数据分析实验数据分析51 Legendre 多项式逼近多项式逼近a)在区间-1,1上关于 Legendre
6、 多项式的四次截断多项式为()= |= 15/128+105/64*x2-105/128*x4()逼近图像如下图 5-1 所示，由图可知，此 Legendre 多项式逼近是收敛的。图 5-1b)在区间-1,1上关于 Legendre 多项式的八次截断多项式为()= |=2205/32768+24255/8192*x2-()105105/16384*x4+63063/8192*x6-109395/32768*x8逼近图像如下图 5-2 所示，由图可知，此 Legendre 多项式逼近是收敛的。图 5-2c)在区间-1,1上关于 Legendre 多项式的十六次截断多项式()= |为7821742
7、5/2147483648+1486131075/268435456*x2-()=24273474225/536870912*x4+66994788861/268435456*x6-854525368125/1073741824*x8+398778505125/268435456*x10-860175122625/536870912*x12+247945660875/268435456*x14-472749726735/2147483648*x16逼近图像如下图 5-3 所示，由图可知，此 Legendre 多项式逼近是收敛的。图 5-352 Chebychev 多项式逼近多项式逼近a)在区间-
8、1,1上关于 Chebychev 多项式的四次截断多项式()= |为5734161139222659/45035996273704960+17202483417667977/112589990()=68426240*x2-1911387046407553/2814749767106560*x4逼近图像如下图 5-4 所示，由图可知，此 Chebychev 多项式逼近是收敛的。图 5-4b)f(x)=|x|在区间-1,1上关于 Chebychev 多项式的八次截断多项式为f(x)=1911387046407553/27021597764222976+9556935232037765/337769
9、9720527872*x2-9556935232037765/1688849860263936*x4+13379709324852871/2111062325329920*x6-1911387046407553/738871813865472*x8逼近图像如下图 5-5 所示，由图可知，此 Chebychev 多项式逼近是收敛的。图 5-5c)在区间-1,1上关于 Chebychev 多项式的十六次截断多项()= |式为5734161139222659/153122387330596864+516074502530039()=31/9570149208162304*x2-20069563987
10、2793065/4785074604081152*x4+1324591223160434229/5981343255101440*x6-2838409763915216205/4186940278571008*x8+273328347636280079/224300372066304*x10-47437151242660179/37383395344384*x12+6616339776026145/9345848836096*x14-1911387046407553/11682311045120*x16逼近图像如下图 5-6 所示，由图可知，此 Chebychev 多项式逼近是收敛的。图 5-
11、6由于在 MATLAB 中进行 16 次 Legendre 以及 Chebychev 逼近，速度已经很慢，而且以上 n 的取值已经能表示出 Legendre 和 Chebychev 多项式逼近的特点，故我们 n 只取到 16 为止。六、六、实验讨论实验讨论1、由实验可知，用 Legendre 正交多项式在区间-1,1上逼近函数，不管是 4 次、8 次还是 16 次的阶段多项式，其结果都()= |是收敛的。当节点取的越多，则函数的逼近效果越好。2、用 Chebychev 正交多项式在区间-1,1上逼近函数，不管()= |是 4 次、8 次还是 16 次的阶段多项式，其结果都是收敛的。当节点取的越
12、多，则函数的逼近效果越好。3、对于用 Legendre 正交多项式逼近和用 Chebychev 正交多项式进行逼近，二者的区别在于权函数的选取上。对于 Legendre 正交多项式，其权函数为 1，所以在进行内积的时候，不用考虑权函数的问题。但是对于 Chebychev 正交多项式，计算内积的时候权函数为，在计算内积的时候需要考虑将其带入运算。否则逼近()=11 2误差很大。4、通过利用 Legendre 正交多项式逼近和 Chebychev 正交多项式逼近，从逼近图像上可以看出，在函数的间断点 0 处的误差是最大的。但是，随着截断多项式的次数越高， 0 点的误差也越来越小。5、由实验过程可知，MATLAB 在做 16 次逼近的时候，速度比 4 次以及 8 次要慢很多，处于 s 级，而且逼近精度并没有很大的提高，这对于我们工程实际应用有一个提醒，在精度要求不是很严格而对实时性要求很高的条件下，尽量选取低阶逼近，节省 CPU 资源以及满足系统实时性要求。
