列车餐饮价格问题

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1、潍潍坊学院坊学院 数学与信息科学学院数学与信息科学学院数学建模实训论文数学建模实训论文实训题目：实训题目：列车餐饮价格问题列车餐饮价格问题学生姓名、专业、班级：学生姓名、专业、班级：1、xxx 数学与应用数学一班数学与应用数学一班2、xxx 数学与应用数学一班数学与应用数学一班3、xxx 数学与应用数学一班数学与应用数学一班指导教师：指导教师：xxx20011 年年 12 月月目录目录1 摘要摘要32 问题重述问题重述33问题分析与假设问题分析与假设|33.1 模型假设模型假设33.2 符号说明符号说明44 问题分析问题分析45 模型建立与求解模型建立与求解56 模型结果分析与检模型结果分析与

2、检验验117 模型讨论与改模型讨论与改进进128 参考文参考文献献129 附附录录13列车餐饮价格问题列车餐饮价格问题摘要摘要：从现实出发综合考虑各种因素的条件下，以最大效益为目标，首先应该考虑食 物价格和食物的销售量。根据需求规律：在假设其他因素既定的条件下，盒饭 与方便面的需求量（乘客的购买量）与价格之间存在着反向的依存关系。收益函数是非单调函数，这样把离散函数近似看成连续函数利用求导法则QPR*可求出最大值，但是由于无法统计调查相应的价格对应的销售量，只能用主观 的满意度进行计算，并将盒饭和方便面价格分成七种不同的价格机制，每种价 格机制对应着满意度，考虑到满意度：列车乘客对食物的满意程

3、度，并假设只 要对此种食物满意就必须买这种食物。购买商品的人数=列车总人数*满意度， 再根据收益函数求出各种价格的收益。从现实情况可知两种食物的售价所对应 的价格机制 k 相差不能超过 1，如盒饭售价在为第 2 种价格机制时，方便面的 售价只能是第 1、2、3 三种价格机制；同理可求出相应的收益并求出最大的收 益。考虑到乘客长时间乘车后，产生疲劳的心情，对方便面这种油腻的食物会 比较反感，因此乘客更愿意倾向于购买盒饭，当然由于经济原因，部分乘客还 是选择方便面因此可以主观估计出购买方便面和盒饭占总购买人数的百分比， 同理可求出相应的收益并求出最大的收益。关键字：关键字： 满意度 价格机制 收益

4、 问题重述问题重述长途列车由于时间漫长，列车需要为旅客提供一些服务，提供一天三餐是最主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵，如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000 人，其中 500 人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给 20

5、0 人；另外，车上还可提供每餐 100 人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。问题分析与假设问题分析与假设1 乘客在车上买方便面和买盒饭的行为独立。 2 午餐和晚餐的情况是一样的。 3 乘客不会出现都自带食物的偶然性。 4 早餐情况不考虑。5 假设盒饭的价格和满意度的关系如下。 6 每一量火车的货物成本是一样的。价格和满意度表方便 面33.544.555.56价 格 盒饭910.51213.51516.518满意度 量化100%95%80%70%60%40%30%满意度非常 满意很满意比较满 意基本满 意不太满 意不满意很不 满意符号说明符号说明：盒饭价格1

6、p：方便面价格2p：购买盒饭的人数1n：购买方便面的人数2n：提供的盒饭的人数1q：提供的方便面人数2q：收益 iY7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1i问题说明 此问题是最优化问题，首先应该考虑食物价格和食物的销售量。根据需求 规律：在假设其他因素既定的条件下，盒饭与方便面的需求量（乘客的购买量） 与价格之间存在着反向的依存关系，即，商品的价格 P 上升，需求量 Q 减少； 商品的价格 P 下降，需求量 Q 增加。收益函数 R=P*Q 是非单调函数，这样把 离散函数近似看成连续函数利用求导法则可求出最大值，但是由于无法统计调 查相应的价格对应的销售量，只能用主观的满意度进行核算

7、。模型建立与求解模型建立与求解确定价格和销售量来求最优解在成本一定的情况下只要考虑销售就可以，不用 考虑成本。有模型如下考虑买方便面和盒饭的比例和销售的比例一样时有： 乘客对以下价格的满意程度分别为 价格机1234567制 方便 面33.544.555.56价 格 盒饭910.51213.51516.518满意度 量化100%95%80%70%60%40%30%从表中可以看出前五种都可以把方便面和盒饭销售完，从而可得前五种第五种的销售效率最高，（元）4000100*200*215ppY对于第 6 种，200%40*500nn21133n167n2256367*p133*pY216对于第 7 种

8、，150%30*500nn21100n150n22100p*50p*100Y217综上所述，方便面定价 5 元，盒饭定价 15 元，收益最高。考虑到乘客长时间乘车后，产生疲劳的心情，对方便面这种油腻的食物会比较 反感，因此乘客更愿意倾向于购买盒饭。 （当然由于经济原因，部分乘客还是选 择较为便宜的方便面） 列车运行时间超过一天；两种食物的售价对应的价格机制 k 相差不能超过 1，如盒饭售价在为四种价 格机制时，方便面的售价只能是第三、四、五中价格机制； 乘车时间不超过一天时，购买食物的乘客中，有购买的是方便面，购%60%40 买的是盒饭；乘车时间超过一天时，购买食物的乘客中，有购买的是方便面，

9、购%25%75 买盒饭。当一种食物保持第种价格机制不变、另一种食物提高到种价格机1pk2p1k制时，因升价而减少的人全部打算购买。比如：盒饭保持第 3 种价格机制2p1p12 元不变，而方便面由 4 元提升到 4.5 元时，购买方便面得人减少，这部分人都转而打算购买盒饭。%10%)70%80(对于列车运行的第一天 首先考虑两种食物处于同一种价格机制时,销售利润 有 Matlab 给出算法。 模型如下)100(*100*).100(*:)., 2()200(*200*).200(*:)., 1 (1zzzAxxxAY建立一个满意度和价格关系的矩阵如附录 1 所示， A =9.0000 10.50

10、00 12.0000 13.5000 15.0000 16.5000 18.00003.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.00001.0000 0.9500 0.8000 0.7000 0.6000 0.4000 0.3000 可得对应的价格下的购买食物的人数如附录 2 B1 = 500 475 400 350 300 200 150（1）买盒饭的人数如附录 3 N1 =200 190 160 140 120 80 60买方便面的人数如附录 4 N2 =300 285 240 210 180 120 90 总销售额如附录 5Y1 =2100 2

11、345 2320 2340 2300 1870 1620 （2）当盒饭售价为第 K 种价格、方便面售价为第 k+1 种价格时 打算购买盒饭的人数如附录 6 M1 =215 235 190 170 180 110 打算购买方便面的人数如附录 7 M2 =285 240 210 180 120 90 总销售额如附录 8 Y2 =2150 2500 2730 2795 3250 2355 （3）当方便面售价为第 k 种价格，盒饭售价为第 K+1 种价格时 购买盒饭的人数如附录 9D1 =190 160 140 120 80 60 购买方便面的人数如附录 10D2 =310 315 260 230 2

12、20 140 总销售额如附录 11 Y3 =2295 2270 2290 2250 1820 1630 综合（1） 、 （2） 、 （3）得到: 第一天中利润最大的价格方案为：方便面 5.5 元，盒饭 15 元。 对于列车运行两天的情况 （1*）两种食物处于同一种价格机制时,销售利润此时 买盒饭人数如附录 12N1 =375.0356.2500 300.0000 262.5000 225.0000 150.0000 112.5000 买方便面人数如附录 13 N2 =125.0000 118.7500 100.0000 87.5000 75.0000 50.0000 37.5000 销售额如附

13、录 14 Y1 =1.0e+003 *2.1000 2.4500 2.8000 3.0938 3.3750 2.7500 2.2500 （2*）当盒饭售价为第 K 种价格、方便面售价为第 k+1 种价格时， 买盒饭人数如附录 15 M1 =381.2500 375.0000 312.5000 275.0000 250.0000 162.5000买方便面人数如附录 16 M2 =118.7500 100.0000 87.5000 75.0000 50.0000 37.5000 总销售额如附录 17 Y2 =1.0e+003 *2.1500 2.5000 2.7938 3.0750 3.2750

14、2.9063 （3*）当盒饭售价为第 K+1 种价格、方便面售价为第 k 种价格时 购买盒饭的人数如附录 18D1 =356.2500 300.0000 262.5000 225.0000 150.0000 112.5000 购买方便面的人数如附录 19 D2 =143.7500 175.0000 137.5000 125.0000 150.0000 87.5000 总销售额如附录 20 Y3 =1.0e+003 *2.4000 2.7500 3.1000 3.4500 2.9750 2.5063 综上（1*） ， （2*） ， （3*）得，盒饭 15 元，方便面 4.5 元。 综上所述制定的价格