数学分析内容中体现的数学思想

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1、数学分析内容中体现的数学思想数学分析内容中体现的数学思想微积分的诞生，是全部数学史上的一个伟大创举它曾经历了两千多年的孕育和准备阶段；随着十六、十七世纪欧洲的文艺复兴、产业革命等一系列社会改革，社会生产得到了具大的发展，从而对数学的需求更加迫切，微积分也应运而生；经过十八、十九世纪数学家们的努力，使微积分逐步趋于完善，并发展成为今天具有广泛应用的庞大的基础数学分支学科数学分析。 我们在本书中介绍的主要内容是：数学分析内容中体现的数学思想、蕴涵的哲学思想，数学分析内容中常用的数学思想、数学分析中的美学思想以及在创立微积分的过程中作出了卓越贡献的数学家所采用的思想和方法， 第一部分 数学分析内容中

2、体现的数学思想 一、函数的思想 “用函数来思考”是大数学家克莱因领导的数学教育改革运动的口号。函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的研究对象。函数的思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，将常量视为变量、化静为动、化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数问题加以解决的一种思想方法。 1函数概念的产生与发展 （1）函数概念的起源 函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。

3、在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。 （2）函数概念的产生 恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。笛卡儿在 1637 年出版的几何学中，第一次涉及到变量，他称为“未知和未定的量” ，同时也引入了函数的思想。英国数学家格雷果里在 1667 年给出的函数的定义，被认为是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。 一般公认最早给出函数定义的是

4、德国数学家莱布尼兹，他在 1673 年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。莱布尼兹又在 1692 年的论文中，称 幂的 、 、 等为 的幂数，把幂与函数看作同义语，以后又用“函数”表示依赖于一个变量的量。 （3）函数概念的扩张 函数概念被提出后，由于微积分学的发展，函数概念也不断进行扩张，日趋深化。致使函数概念日趋精确化、科学化。函数概念在发展过程中，大致经过了以下几个阶段的扩张。 第一次扩张主要是解析扩张，提出了“解析的函数概念” 。瑞士数学家约翰伯努利于 1698 年给出了函数新的定义：由变量

5、和常量用任何方式构成的量都可以叫做 的函数。这里的“任何方式”包括了代数式子和超越式子。1748 年欧拉在无穷小分析引论中给出的函数定义是：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的” 。1734 年欧拉还曾引入了函数符号 ，并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。在十八世纪占主要地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式(有限或无限的)。 函数概念的第二次扩张是从几何方而的扩张，提出了“几何的函数概念” 。十八世纪中期的一些数学家发展了莱布尼兹将函数看作几何量的观点，而把曲线称为函数(因为解析表达式在几何上表示为曲线)。达朗贝尔在 1746

6、 年研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数，后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，因此提出了一个新的定义，函数是：“ 平面上随手画出来的曲线所表示的 与 的关系” 。即把函数定义为由单个解析式表达出的连续函数，也包括由若干个解析式表达出的不连续函数（不连续函数的名称是由欧拉提出的） 。 函数概念的第三次扩张，朴素地反映了函数中的辩证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程。形成了“科学函数定义的雏型” 。1775 年，欧拉在微分学一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的

7、函数” 。值得指出的是，这里的“依赖” 、 “随之变化”等等的含义仍不十分确切。这个定义限制了概念的外延，它只能算函数概念的科学雏型。在这次函数概念的扩张中，十九世纪最杰出的法国数学家柯西在 1821 年所著的解析教程中，给出了如下函数定义：“在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数” 。这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词。函数是用一个式子或多个式子表示，甚至是否通过式子表示都无关要紧。 函数概念的第四次扩张，可称为“科学函数定义”进入精确

8、化阶段。德国数学家狄利克雷于 1837 年给出了函数定义：“若对 x(axb)的每一个值，y 总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称 y 是 x 的函数” 。这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚，强调和突出函数概念的本质，即对应思想，使之具有更加丰富的内涵。因而，此定义才真正可以称得上是函数的科学定义，为理论研究和实际应用提供了方便。狄利克雷还给出了著名的函数（人们称为狄利克雷函数） ，这个函数是难以用简单的包含自变量 x 的解析式表达的，但按照上述定义的确是一个函数。为使函数概念适用范围更加广泛，人们对函数定义作了如下补充：“函数 y=f(x)的自变量，

9、可以不必取a,b中的一切值，而可以仅取其任一部分” ，换句话说就是 x 的取值可以是任意数集，这个集合中可以有有限个数、也可以有无限多个数，可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函数成了一个非常广泛的概念。但是，自变量及函数仍然仅限于数的范围，而且也没有意识到“函数”应当指对应法则本身。 函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义” 。出现了美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定义变量、变域和常量的基础上的。所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由变量所表示的任一元素，称为该变量的值。变量 x 代表的“元素”的集合,为该变量的变域，而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况

10、下的特殊变量。这样的变量与常量的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变量定义的缺陷，变量“变动”改进为变量在变域（集合）中代表一个个元素。利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设集合 X、Y，如果 X 中每一个元素 x 都有 Y 中唯一确定的元素 y 与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合 X 到集合 Y 的映射,记作 f：X Y，y=f(x)” 。映射的特殊情况，从数集到数集的映射就是前面狄利克雷的函数定义；从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从而使函数概念摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科中。 函数概念的第六次扩张，提出了“现

11、代函数定义” 。19 世纪康托尔创建了集合论，函数概念进入了集合论的范畴，使函数概念纯粹地使用集合论语言进行定义。在这种情形下，函数、映射又归结为一种更为广泛的概念关系。 “设集合 X、Y，定义 X 与 Y 的积集 X Y 如下：X Y(x，y)|x X，y Y。积集 X Y 中的一个子集 R 称为X 与 Y 的一个关系，若(x，y) R，则称 x 与 y 有关系 R,记为 xR(y)；若(x，y) R，则称 x 与 y 无关系 R。设 是 x 与 y 的关系，即 X Y，如果(x，y)、(x，z) ，必有 y=z，那么称 为 X 到 Y 的映射或函数” 。这就是现代的函数定义，它在形式上回避

12、了“对应”术语，使用的全部是集合论的语言，一扫原来定义中关于“对应”的含义存在着的模糊性，而使函数念更为清晰、正确，应用范围更加广泛了。 横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。 2006-9-3 14:55 #1 lhxsmjh 社区 MVPUID 3467精华 23 积分 15504帖子 3251基本积分 12721 奖励积分 420 阅读权限 120注册 2004-10-26状态 离线 2函数概念的本质 我们以 为例分析函数概念的本质。 在抽象出的具体函数关系中， 、 的地位与作用是不相同的。因为客观事物的联系在分割开来考察时，总有确定的因果关系。在 中，处于主动

13、地位，我们称自变量， 处于被动地位，我们称因变量，y 与 的关系是自变量与因变量的关系，其中自变量处于主动地位，因变量处于依从地位，所以自变量的变化处于主导地位。 y 与 之间用等号连结，但不是简单的数量上相等的关系，而是变量 y 与 之间的等价关系。等式左右两边 y 与 都是依赖于 的，这是同一性；但又包含着不容忽视的差异性：左边的 我们只知道它依赖于 ，但按怎样确定的方式依赖于 ，并没有表达出来。马克思称它为“依赖于 的函数” 。而右边的 是直接用 的组合表示出来的，马克思称之为“用 表示的函数”和 （用 表示的函数）之间的等价关系。只有这时左边才是右边数量的表现。因此函数 左右两边是抽象

14、与具体的统一。左边的 是抽象的，右边的 是具体的，因此活动的主动性在右边。也就是说，对于研究函数，我们关心的是用 表示出来的具体的依赖关系。 反映的是变量与变量之间的关系。但从式子本身看，我们直接得到的是状态间的关系，其中 与 y 之间可变性的关系虽然是变量本身所固有的，但是在关系式 中却是隐藏着的。所以函数关系是 与 y之间明显的状态关系与隐藏的可变性关系的统一体，而函数关系式揭示明显状态关系是主要的方面。 根据以上分析，由第点，自变量与因变量的主从地位中，自变量处于主导的地位，那么自变量的变化范围一一定义域与因变量的变化范围值域中，值域是由定义域经过函数关系所决定的。因此自变量的变化范围起

15、着主要的决定作用。这表现在数学上，将自变量的变化范围一定义域，作为函数的基本要素之一。 由第点分析的抽象与具体的对立统一，也就是“依赖于 的函数”与“用 表示的函数”二者的对立统一。其中“用 表示的函数”起主导作用。因为对一个函数，我们不但要了解 y 依赖于 ，而且更重要的是了解 y 按照怎样的条件所规定的关系依赖于 。要确定一个函数，只抽象地知道 y 依赖于 是不够的，我们的目的在于要知道 y 怎样具体地依赖于 。在数学上就是要确定具体的对应法则。所以对应法则是构成函数的另一个基本要素。 由此可见，函数的基本要素有两条：(1)定义域，(2)对应法则。只要这两条确定了，函数就完全确定了，抓住了

16、这两条，就在数学上抓住了函数慨念的本质。如， 与 在数学上代表完全相同的函数，因为它们的定义域相同，对应法则也相同。至于用什么字母表示自变量、因变量并非本质问题。而 与 是不同的函数，因为对应法则虽然相同，但定义域不同。又如， 与 代表同一个函数。因为对应关系是否相同的实质不在于表达式的形式是否一样，而在于对同一个 ，是否对应着相同的 y 值。 同理 与 ，也代表同一个函数。 由第点，明显的状态关系与隐藏的可变性关系中，明显的状态关系是主要方面，函数刻划运动主要是从状态方面来表现运动，是从运动的反面“静止”来度量运动，而要揭示 与 之间的可变性关系，函数工具是有局限性的，这是数学分析发展中要进一步解决的课题。3函数思想在数学分析中的应用 （1）以函数为桥梁，实现函数与方程、不等式间的转化 方程与函数相比，前者是静止，后者是运动。方程的根可视为对应函数在某种特定状态下的值。当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性与个数时，我们可以从函数的观点出发，化静为动，这样往往可以化难为易、化繁为简。 我们在证明不等式时，可