竞赛训练(6)

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1、 一、如图 1 所示，两个截面相同的圆柱形容器，右边容器高为 H，上端封闭，左边容器上端是一个 可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装由阀门的极细管道相连通，容器、活塞和细管都是绝热的。 开始时，阀门关闭，左边容器中装有热力学温度为 T0的单原子理想气体，平衡时活塞到容器底的距离 为 H，右边容器内为真空，现将阀门缓慢打开，活塞便缓慢下降，直至系统达到平衡，求此时左边容器 中活塞的高度和缸内气体的温度。提示：一摩尔单原子理想气体的内能为，其中 R 为摩尔气体常量，T 为气体的热力学温度。二、一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为 1和 2（1l2，磁场的磁感强度为 B，方向与线

2、框平面垂直，如图 2 所示，令线框的 dc 边从离磁场区域上边 界 PP的距离为 h 处自由下落，已知在线框的 dc 边进入磁场以后，ab 边到达边界 PP之前的某一时刻 线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到 dc 边刚刚到达磁场区域下边界 QQ的过程 中，磁场作用于线框的安培力作的总功为多少？四、一平凸透镜焦距为 f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它 2f 处，垂直于主轴放置一 高为 H 的物，其下端在透镜的主轴上（如图） 。1、用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实；2、用计算法求出此像的位置和大小。五、将一根长为 100 多厘米的均匀弦线，沿水平的 x

3、轴放置，拉紧并使两端固定。现对固定的右端 25cm 处（取该处为原点 O，如图一所示）的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向（即 y 轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图二所示。该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波） 。已知该 波在弦线中的传播速度为 2.5cms，且波在传播和反射过程中都没有能量损失。1、试在图一中准确地画出自 O 点沿弦向右传播的波在 t=2.5s 时的波形图。2、该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传 播，反射点总是固定不动的。这可看成是向右传播的波和向 左传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为 零。由此观点出发，试在图一中准确地画出 t=12.

4、5s 时的波形 图。3、在图一中准确地画出 t=10.5s 时的波形图。六、1997 年 8 月 26 日在日本举行的国际天文学大会上，德国 Max Planck 学会的一个研究组宣布了他 们的研究成果：银河系的中心可能存在一个黑洞。他们的根据是用口径为 3.5m 的天文望远镜对猎户座 中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得到的数据。他们发现，距离银河系中心约 60 亿公 里的星体正以 2000kms 的速度围绕银河系中心旋转，根据上面的数据，试在经典力学的范围内（见提 示 2） ，通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少？（引力常数 G= 6.6710-20km

5、3kg-1s-2）提示：1、黑洞是一种密度极大的天体，其表面的引力是如此之强，以至于包括光在内的所有物质 都逃脱不了其引力作用。2、计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型，在这种模型中，在黑洞表面上的所有物质，即使初速 度等于光速 c 也逃脱不了其引力的作用。七、有一半径为 R 的不导电的半球薄壳，均匀带电，倒扣在 xOy 面上，如图所示。图中 O 为球心， ABCD 为球壳边缘，AOC 为直径。有一电量为 q 的点电荷位于 OC 上的 E 点，OEr。已知将此点电荷由 E 点缓慢移至球壳顶点 T 时，外力需做功 W，W0，不计重力影响。1、试求将此点电荷由 E 点缓慢移至 A 点外力需做功的正负

6、大小，并说明理由。2、P 为球心正下方的一点，OPR。试求将此点电荷由 E 点缓慢移至 P 点外力需做功的正负及大 小， 并说明理由。八、如图所示，一薄壁钢筒竖直放在水平桌面上， 筒内有 一与底面平行并可上下移动的活塞 K，它将筒隔成 A、B 两部分，两部分的总容积 V8.31102米3。活塞导热性能良好，与筒壁无摩擦、不漏气。筒的顶部轻轻放上 一质量与活塞 K 相等的铅盖，盖与筒的上端边缘接触良好 （无漏气缝隙） 。当筒内温度 t27时，活塞上方 A 中盛有 nA3.00 摩尔的理想气体，下方 B 中盛 有nB4.00 摩尔的理想气体，B 中气体中体积占总体积的。现对筒内气体缓慢加热，把一定

7、的热量传给气体，当达到平衡时，B 中气体的体积变为占总体积的。问筒内的气体温度 t是多少？已知筒外大气压强为 p01.04105帕，普适气体常数 R8.31 焦/摩尔开。一、设容器的截面积为 A，封闭在容器中的气体为 v 摩尔，阀门打开前，气体的压强为 p0，由理想气 体状态方程有 p0AH=vRT0 (1)打开阀门后，气体通过细管进入右边容器，活塞缓慢向下移动，气体作用于活塞的压强仍为 p0， 活塞对气体的压强也是 p0，设达到平衡时活塞的高度为 x，气体的温度为 T，则有 p0(H+x)A=vRT (2) 根据热力学第一定律，活塞对气体所做的功等于气体内能的增量，即p0(Hx)A=vR(T

8、T0) (3) 由(1)、(2)、式解得 xHT T0二、设线框得 dc 边刚达到磁场区域上边界 PP时得速度为 v1，则由mv12=mgh (1)dc 边进入磁场后，按题意线框虽然受安培力阻力作用，但依然加速下落，设 dc 边下落到 PP得距 离为h1，速度达到最大值，以 v0表示这最大速度，这时线框中得感应电动势为=Bl1v0线框中的电流作用于线框的安培力为f=Bl1I=(2)速度达到最大的条件时安培力f=mg由此得v0(3)在 dc 边向下运动距离h1的过程中，重力做功 A1=mgh1，安培力做功 A2，由动能定理得A1+A2=将(1)、(3)式代入得安培力作的功(4)线框速度达到 v0

9、后，作匀速运动，当 dc 边匀速向下运动的距离为h2=l2h1时，ab 边到达磁 场的边界 PP，整个线框进入磁场，在线框的 dc 边向下移动h2的过程中，重力做功 A1，安培力做功 A2，但线框速度未变化，由动能定理A1+A2=0A2=A1=mgh2=mg(l2h1) (5)整个线框进入磁场后，直至 dc 边达到磁场区的下边界 QQ，作用于整个线框的安培力为零，安培 力作的功也为零，线框只在重力作用下作加速运动。所以，整个过程中安培力作的总功AA2+A2mg(l2+h)+三、1、用作图法求得物 AP 的像 AP及 所用各条光线的光路如图预解所示。说明：平凸薄透镜平面上镀银后构成一 个由会聚透

10、镜 L 和与它密接的平面镜 M 组合 LM。如图预解所示，图中 O 为 L 的光心， AOF为主轴，F 和 F为 L 的两个焦点，AP 为物，作图时利用了下列三条特征光线。（1）由 P 射向 O 的入射光线，它通过 O 后方向不变，沿原方向射向平面镜 M，然后被 M 反 射，反射光线与主轴的夹角等于入射角，均为 ，反射线射入透镜时通过光心 O，故由透镜 射出时方向与上述反射线相同，即图中 OP。（2）由 P 发出且通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR，它经过 L 折射后的出射线与主轴平 行，垂直射向平面镜 M，然后被 M 反射，反射光线平行于 L 的主轴，并向左射入 L，经 L 折射后

11、的出射线通过焦点 F，即为图中的 RFP。（3）由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ，它经过 L 折射后的出射线将射向 L 焦点 F， 即沿图中 QF方向射向平面镜，然后被 M 反射，反射线指向与 F对称的 F 点，即沿 QF 方向。此 反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出；通过 O 作平行于 QF 的辅助线 SOS，SOS 通过光 心，其方向保持不变，与焦面相交于 T 点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一 点，故 QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 点，图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出射光线。上列三条出射光线的交点 P即为 LM 组合所成的 P 点的像，对应

12、的 A即 A 的像点。由图可 判明，像 AP是倒立实像，只要采取此三条光线中的任意两条即可得 AP，即为正确解 答。2、按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的位置、大小，物 AP 经透镜 L 成的像为第一 像，取 u1=2f，由成像公式可得像距 v1=2f，即像在平面镜后距离 2f 处，像的大小 H与原物 相同，H=H。第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像，第一像在反射镜 M 后 2f 处，对 M 来说是虚物， 成实像于 M 前 2f 处，像的大小 H“也与原物相同，H“=H=H。第二像作为物，再经透镜 L 而成的像为第三像，这时因为光线由 L 右方入射，且物（第二像）位于 L 左

13、方，故为虚物，取物距 u2=-2f，由透镜公式可得像距上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离 2f3 处，像的大小可由求得，像高为物高的四、 1、用 S 表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力和向上的浮力 1LSg。由牛顿第二定律可知，其下落的加速度用 t1表示所需的时间，则由此解得2、木棍下端开始进入下面液体后，用 L表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为，但浮力变为 1LSg+2(L-L)Sg。当 L=L时，浮力小于重力；当 L=0 时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置。用 L0表示在此平 衡位置

14、时，木棍在上面液体中的长度，则此时有由此可得 L0=L2 即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交 界面上，竖直方向为 z 轴，向上为正，则当木棍中点的坐标 z=0 时，木棍所受合力为零，当 中点坐标为 z 时，所受合力为式中 k=(2-1)Sg 这时木棍的运动方程为 aZ为沿 z 方向的加速 度由此可知为简谐振动，其周期为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅 A。木棍下端刚进入下面液体 时，其速度v=a1t1 由机械能守恒可知式中为此时木棍中心距坐标原点的距离，由、式可求得 v，再将 v和式中的 k 代入式得A=L由此可知，从木棍下端开始进入下面液

15、体到棍中心到达 坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（见图）上可 知，对应的 为 300，对应的时间为 T12。因此木棍从下 端 开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从到所用的时间为3、从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和 1 中类似，只是浮力大于重力， 所以做匀减速运动，加速度的数值与 a1一样，其过程和 1 中情况相反地对称，所用时间t3=t1 4、总时间为五、六、解答 首先求出一定质量的引力源成为黑洞应满足的条件，按照黑洞的定义，包括以光速运动的 光子也不能脱离黑洞的吸引，即不能逃离黑洞的表面，而拉普拉斯经典黑洞模型则把光看作是以光速 c 运动的某种粒子。我

16、们知道，物体在引力作用下的势能是负的，物体恰能逃离引力作用，表示物体运 动到无限远的过程中，其动能恰好全部用于克服引力作功。物体不能逃离引力作用，表示该物尚未到 达无限远处，其动能已全部用于克服引力作功，但引力势能仍是负的，这意味着它在引力源表面处 时，其动能与势能之和小于零。若某引力源的质量为 M，半径为 rB，质量为 m 的粒子在引力源表面的速 度等于光速，但它仍不能逃离引力作用，则按牛顿力学的观点应有下列关系：或这就是说，对于质量为 M 的引力源，只有其半径 rB（叫做黑洞的引力半径） ，小于时才会在其表面产生足够强的引力，使得包括光在内的所有物质都不能脱离其引力作用。对光而言，人 们将无法 七、解答：1、解法一。设想，取另一完全相同的带电半球壳扣在题给的半球壳下面，构成一个完整的均匀带电球壳，则 球 壳及其内部各点电势都相