《对2012年北京高考理科数学第19题的探究》由会员分享,可在线阅读,更多相关《对2012年北京高考理科数学第19题的探究(3页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、4 6 数学通讯 2 O 1 3年第 4期( 上半月) 专论荟萃 线 Z 恒 过定 点 ( 2 p, O ) 结论 7 已知抛物线 C: Y 一 2 p x( p O ) , 过 定点( 2 p , O )的动直线 交抛物线于A, B两点( A, B点不是顶点) , 则 以线段 AB为直径 的圆恒过原 点 o 对于结论 2 、 结论 3 、 结论 5 、 结论 6 、 结论 7 的证 明, 在此不赘述 , 有兴趣的读者可模仿结论 1 、 结论 4的证 明尝试 之 ( 收稿 日期 : 2 0 1 2 1 0 3 0 ) 对 2 0 1 2 年北京高考理科数学第 1 9 题的探究 施月 4 良 (
2、 浙江省德 清县第三 中学 ,3 1 3 2 0 1 ) 一 、高考 试题及 解答 呈现 已 知 曲线 C: ( 5 一m) x 。 + ( m一2 ) Y 。 一 8 ( m R) ( 1 ) 若 曲线 C是焦 点在 z轴 上 的椭 圆 , 求 m 的 取值范围; ( 2 ) 设 m=4 , 曲线 C与Y轴的交点为A, B( 点 A位于点B的上方) , 直线 k x+4与曲线 C交 于 不 同的两点 M , N, 直线 Y一 1 与直线 B M 交 于点 G, 求证 : A, G, N 三点共线 试题解答 ( 1 )答案为 b O ) 相交于 M( x , Y 。 ) , N( x , y
3、2 ) 两点, 椭圆与 y轴 的交 点为 A( O , 6 ) , B( 0 , -b ) ( 点 A位 于 点B 的 上 方) 当m土b 时, 联立椭圆与直线方程得( n k + b 。 ) z + 2 k ma z+ 口 。 m 一 口 b 。一 0 , 故 2k m口0 口 m2一 口 6 0 zl十 z2一 一 Xl X2 = = = 又直线 B M 的方程为 : y+b= z, 直线 1 AN 的方程为 Yb= 丝二 z, 设直线 B M 与AN 2 相 交 于 G点 , 则 垒一 ! 鱼 垒 YG b Xl Y 2一 b 一( k xl + m + b ) x2 。(。 。 。k。
4、 。x。 。 。z 。 。 “。-。 。 。 。m。 。 。 。-。 。 。 。 b ) x l 丛 k+ ( m+ ( 一 k z ) n + 6 2 。 、 n + 6 2 k b 2+ ( m一 6 ) 丑 口 0+ 一b+ m b - m 即得 y a一 当 m 一土 b时 , 显 然也 有 Y a一 通过上述探究 , 笔者得到 了如下定理 1 定理 l 设直线 z : y + 与椭 圆x z T yZ 一1 1 ( n b O )相 交 于 M ( x 1 , 3 , 1 ) , N( x 2 , Y 2 ) 两 点 , 椭 圆与 Y轴 的交点 为 A( O , 6 ) , B( O
5、 , 一6 )( 点 A 位于点 B的上方) , 直线 B M 与AN相交于G点 , 则 G点在直线 Y bZ 上 注 此定理 1即为上述高考题的推广 考虑到椭圆与双曲线之间具有相似 的性质 , 笔 者在得 到 了上述 定理 1 之 后 , 马上类 比猜 想得 到 如 下定理 2 定理 2 设直线 z : Y k x+m与双曲线 一 一1 ( 口 0 , 6 0 ) 相 交 于 M ( l , y 1 ) , N( x 2 , y 2 ) 两 点 , 双 曲 线 虚 轴 的 两 个 端 点 分 别 为 A( O , 6 ) , B( O , 一6 )( 点 A位于点 B 的上方 ) , 直线
6、B M 与 AN 相 交 于 G 点 , 则 G 点在直 线 y 一 一0 上 注 由于此定理的证 明与定理 1类似 , 笔者 在 此不 再叙 述定 理 2的证 明 , 留给 有兴趣 的读者 三 、 试 题背 景探 究 上面得到的定理实际上是关于极 点与极线的 性质 , 即 P( O , )称为有心圆锥 曲线的一个极点, 直线 z : Y一 称为与 P点对应的有心圆锥 曲线 的 极 线 而且 , 从定 理 的证 明 过程 可 以得 到 如下 重 要 的结论 : 已知点A( O , 6 ) , B ( O , 一6 ) , 且点G满足竽 为 AG 定值 , 则点 G的轨迹为一直线 此结论 的特殊
7、化在人教版 A版选修 2 1第 4 2页练 习 4可 以找 到 原 型 , 这 也 是定 理 的又 一 特 殊 背 景 四 、 定理 的逆 向探 究 在有 关 圆锥 曲 线 的 一 些命 题 中 , 考 虑 它 的逆 命题往往可以得到一些新 的命题 , 受这样的想法 启发 , 笔者通过思考又得到了如下性质 定理 3 已知椭圆 x z T y Z : = : 1 ( 口 6 O ) 与 Y轴 的交 点 为 A( O , 6 ) , B( O , 一 6 )( 点 A 位 于点 B 的上方) , 点G满足 为定值K, 直线 B G与AG分 A G 别与椭圆相交于 M, N两点, 则直线 MN 过定
8、点 事实上 , 设直线 MN: y h +m与椭 圆 + 菩一l ( a b o ) 相 交于M( x , Y ) , N ( x 2 , Y 2 ) 两 点 , 联 立 椭 圆 与 直 线 方 程 得 ( 口 。 k + b 。 ) z + 2 k ma 。 z + a 2 m。一 口 。 b 。 一 0 , 故 1+ X 2 一 一 :一 挪 么 一 z - z一 刃 p 么 K 一 生一 一 k k A 一 垒 一 ( 如1 +m+6 ) 2 zl Y 2 一 b ( 2 + m 一 6 ) z1 + ( 仇+ 6 ) ( 一 一 z ) k (aZm z-_一a Z b )+ (m-
9、6 ) z a 2 k 0上 b 2 b + m 一b - m 即得 m一而K- 1 6 ,也即直线 MN 过定点Q( O , 4 8 数学通讯 2 O 1 3年第 4期( 上半月) 专论 荟萃 考虑到椭 圆与双 曲线之 间具有相似 的性质 , 于是笔 者在得 到 了上述 定理 1 之后 , 马上通 过类 比 猜想得到如下定理 4 一2 2 定理 4 已知双曲线 一 一 l ( 口 0 , b O 0 )虚轴 的两个端 点 分 别 为 A( o , 6 ) , B( 0 , 一 6 ) ( 点 L A位于点B的上方) , 点 G满足 为定值 K, 直线 AG B G与 AG分 别与 双曲线 相
10、交 于M , N两 点 , 则 直线 MN 过定 点 注 由于定理 4 的证明与定理 3 相似 , 笔者在 此不再叙述它的证明, 留给有兴趣 的读者 五 、 结 束语 高考试题是许多专家、 学者、 优秀教师集体智 慧 的结 晶 , 有很 好的研 究价 值 高 考试 题 源 于课 本 又高于课本 , 许多高考试题的背景都 可以在书本 上找到它的原型 所 以, 我们要善于钻研课 本, 以 课 本 为本 , 最 大 限度 地 发 挥课 本 在 高考 复 习 中 的 重要作用 , 以不变应万变 在平常的教学研究和学 习活动中, 对高考试题 的研究应成为我们一线教 师 的一种 习惯 , 这样 做有 助
11、于提 高 我 们 的教 科 研 意识 只有在培养 自身的能力上不断地下苦功 , 同 时在平常的教学实践中不断地向学生渗 透 自己研 究数 学的思 维 过程 和 一 些 想 法 , 把 数 学 的 学 术形 态转化为学生易于接受 的教育形态 , 才能使学生 的数学思维能力得到提 高, 这是提高我们教学有 效 性 的一 个重 要途径 正所 谓 要 给学 生一 碗 水 , 教 师必须有 一桶 水 ( 收稿 日期 : 2 0 1 2 0 9 2 2 ) L I-接 r弗 Z 贝 ) z一 3 c o s 0 + 9 s i n 0 3 v T O s i n ( 0 + ) , 其 中 t a n 一
12、 1, ( 0 , 詈 ) 由 8 。 得 s i n c 。 s , 所 以 一 1 s i n 0 塑三 , 所以0 a 或7 c 一 2 兀 , 33 其 中 a ( 。 , 号 ) 且 s in a - 寿 , 从 而 可 得 0 + a + 或 丁 c a + + 2 7 r + 显 然 兀 一 a + 萼 , 所 以 , 当 0 + - 萼 时 , z取 得最小 值 z i 一一 3 由 t a n q 1 , ( 。 , 号 ) 可 得s in 一 , c o s 5 D一 , 且 ( o, 由 s i n a= = = _ J - -4, ( 0 , 要) 可得 C O S 0
13、 t 一 3 4 3 3 4 3 , 且 a ( 0 , O 所以a + ( 0 , 詈) , 且 s i n ( a + )一 s i n a c o s q + c o s a s i n o 一 3 ( 一4 ) +2 =_ , 3 3 0 所 以 , 当 0一 a时 , z取得最 大值 z 一 3、 ,而 3 ( 一4 ) 30 +2 二_ 一 而+ ( 一4 ) 综上所述: z一 ( z+ ) +3 的取值范 围 一3 而, 互 二 + ( 、 , 一4 ) 参考 文献 : 1 李建潮 一道希望杯培训题 的质 疑与探究 数学通讯( 上半月) , 2 o 1 2 ( 1 1 、 1 2 ) 【 收稿 日期 : 2 0 1 2 1 1 2 6 )