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1、 地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话：029-86570103第 1 页 共 13 页20072007 年高中数学竞赛综合训练题年高中数学竞赛综合训练题10.1210.12姓名 得分 一、选择题1如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）111ABC222A B CA和都是锐角三角形 111ABC222A B CB和都是钝角三角形111ABC222A B CC是钝角三角形，是锐角三角形111ABC222A B CD是锐角三角形，是钝角三角形111ABC222A B C2过原点的直线 交双曲线于P、Q两点，其中P点在第二象限，现将上、下l2
2、2xy 两个半平面沿轴折成直二面角，此时，点P的位置落到点上，则线段的最短长度xPP Q是 ( ) A. B. C. D. 42 23 24 23设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面 ( )A不存在 B只有 1 个 C恰有 4 个 D有无数多个4已知 S 是由 n(n3)个正整数组成的集合。若 S 中存在三个不同的元素可构成三角形的三边，则称 S 为“三角数集” ，设有连续正整数组成的集合4，5，6，,m,它的所有 10元子集都是三角数集，则 m 的最大值可能是（ ）A1003 B. 503 C. 253 D. 1035若对任意的
3、长方体 A，都存在一个与 A 等高的长方体 B，使得 B 与 A 的侧面积之比和体积之比都等于 ，则 的取值范围是( ) (A) 0 (B)0l (D) l二、填空题6已知函数满足：对于实数的某些值，可以找到相应正数，使得bxaxxf2)(ab的定义域与值域相同，那么符合条件的实数的个数是 xfa7对于一切实数，不等式恒成立，则的取x22(1)cos(cos5)3sin11xx xx地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话：029-86570103第 2 页 共 13 页值范围是 8将等差数列 an ：an=4n-1 中所有能被 3 或 5 整除的数删去后，剩下
4、的数自小到大排成一个数列 bn，则的值为 2006b9在双曲线=1 的一支上不同三点，A、B(,6)、C 与焦点 F(0，5)的距离成等差y2 12x2 1326数列，则线段 AC 的垂直平分线l经过的定点为 .10数列an 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0，an+1-qan 构成公比为q的等比数列q称为此等差比数列的差比那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有 项11已知在三棱锥 S-ABC 中，SCCB，SAAB，CBAB，并且 SA、SC 与ABC 所在平面所成的角相等若 AC=6，S 到平面 ABC 的距离为 4，则异面直线 AC 与 SB 之间的距
5、离为 12设圆：，直线，点，使得存在点，C223xy063: yxllyxP00,CQ使(为坐标原点),则的取值范围是 60OPQoO0x二、解答题 1整数列u0，u1，u2，u3，满足u0=l，且对于每个正整数n，有un+1un-1=kun,这里k是某个固定的正整数如果u2000=2000，求k的所有可能的值地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话：029-86570103第 3 页 共 13 页2、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知PQMN2 212yx Fy与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最PFuuu rFQuuu rMFu u u u
6、 r FNuuu r0PF MFu u u r u u u u rPMQN大值地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话：029-86570103第 4 页 共 13 页3设集合 A 是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：4 , 2)(x对任意，都有 ；2 , 1 x)2 , 1 ()2(x存在常数，使得对任意的，) 10( LL2 , 1 ,21xx都有| )2()2(|2121xxLxx试解答下列问题：()设，证明：4 , 2,1)(3xxxAx )()设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;Ax )()2 , 1 (0x)2(00xx0x()设,任取,
7、令证明：给定正整数 k,对任Ax )()2 , 1 (lx, 2 , 1),2(1 nxxnn意的正整数 p,成立不等式|1|121 xxLLxxkklk地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话：029-86570103第 5 页 共 13 页20072007 高中数学竞赛训练题高中数学竞赛训练题 10.1210.12姓名 得分 1已知函数满足：对于实数的某些值，可以找到相应正数，使bxaxxf2)(ab得的定义域与值域相同，那么符合条件的实数的个数是（ ） xfaA1 个 B 2 个 C 3 个 D不存在 时， (b0) 的定义域与值域都是0abxxf)(,
8、0当时，的定义域是0 的解集，即为0abxaxxf2)(bxax 2，但由于它的值域不含负数，故必0，0,0(,0,)0baa baa Ua此时值域为4, 0)2(, 02ab abf所以，所以有两个值 0 和4。442 aab aba2如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）111ABC222A B CA和都是锐角三角形 B和都是钝角三角形111ABC222A B C111ABC222A B CC是钝角三角形，是锐角三角形111ABC222A B CD是锐角三角形，是钝角三角形111ABC222A B C解：的三个内角的余弦值均大于 0，则是锐角三角形，若是锐角111ABC
9、111ABC222A B C三角形，由，得，那么，211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC 212121222AABBCC ，所以是钝角三角形。故选 D。2222ABC222A B C地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话：029-86570103第 6 页 共 13 页3过原点的直线 交双曲线于P、Q两点，其中P点在第二象限，现将l2 2xy 上、下两个半平面沿轴折成直二面角，此时，点P的位置落到点上，则线段的最xPP Q短长度是 ( ) A. B. C. D. 42 23 24 2D 解：
10、设直线方程为.由ykx(0)k 2 2, ,xy ykx 得，2 2,2 2Pkk2 2,2 2Qkk 过作于，连，则，得为直角三角形. PP MOxMMQP MMQP MQ ,222P QP MQM,2 222 22 222 2kkk, 24 2()kk 24 2 216kk 当，（取负数）时，这时直线方程为。2kk 2k min4P Q2yx 4设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面 ( )A不存在 B只有 1 个 C恰有 4 个 D有无数多个解 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确定了平面，作与平行的平面与四
11、棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形这样的平面有无数多个故选D5已知 S 是由 n(n3)个正整数组成的集合。若 S 中存在三个不同的元素可构成三角形的三边，则称 S 为“三角数集” ，设有连续正整数组成的集合4，5，6，,m,它的所有地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话：029-86570103第 7 页 共 13 页10 元子集都是三角数集，则 m 的最大值可能是（ ）A1003 B. 503 C. 253 D. 1036若对任意的长方体 A，都存在一个与 A 等高的长方体 B，使得 B 与 A 的侧面积之比和体积之比都等于 ，则 的取值范围是( )
12、 (A) 0 (B)0l (D) l解 设长方体 A 的底面长、宽分别为 a1,a2，长方体 B 的的底面长、宽分别为 b1,b2，由题设可得，即，所以 b1,b2是关于121 21212bbbb aaa a1212()bbaa1 212bba ax 的一元二次方程的两个根，故2 1212()0xaaxa a22 1212()40aaa a所以，又因为，所以 l12 2 124 ()a a aa12 2 1241()a a aa故选（D）二、填空题地址：西安经济技术开发区凤城一路 8 号御道华城 A 座 10 层 电话：029-86570103第 8 页 共 13 页7对于一切实数，不等式恒成
13、立，则的取x22(1)cos(cos5)3sin11xx xx值范围是 解：分离参数，由函数值域构建不等式求解原不等式，易求22253(2)cossin1sincos11xx xxxx ( )f x对一切实数恒有，的最小值为 0要使不等式恒成立，只需22(2) 1x xxx( )0f x ( )f x，解之得所求的取值范围为sincos2sin()04（） 3(2,2)44kkkZ8将等差数列 an ：an=4n-1 中所有能被 3 或 5 整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列 bn，则的值为 2006b解：由于an+15- an=60，故若an是 3 或 5 的倍数，当且仅当an+15是 3 或 5 的倍数。现将
