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1、指数函数指数函数教学过程教学过程 （一）问题引入（一）问题引入 问题问题 1 1 从 2000 年起的未来 20 年，我国国内生产总值年平均增长率可达到 7.3%那么， 在 20012020 年，各年的国内生产总值可望为 2000 年的多少倍？ 分析： 如果把我国 2000 年 GDP 看成是一个单位，2001 年为第一年，那么： 一年后（即 2001 年） ，我的 GDP 可望为 2000 年的（1+7.3%）倍； 两年后（即 2002 年） ，我的 GDP 可望为 2000 年的（1+7.3%）2倍； 三年后（即 2003 年） ，我的 GDP 可望为 2000 年的 倍； 引导学生逐年计
2、算，并得出规律：设年后我国的国内生产总值为 2000 年的倍，那么xy)20*,(073. 1xNxyx（二）指数函数的概念（二）指数函数的概念观察和 y=有什么共同特点，得出)20*,(073. 1xNxyxx2定义：定义：一般地，函数叫做指数函数(exponential function)，其中) 1, 0(aaayx且x 是自变量，函数的定义域是 R R。因为a0，x是任意一个实数时，xa是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集 R.R.000,0xxaaxax当时,等于若当时,无意义若a0，如1( 2) ,8xyxx 1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。若a=1， 11
3、,xy 是一个常量，没有研究的意义。所以，只有满足(0,1)xyaaa且的形式才能称为指数函数。思考：函数 是指数函数吗？说明：指数函数中，的系数为 1，有些貌似指数函数，其实不是，但有些看上去xay a不是指数函数，实际上却是，如：因为它可化为) 1, 0(aaayx 11, 011 aaayx回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）( 2)xy （2）2xy （3）xy （4）2yx （5）24yx（6）xyx （7）(1)xya （a1，且2a ）xy32（三）指数函数的图像及性质（三）指数函数的图像及性质 为了研究指数函数的性质，我们先利用描点法作出指数函数的图像，描点
4、法作函数图像的 步骤：列表、描点、连线。1 1、指数函数的函数图像xy2列表x -2-1012 2xy 1 41 21242 2、作出的函数图像xy)21(列表从图中我们看出12( )2xxyy与的图象有什么关系?通过图象看出：12( )2xxyyy与的图象关于轴对称,实质是2xy 上的点（x，y）xyx,yy1与=() 上点(-)关于轴对称.2总结：从图上看xya（a1）与xya两函数图象的特征关于y轴对称. .x 210-1-2 1( )2xy 1 41 21243 3、 指数函数的性质指数函数的性质图象特征a10a1向x轴正负方向无限延伸:函数的定义域为 R图象关于原点或y轴不对称：非奇
5、非偶函数函数图象都在x轴上方：函数的值域为, 0函数图象都过定点（0，1）：因为0a=1自左向右，图象逐渐上升：增函数自左向右，图象逐渐下降：减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于 1：x0，xa1在第一象限内的图象纵坐标都小于 1：x0，xa1在第二象限内的图象纵坐标都小于 1：x0，xa1在第二象限内的图象纵坐标都大于 1：x0，xa1（四）例题讲解（四）例题讲解 1 1 比较下列各题中的两个值的大小 （ 1）1. .72. .5 与 1. .73( 2 )0.10.8与0.20.8( 3 ) 1. .70. .3 与 0. .93. .1解解：(1) 1. .72. .5 与 1. .73
6、可以看作是函数的两个函数值。xy7 . 1由于底数 1.71，所以指数函数在 R R 上为增函数，xy7 . 1因为 2.5-0.2，所以 0.8-0.11.70=1 0.93.1 0.93.1 2 2 截止到 1999 年底，我们人口哟 13 亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在 1%， 那么经过 20 年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿） 解：解：设今后人口年平均增长率为 1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则13(1 1%)xy 当x=20 时，2013(1 1%)16()y 亿答：经过 20 年后，我国人口数最多为 16 亿. . 说明：说明：在实际问题中，经常会遇到类似例
7、2 的指数增长模型，设原有量为 N，每次的增长 率为p,经过 x 次增长，该量增长到 y，则 y=N(1+p)x（xN） 。形如的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数) 1, 0; 0,(aakRkkayx且且模型。例例 3.3. 已知 a=91,b=9.求： （1）;315383 327 aaaa（2）111)( abba.解：解：（1）原式=31 27a.31 23aa21)38(21 315 a= 21 67 a)25 34(=a21.a=91，原式=3.（2）方法一方法一 化去负指数后解.来源:Z*xx*k.Com.1111)(111 baababbaabba abba a=, 9
8、,91ba+b=.982方法二方法二 利用运算性质解.11 )(11111111111 ababbab baa abbaa=, 9,91ba+b=.982例例 4.4. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3452 xx;（2）g(x)=-(5)21(4)41xx.解：解：（1）依题意 x2-5x+40,解得 x4 或 x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.令 u=,49)25(4522xxxx（-，14，+） ，u0，即452 xx0，而 f(x)=3452 xx30=1,函数 f(x)的值域是1，+）.u=49)25(2x,当 x（-，1时，u 是减函数，当 x4，+
9、）时，u 是增函数.而 31,由复合函数的单调性可知，f（x）=3452 xx在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故 f（x）的增区间是4，+） ，减区间是（-，1.（2）由 g(x)=-(, 5)21(4)21(5)21(4)412xxxx函数的定义域为 R R，令 t=()21x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是 t=2,即 g(x)9,等号成立的条件是(x)21=2，即 x=-1，g（x）的值域是（-，9.由 g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而 t=(x)21是减函数，要求 g(x)的增区间实
10、际上是求 g(t)的减区间，求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间.g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，由 0t=(x)212,可得 x-1,由 t=(x)212,可得 x-1.g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，故 g(x)的单调递增区间是（-，-1 ，单调递减区间是-1，+）.1 bNa，abN，logaNb(其中 N0，a0，a1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.2处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思
11、想进行求解.3含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类.4含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.课后作业：课后作业：1 1、一批设备价值、一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则，则年年a%bn 后这批设备的价值为（后这批设备的价值为（ ）A A、 B B、 C C、 D D、(1%)nab(1%)anb1 ( %) nab(1%)nab2
12、 2、若、若，则，则 。21(5)2xfx(125)f3、若、若，则，则等于等于 （ ）21025x10xA、 B、 C、 D、1 51 51 501 625 4、某商品价格前两年每年递增、某商品价格前两年每年递增，后两年每年递减，后两年每年递减，则四年后的价格与原来价格，则四年后的价格与原来价格20%20% 比较，变化的情况是（比较，变化的情况是（ ）A、减少、减少 B、增加、增加 C、减少、减少 D、不增不减、不增不减7.84%7.84%9.5%小结归纳小结归纳5 5、已知指数函数图像经过点、已知指数函数图像经过点，则，则 )3 , 1(p)3(f6、若函数、若函数的图像经过第一、三、四象
13、限，则一定有（的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）(1)(0,1)xyabaaAB01ba且010ba且 CD010ba且11ba且 7、方程、方程 2|x|+x=2 的实根的个数为的实根的个数为_8、直线、直线与函数与函数的图像有两个公共点，则的图像有两个公共点，则的取值范围是的取值范围是ay3) 10(1aaayx且a_ 9 9、若、若，则下列不等式中成立的是（，则下列不等式中成立的是（ ）01xx xxA 2155 .xx xB 5215 .x xxC 2155 .xxx D5521. 10、设、设，则，则 （ ）1.5 0.90.48 12314,8,2yyyA、 B、 C、 D、312yyy213yyy132yyy123yyy1111、设、设那么那么实数实数、与与 1 1 的大小关系正确的是的大小关系正确的是 ( ( ) ).)32(,)32(2 . 15 . 1baabA.A. B.B. C.C. D.D. 1 ab1 baab1ba11212、函数、函数的图象恒过定点的图象恒过定点_。) 10(33aaayx且13、函数、函数的单调增区间为的单调增区间为_xx y2221 1414、如果函数、如果函数在区间在区间上是偶函数，则上是偶函数，则=_)(xfaa24 , 2a1515、是偶函数，且是偶函数，且不恒等于零，则不恒等于零，则(
