方程问题部分例题及作业答案

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1、马到成功奥数网 尽最大努力去做得更好！答疑邮箱： 攀登数学高峰，助你马到成功！方程问题部分例题及作业答案方程问题部分例题及作业答案例例 4 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。 已知船在静水中的速度为 8 千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为 21。某天恰逢暴雨， 水流速度为原来的 2 倍，这条船往返共用 9 时。问：甲、乙两港相距多少千米？分析：这是流水中的行程问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。解答本题的关键是要先求出水流速度。解：设甲、乙两港相距 x 千米，原来水流速度为 a 千米/时根据题意可知，逆水速度与 顺水速度的比

2、为 21，即（8-a）（8a）12，再根据暴雨天水流速度变为 2a 千米/时，则有解得 x=20。答：甲、乙两港相距 20 千米。例例 10 某缝纫社有甲、乙、丙、丁 4 个小组，甲组每天能缝制 8 件上衣或 10 条裤子； 乙组每天能缝制 9 件上衣或 12 条裤子；丙组每天能缝制 7 件上衣或 11 条裤子；丁组每天 能缝制 6 件上衣或 7 条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子） 。 问：7 天中这 4 个小组最多可缝制多少套衣服？分析：不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产，应该考虑各组生产上衣、裤子的 效率高低，在配套下安排生产。我们首先要说明安排做上衣效率高的

3、多做上衣，做裤子效率高的多做裤子，才能使所 做衣服套数最多。一般情况，设 A 组每天能缝制 a1 件上衣或 b1 条裤子，它们的比为在安排A 组尽量多做上衣、B 组尽量多做裤子的情况下，安排配套生产。这马到成功奥数网 尽最大努力去做得更好！答疑邮箱： 攀登数学高峰，助你马到成功！的效 率高，故这 7 天全安排这两组生产单一产品。设甲组生产上衣 x 天，生产裤子（7-x）天，乙组生产上衣 y 天，生产裤子（7-y）天， 则 4 个组分别共生产上衣、裤子各为 678x+9y（件）和 11710（7x）12（7-y） （条） 。依题意，得428x9y7770-10x84-12y，令 u428x9y

4、，则显然 x 越大，u 越大。故当 x=7 时，u 取最大值 125，此时 y 的值为 3。答：安排甲、丁组 7 天都生产上衣，丙组 7 天全做裤子，乙组 3 天做上衣，4 天做裤 子，这样生产的套数最多，共计 125 套。说明：本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最多，实质上是 化为“一元函数”在一定范围内的最值，注意说明取得最值的理由。例例 13 一条路从甲地到乙地是下坡，从乙地到丙地是平路，一人骑车以每小时 12 千 米的速度下坡，而以每小时 9 千米的速度通过平路到达丙地，共用了 55 分钟；回来时以每 小时 8 千米的速度行至乙地，又以每小时 4 千米的速度行到甲地

5、，共用了 1.5 小时.问从甲 地到丙地共有多少千米？解：设从甲地到乙地为 x 千米，从乙地到丙地为 y 千米，依题意可得下列方程组：去分母，（1）两端同乘以 36 得：3x+4y=33.（2）两端同乘以 8 得：马到成功奥数网 尽最大努力去做得更好！答疑邮箱： 攀登数学高峰，助你马到成功！y+2x=12.原方程组与下面方程组同解.由（4）得 y=12-2x，代入（3）消去 y 得：3x+4（12-2x）=333x+48-8x335x=15x=3.将 x=3 代入（4）得：y12-23y6.原方程组的解为x+y=9.答：从甲地到丙地共 9 千米.例题例题 14 小明、小勇与两位小同学小英、小

6、娟去给军属运蜂窝煤，每人运的块数不同， 但每人每次运的块数与他自己运的次数正好相等，小明比小勇多运 15 块，小英比小娟也多 运 15 块，问共搬了多少块蜂窝煤？ 解解：设小明每次搬 x 块，则 x 次搬 x2块.小勇每次搬 y 块，则 y 次搬 y2块.小英每次搬 u 块，则 u 次搬 u2块，小娟每次搬 v 块，则 v 次搬 v2块.x2-y2=15，u2-v2=15. （xy） （x-y）15， （u+v） （u-v）=15.但 15 只有两种表示成两个自然数乘积的形式：15=115=35，而四人搬的块数各不相 同，所以在这两种情形解出后都有：x2+y2+u2+v2=82+72+42+1

7、2130.答：共搬煤 130 块. 例题例题 15三角形 ABC 被分割成 6 个大小不等的三角形， 如图，求这三角形的总面积？解：设其他两个小三角形的面积 分别为 X 和 Y，则马到成功奥数网 尽最大努力去做得更好！答疑邮箱： 攀登数学高峰，助你马到成功！解得 X=120 Y=140 总面积为 160+60+70+80+120+140=630 【作业作业】HW1 一辆汽车在公路上匀速行驶，司机看见里程碑上的数字是一个两位数再过一小时，里程碑上是三位数，又恰好是第一个两位数中间加了个零（用所以（10BA）-（10A+B）（100A+B）-（10BA）即 18B=108A，B=6A.由于 A、

8、B 都是一位非零数字，所以 A1，B6.答：第一个里程碑上数字是 16，第二个里程碑上数字是 61，第三个里程碑上数字是 106.HW2 甲、乙两队学生参加郊区夏令营，但只有一辆车接送，坐不下.甲队学生坐车从 学校出发的同时，乙队学生开始步行.车到途中某处让甲队学生下车步行，车立即返回接乙 班学生并直开到夏令营，两班学生正好同时到达.已知学生步行速度为 4 千米/小时，汽车载 学生时速度为 40 千米/小时，空车时速度为 50 千米/小时，问甲班学生应步行全程的几分 之几？解：如图：设全程为 x 千米，甲、乙两队分别步行 a、b 千米.要使两队学生同时到达夏令营，只 有他们两队步行的路程相等才

9、行，故 a=b.等量关系是：乙队走 a 千米路程的时间正好等于汽车送完甲队又原路返回时遇到乙队 的时间，即：马到成功奥数网 尽最大努力去做得更好！答疑邮箱： 攀登数学高峰，助你马到成功！去分母，两端同乘 200，得5x-5a+4x-8a=50a9x63aHW3 整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知 70 头牛在 24 天里把草吃完，而 30 头牛就得 60 天。如果要在 96 天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？ 若这三个量用参数 a，b，c 表示，再设所求牛的头数为 x，则可列出三个方程。若能消去 a，b，c，便

10、可解决问题。解：设整片牧场的原有草量为 a，每天生长的草量为 b，每头牛一天吃草量为 c，x 头 牛在 96 天内能把牧场上的草吃完，则有-，得36b=120C。 -，得96xc=1800c36b。 将代入，得96xc1800c+120c。解得 x=20。答：有 20 头牛。HW4 某汽车制造厂工人共 86 人，已知每个工人平均可加工甲种零件 15 个，或乙种 零件 12 个，或丙种零件 9 个.问应安排加工甲种零件、乙种零件、丙种零件各多少人才能 使加工后的 3 个甲种零件、2 个乙种零件和 1 个丙种零件恰好配套？ 解解：设安排加工甲、乙、丙三种零件的人数分别为 x 人，y 人，z 人，依

11、题意列方程：答：安排 36 人生产甲种零件，30 人生产乙种零件，20 人生产丙种零件.HW5 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加 起来恰好是某个自然数的平方，求原来这个两位数与新得到的两位数的和.马到成功奥数网 尽最大努力去做得更好！答疑邮箱： 攀登数学高峰，助你马到成功！由题设条件应有是某自然数的平方，由表达式 11（ab）可知这个完全平方数既有一个约数 11，就一 定还有一个约数 11，因此 11 是 a+b 的约数，而 a、b 又都只能取自 1、2、3、8、9.故 a+b11.答：原数与新数的和为 121.HW6 如图，沿着边长为 90 米的正方形，

12、按逆时针方向，甲从 A 出发，每分钟走 65 米，乙从 B 出发，每分钟走 72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所 需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正 方形哪一条边上。解：设追上甲时乙走了 x 分。依题意，甲在乙前方390=270（米） ，故有72x65x+270。由于正方形边长为 90 米，共四条边，故由可以推算出这时甲和乙应在正方形的 DA 边上。答：当乙第一次追上甲时在正方形的 DA 边上。HW7 甲、乙、丙、丁四名学生共有 45 元钱.如果甲的钱增加 2 元

13、，乙减少 2 元，丙 增至 2 倍，丁减少为一半，则这四人的钱数相同.问四人各有多少钱？4.解：设甲、乙、丙、丁原有钱数分别为 x 元、y 元、z 元、t 元，则解之，甲原有 8 元，乙原有 12 元，丙原有 5 元，丁原有 20 元.【随堂测试随堂测试】马到成功奥数网 尽最大努力去做得更好！答疑邮箱： 攀登数学高峰，助你马到成功！试题试题 1 小明每天定时从家到学校，若小明每分钟走 30 米，则迟到 3 分钟；若小明每 分钟走 40 米，则早到 5 分钟.求小明家到学校的距离.解：设小明家到学校的距离为 S 米，则去分母，方程两端同乘以 120：4S-360=3S600S=960. 答：小

14、明家离学校 960 米.试题试题 2 甲、乙共有图书 63 册，乙、丙共有图书 77 册三人中图书最多的人的书数 是图书最少的人的书数的 2 倍问：甲、乙、丙三人各有图书多少册？ 4提示：这道题要先推理后列方程关键是分析出甲、乙、丙三人中谁最多、谁最少依 题意：甲+乙=63，乙+丙=77，两式相减得丙-甲=14题目中还给出图书最多的人的书数是 图书最少的人的书数的 2 倍，也即它们的于甲， 知丙不是最少若丙最多，甲最少设丙有图书 x 册，则由条件有：求出乙为 49 本，这样显然丙不是最多，也不是最少因此，乙最大，甲最小解：设甲有图书 x 册，则乙有图书 2x 册x+2x63x=212x=427

15、7-42=35答：甲有图书 21 册，乙有图书 42 册，丙有图书 35 册试题试题 3有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走 1 个鸡蛋和余下的，第二人拿走 2 个和余下的，第三个人拿走 3 个鸡蛋和余下的，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同。问：共有多少鸡蛋？分给几个人？马到成功奥数网 尽最大努力去做得更好！答疑邮箱： 攀登数学高峰，助你马到成功！所以分给了 8 人。试题试题 4一个六位数，如果乘 3，则得到一个新的六位数，求原来的六位数？解：设为 X，则 （a105+x）3=10x+a x=42857a因为 X 是一个五位数，a 只能取 1 或 2 当 a=1 时，X=42857 当 a=2 时，X=85741 所以这六位数是 142857 或 285714 试题试题 5A 城有化肥 200 吨，B 城有化肥 300