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1、2 0 1 0年第 8期 中学数 学研 究 2 9 用解析法巧解 三角形 广东省澄海中学( 5 1 5 8 0 0 ) 陈东生 蔡玲玲 我们所熟知的解三角形重要工具余弦定理： 在 晰， 解题过程简洁 下面例说解析法在解三角形中的 AA B C中， a ：b +C 一 b c c o s A 高中数学老教材里 ， 另外三类典型应用 该定理的证法如下 ： 1 求顶点坐标 ， 解各要素 证明： 如 图 1 ， 建立平 面 通过建立直角坐标系， 求解三角形三个顶点的 直角坐标系， 则得 ( 0 ， 0 ) ，r l 坐标， 便能快捷解得该三角形的各个要素 B ( c ， 0 ) ， 由三角函数的定义
2、例1 ( 0 4 全国) 在三角形A B C 中， A B= 3 ， B c 知C ( b c o s A， b s i n A ) 由两点距 _ ： 、 ， A C=4 ， 则边A C上的高为( ) 离-公b c o式s A得 ) 2： a+2 f-一Ib c o s A 6三 b ；1 A 三2 B 三2 c 三2 。 3 + f 一6 s i n 4) = 一 一。 +C22 b c c o s A 图 1 解 析： 如 图 2 ， 以 AA B C 、 ， 余弦定理的证明方法有 的顶点 A为原点， 边 A C所在 l 很多种， 明显上述证法最为简单， 优美 区别于其它 的直线为 轴建立
3、直角坐标 I 证法， 该证法是通过建立平面直角坐标系， 利用代数 系， 则点A 、 C的坐标分别为 l 方法来解决几何问题， 即解析法 该证法给我们一个 ( 0 ， 0 ) 、 ( 4 ， 0 ) ， 设点B的坐标OIA C 启发 ， 解三角形时适当地建立平面直角坐标系， 往往 为 ( ， Y ) ( Y 0 ) ， 则 Y为边 能使解题思路明确 、 清 4 c上的高则 网 ， 删 c 。 黄金删缘 特征是 lJ问8题-1的2A 1 2 3 2o 昔 蔷 u 优 1叮 肚 l HJ U I 从 J工 一 J 不 几 口 土 刀 l U l HJ ( 2 )因为三角形的中线将三角形分成面积相等
4、情境为考生提供 了自主探索 与研究的空间， 能有效 的 两 此 肘 5 。 = 3 2 删三 角 翟 形 的中线不可能是该三角形的黄金分割线 捕捉到更多有用信息 ； 只有具备 良好的思维品质 ， 才 ( 3 )因为DF C E， 所以A D E C A F C E的公共 能有效地整合运用所得信息 。 学生通过猜想推理 、 类 边 C E上的高也相等 ， 所 以有 S 。 c=S ， c 比联想 、 画图操作 、 反思探究 ， 并与相关数学 知识衔 设直线 E F与 c D交于点 G， 则 S =S m c ， 于 接运用 ， 将试题中新概念 、 新规则的内涵充分揭露和 是S a A D C=S
5、 t , a r G O+S A ,F G C 5 口 边 脚 +S a A r ， S a e c 释放 ， 在按照指令完成规定要求 的同时 ， 真正体验了 一c ，又 因 为 A BC AA DC，所 以 AB C 鬈 略 的 重 要 性 ，“ 悟 性 ” 和 学 u u 导 笔 ll l l盲 士 S Pq 一BEF C，因此 ， 直线 E F也是 S 的黄金分割线 “ 人人学有价值的数学 ； 人人都能获得必需的数 ,A E F 学 ； 不同的人在数学上得到不 同的发展”是中考数学 3 0 中学数学研究 2 0 t 0年第 8 期 艄r 【 Y 例2( 0 7四川 ) 如图3 ， 、 ，
6、 、 f 是同一平面 内的三条平行 直线 ， f 与 f ： 间的距离是 1 ， Z 与 间的距离是 2 ， 正三角形 A B C的三顶点分别在 ， 。 、 、 f 上 ，则 A B C 的 边 长 是 ( ) ( 1 图 3 A 2 1 3 B c 4 D 解析： 如图4 ， 以点 B为原点 ， l 为 轴建立平面 直角坐标系 则 可设 A ( m， 1 ) 、 C ( ，一2 ) ， 由 A B = 解 得 ，故 三 角 形 的 边 长为 = +1= 澈 选 D 2 1 故 = 删s i = 6 点评： 上述三个例子， 三角形各要素是确定的 ， 通过建立直角坐标系， 根据已知条件列方程或方
7、程 组求得各顶点的坐标 ， 解得该三角形的各个要素 思 路明确 ， 过程简化 ， 轻松求解 2 求顶点轨迹， 求最值 有些解三角形最值问题 ， 三角形各要素是不确 定的， 只要建立直角坐标系 ， 根据 已知条件 ， 求 出顶 点的轨迹方程 ， 然后利用轨迹的几何性质 ， 便能简洁 有效 、 新颖省时地求得最值 例4 ( 0 8 江苏) 满足条件A B=2 ， A C= 2 c 的三角形 A B C的面积的最大值为 解析 ： 如图6， 以 A B的中 点为坐标原点 ， A B所在 直线 为 轴 ， 建立直角坐标系 则 A、 B点 的坐标 分 别为 ( 一1 ， 0 ) 、 ( 1 ， 0 ) 设
8、 点 C ( ， Y ) ( Y 0) ) 1 A D B 图 4 A C ： C， 图 6 ( +1 ) +Y =2 ( 一1 ) +Y ， 化简得 ( X一3 ) +Y =8 ( Y0 ) ， 则 s 删= 1 B l yI =l y l= 例3 ( 0 5 湖北) 在 A A B C ， 已知A B=4_ _ j _- 6， 2 , 2 ， c 。 ： ， A C边上的中线 B D ： ， 求 s i 的值 0 解 ： 建立如图 5所示的平 面 直角坐标系， 则 A ( 。 sB ， 筝in 即 V - 三一 O 曰 C 图 5 ，解得 l=2 ， =一 ( 舍 去 ) ， 所 以 B
9、C = 2 从 而 A C = c + c 竽 竽 n B = ， 当且仅当 =3时等号成立， 所以三角形 A BC 的面积的最大值为 2 例 5 已知 AA B C的边 。 ， b ， c 和面积 S满足关 系式 ： S=a 一( bC ) ， 且 b+c=8 求 2 h A B C面 积的最大值 解 ： b+C=8 ， 即 A B+ A C =8 ， 如图7， 以 B C的中点 为坐标原点 ， B C所在直线为 轴 ， 建立直角坐标 系， 则点 4 在 以 B、 C为焦点的一系列椭 圆上( 除与 轴的两交点外 ) Y 。 7 ( ) ( 、 图 7 可知 ， 长半轴长 为 4 ， 半 焦距
10、 刀 a，则短半轴长为 由椭圆的几何性质可得 ， 椭 圆上一点与其两焦 点所构成的所有三角形中， 只有该点在短轴端点处 8 选 砂 三 2 2 2 0 1 0年第 8期 中学数学研 究 3 1 时 ， 三角形 的面积最 大， 即 AA B C面积 的最 大值 为 ! ，此时 b：c ， 所以 ， 由已知S： 2 一( b 一。 ) 得 S： 2 ， 所 以 ：o 2 解得2： ， A B c面积的最大值为 ， 此时 6=c=4 点评 ： 由上述例子可见 ， 通过建立直角坐标系避 开了正弦定理与余弦定理， 过程极为简洁 使用时应 注意的是坐标系的选取要适当 ， 这样才能简化计算 ， 达到快速解题
11、的 目的 3 解斜三角形应用题 解斜三角形应用 问题时 ， 通常都要根据题意， 从 实际问题中抽象 出一个或几个三角形 ， 然后求解 ， 但 实际运算相 当繁杂 如果建立适 当的直角坐标系， 那 么问题就简化了 例 6 如图 8 ， 已知 甲船 由 岛出发 向东北方 向以 l 5 2海里 小时作匀速直线航行 ， 同一时 刻， 乙船从 岛正南方向4 0海里 H 的 岛出发 ， 朝北偏东 0 ( s i n O= 叵 ) 的方 向以 1 0 海里小时作 J 匀速直线航行 问两船 出发多久 后 相距 最近 ? 解 ： 如图9 ， 以 4 为原点建 立 直角 坐 标 系，则 ( 0 ， 0 ) ， B
12、( 0， 一4 0 ) ， A ( 1 5 t ， 1 5 t ) ， 日 ( 1 0 , 5 t s i n O ， 1 ( 1 5 c o s O一 4 0 ) ， 即 B ( 1 O t ， 2 0 t 一4 0 ) ， A B = v 2 5 +( 5 t 一4 0 ) = ( t 一 4 ) +1 6 ， t 0 ， r D 7 B 图 9 所以当t ：4时， A B 有最小值 2 0 2 所 以两船出发 4小时后相距最近 点评 ： 显然 ， 建立适当的直角坐标系， 赋予了三 角形 中各顶点 以坐标 ， 这样就 能进行相应的代数运 算 ， 从而解决问题 这种解题 的方法具有一定的普遍
13、 性 ， 可 以灵活运用到解题 中去 练 习 1 ( 0 8湖南理) 在一个特定时段 内， 以点 为中 心的 7海里以内海域被设 为警戒水域 点 E正北 5 5 海里处有一个雷达观测站 A 某 时刻测得一艘匀速 直线行驶的船只位于点 A北偏东 4 5 。 且与点 A相距 4 0 海里的位置 曰， 经过 4 0分钟又测得该船已行驶 到点 A北偏东 4 5 。+0 ( 其中 s i n O= ， 0 。0 o 9 0 。 ) ， 且与点 A相距 l 0 1 3海里的位置 C ( ， )求该船的行驶速度 ( 单位 ： 扎 海里 小时) ； ( ， ， )若该船不改变航行方向继 续行驶 判断它是否会进
14、 入警戒水 域 ， 并说明理由 2 在 AA B C中， 内角 、 B、 C对 边的边长分别是工 口 、 b 、 C ， 已知 6 1, 十 图 1 0 东 c =2 b ，且 b = 2则 AA B C 面 积 的 最 大 值 是 r_，_，_一 3 ( 0 5全国)已知在 AA B C中， ZA C B =9 0 。 ， B C：3 ， A C=4， P是A B上的点 ， 则点 P到A C ， B C的 距离乘积的最大值是 练 习答案 1 ( I ) 1 5 、 5 海里 小时 ( I I ) 船会进入警戒水域 2 1 3 3 参考文献 1 刘修龙 对一道解 三 角形 题常 规解 法 的新 思考 J 中学教 研 ( 数学 ) ， 2 0 0 6 7
