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1、1数形结合思想黄根水数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来，它在解选择题和填空题的时候非常有用，在解答高考大题的时候也可以帮助打开思路数形结合作为一种重要的数学思想方法，历年来一直是高考考查的重点之一，纵观近两年的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果从目前高考“注重通法，淡化技巧”的命题原则来看，应重点关注解析几何中图象的几何意义以及函数图象的充分利用要点串讲数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一种是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用
2、函数的图象来直观地说明函数的性质；另一种是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点 1.要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；2恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；3正确确定参数的取值范围数形结合思想在高考中占有非常重要的地位近几年的高考题中的解析几何问题、函数与不等式问题、参数范围问题、集合问题、立体几何问题等都用到了数形结合的思想方法数形结合思想不仅是我们解题的一种思想方
3、法，还是我们进一步学习、研究数学的有力武器应用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手：1.函数式与函数图象2.不等式与函数图象3.圆与方程4.参数本身的几何意义5.代数式的结构特点26.概念自身的几何意义7.可行域与目标函数的最值. 8.利用向量的两重性.高频考点已类型一 数形结合解决函数问题【例 1】知 f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当 03 时，关于 x 的方程 f(x)f(a)有三个实数解分析 利用待定系数法求出 f(x)，借助图形或对方程 f(x)f(a)同解变形确定方程根的个数求出fx由fxfa构 造函数画出图形确定方程 解的个数4解 1由已知，设f1xax2，由f
4、111，得a1， f1xx2.设f2xkxk 0，它的图象与直线yx的交点分别为A k， k，B k， k，由|AB|8，得k8， f2x8x.故fxx28x.2证法一：由fxfa，得x28xa28a，即8xx2a28a.在同一坐标系内作出f2x8x和f3xx2a28a的大致图象， 其中f2x的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3x的图象是以 为顶点，开口向下的抛物线(如图所示)(0，a28a)因此，f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即 f(x)f(a)有一个负数解又f2(2)4，f3(2)4a2 ，8a当 a3 时，f3(2)f2(2)a2 80，8a当
5、 a3 时，在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2，f3(2)在 f2(x)图象的上方f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点， 即 f(x)f(a)有两个正数解因此，方程 f(x)f(a)有三个实数解证法二：由 f(x)f(a)，得 x2 a2 ，8x8a即(xa)0，得方程的一个解 x1a.(xa8ax)方程 xa0 化为 ax2a2x80，8ax由 a3，a432a0，得5x，a2 a432a2ax2，a2 a432a2ax3，a2 a432a2aa3，x1x2.若 x1x3，则 3a2，a44a，解得 a0 或 a，这与 a3a432a34矛盾，x1x3.故原方程有三个实
6、数解点评 (1)以形助数：解答中在同一坐标系内画出 yf2(x)及 yf3(x)的图象，得知 f(x)f(a)有一个负数解以数助形：yf2(x)与 yf3(x)在第一象限内的交点个数不能只由图形作出判断，通过 a3，f3(2)f2(2)才准确得到方程 f(x)f(a)有两个正数解这充分体现了数形结合解决问题的优越性(2)证明或探求方程根的个数问题的常见方法：一是将方程转化为 f(x)0，然后研究函数yf(x)的零点，可利用 f(a)f(b)1)，求 loga(uv)的最大值和最小值解 令 xlogau，ylogav，则已知式可化为：(x1)2(y1)24(x0，y0)再设 tloga(uv)x
7、y(x0，y0)，由图可知，当线段 yxt(x0，y0)与圆弧(x1)2(y1)24(x0，y0)相切时，截距 t 取得最大值，此时 tmax22(如图中 CD 位置)；当线2段端点是圆弧端点时，t 取得最小值，此时 tmin1(如图中 AB 位置)因此 loga(uv)的最大值3是 22，最小值是 1.23点评 本题通过换元的方法将已知条件转化为圆的方程的形式，将欲求代数式和直线的截6距进行联系，结合图形直观形象地获得答案类型三 数形结合思想解决代数式值的范围问题【例 3】 已知实数 x，y 满足 x2y23(y0)，m，b2xy.y1x3求证：(1)m；3 363 216(2)2b.315
8、分析 m 可看作两点(x，y)与(3，1)连线的斜率，b 可看作直线 y2xb 在 y 轴上的截距画出图形x2 y23y 0明确m，b的几何意义 及图形中的所求求出m， b的范围证明 (1)m 可看作过半圆 x2y23(y0)上的点 M(x，y)和定点 A(3，1)的直线的斜率由图可知 k1mk2(k1，k2分别为直线 AM1，AM2的斜率)，k1，13 33 36圆心到切线 k2xy3k210 的距离为d，k2(舍去负值)，|3k21|k2 2133 216m.3 363 216(2)b 可看作斜率为2，过半圆 x2y23(y0)上一点 P(x，y)的直线在 y 轴上的截距由图可知 n2bn
9、1，P2C 的方程为 y2(x)，3令 x0，yn22，37圆心到切线 P1B：2xyc0 的距离 d，|c|53c(舍负值)，n1，15152b., 315点评 条件中的数量关系决定了几何图形的性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系，数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题过程【探究 3】 已知 x，y 满足1，求 y3x 的最大值与最小值x216y225解 令 y3xb，则 y3xb.原问题转化为：在椭圆1 上求一点，使过该点的直线的斜率为 3，且在 y 轴上的截x216y225距最大或最小由图可知，当直线 y3xb 与椭圆1 相切时，有最大截
10、距与最小截距，x216y225Error!169x296bx16b24000，由 0，得 b13，故 y3x 的最大值为 13，最小值为13.点评 对于二元函数 y3x 在限定条件1 下求最值，常采用构造直线的截距的方x216y225法来求本题正是通过引入参数 by3x，视 b 为直线 y3xb 的纵截距，而直线与椭圆必须有公共点，故相切时 b 有最值，利用参数 b 的几何意义将一个代数式的最值问题转化成直线与椭圆相切的几何问题，体现了数形结合的魅力类型四 数形结合思想解决几何问题【例 4】 如图所示，已知 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA，PB 是圆x2y22x2y10 的两条切线，
11、A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值为_8分析 在同一坐标系中画出直线与圆作出圆的切线 PA、PB，则四边形 PACB 的面积 S四边形 PACBSPACSPBC2SPAC.把 S四边形 PACB转化为 2 倍的 SPAC可以有以下多条数形结合的思路画出对应图形利用数形结 合明确所求求解得结果解 解法一：从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x4y80 向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 SRtPAC |PA|AC|1212|PA|越来越大，从而 S四边形 PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形 PACB
12、变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线时，S四边形 PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，|3 14 18|3242从而|PA|2.|PC|2|AC|22S四边形 PACB 最小值2 |PA|AC|2.122这是运动变化的思想帮助我们打开了解题的思路解法二：利用等价转化的思想：设点 P 坐标为(x，y)，则|PC|，由勾股定理及|AC|1，得|PA|x12y12|PC|2|AC|2，从而 S四边形 PACB2SPAC2 |PA|AC|PA|x12y12112，从而欲求 S四边形 PACB最小值，只需求|PA|的最小值，只 x12y121需 求|PC|2(x1)2(y
13、1)2的最小值，即定点 C(1,1)与直线上动点(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点 C(1,1)到直线 3x4y80 的距离的平方，这个最小值 d229，(|3 14 18|3242)S四边形 PACB 最小值2.912解法三：利用函数思想，将解法二中 S四边形 PACB中的 y 由x12y1213x4y80 中解出，代入化为关于 x 的一元函数，进而用配方法求最值，也可得 S四边形 PACB9最小值2., 2点评 本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决【探究 4】 已知点 P 在抛物线 y
14、24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为( )A. B.(14，1)(14，1)C(1,2) D(1，2)解析 依题意可得抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，设 P 到准线的距离为 d，则由抛物线的定义知：|PF|PQ|d|PQ|.如图，当 PQx 轴时，|PF|PQ|最小，此时点 P 的坐标为，故(14，1)选 A.点评 这是一道典型的数形结合求最值的题目，方法是借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，然后在图形中通过几何方法得到问题的解很多数学概念都具有一定的几何意义，常见的对应关系有：导数 f(x0)曲线在 x0处的斜率；复数的模向量的长度；椭圆到两定点 A、B 的距离之和为常数 2a(2a|AB|)；双曲线到两定点 A、B 的距离之差的绝对值为常数 2a(2a|AB|)；抛物线到定点与到定直线的距离相等；数列函数点列；方程组的解曲线的交点等.好方法好成绩1.数形结合的思考途径(1)函数图象的交点或位置关系的问题与方程、不等式问题的相互转化；(2)利用绝对值、解析几何中的重要公式(如两点间距离公式、直线的斜率、截距等)、定义等讨论函数式的背景及几何意义；(3)有的几何图形问题，考虑建立恰当的直角坐标系，利用代数运算或选用向量基底，通过向量
