《线性代数(数学系辅导)参考答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数(数学系辅导)参考答案(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、12828 道复习题参考答案道复习题参考答案1、五阶行列式有 5!项,其中一项为:,该项为jiaaaaa34221531负,则 i 4 4 ;j 5 5 。提示:先把写为,因为该项为负,jiaaaaa3422153153423211aaaaaji则项列标排列必为奇排列,即:(i,1,j,2,3)的逆序数为奇,则 i4、j5。2、A 为五阶方阵,且|A|=3,则 | |A| A | 729729 。提示:公式:AkkAn3、,A 为三阶方阵,且|A|5,),(321aaaA ,求|B| 3030 。),2,3(3122aaaaB提示:对矩阵 B 的行列式进行若干次列变化,就可以找出和 A 的行列
2、式的关系。4、若有:,则 x 1 1, 2 2, 5 5 0111221252552842232xxx。提示:把 2 提出来,再转置,原行列式就变为范得蒙行列式,则有:2(12) (15) (1x) (x2) (x5) (52)0。25、。1111132211LLLLLLLnnaaaaaaa niian 1)1(提示:做变换:,iiCC1n21 L,i6、。abbbbabbbbabbbbaLLMOOOMLL1)() 1(nbaabn7、。nabababbbbaOML321 niiniiaaba2221提示:该题应该有一个条件:。该题为“箭头矩阵” 。做变01 niia换:,。i iCabC)(
3、1n2Li8、,求: 0 0 2514112301321241D4232221252AAAA。提示:把 D 的第三列的 4 个元素分别乘第 3 列 4 个元素对应的代数余子式,显然即为所求:,根据定理有:该值为4232221252AAAA0。39、,求: 3E3E 。 323010051 AAAA7523A 的特征多项式为:,则有:375)(23f,则有:OEAAAAf375)(23EAAA3752310、1A00001552000210000021000320,求:A先求、, 2132 21321 1225 52211该题考查对角分块矩阵的求逆法:;。 111BOOA BOOA OABO O
4、BAO111 0120002500000210003215100001A11、设 n 阶方阵满足:,若有 AXX2E,求:05620042EAAX 。提示:,而(AE) (2004A2010E)1)(2EAX2010E5EO,则:EAEA2010200420151)(1 12、判断下列命题是否正确:若可以由线性表示,但不能由线性表示,nL,21121,nL则:可以由线性表n,121nL4命题正确。提示:若可以由线性表示,则有:nL,21;nnkkkL2211又根据:“但不能由线性表示” ,可以知道,。则,121,nL0nk显然有:nn nnnnkkk kk kk11 12 22 11 L13、
5、已知:向量组线性无关,则向量组、nL,212132、是: 。43nna11nA、线性相关 B、线性无关 C、可能线性相关,也可能线性无关答案为:C提示:题目的意思是向量组、21、可以由向量组线性3243nna11nnL,21表示,即有: 1111111111,2111433221OOLLnnnn系数矩阵的行列式按第一行展开,得:。显然有:当 n奇n1) 1(1数时,行列式不为零,即向量组、213243、线性无关;当 n偶数时,行列式为零,即向量组nna11n、线性相关。213243nna11n14、非常重要!(见三导丛书)会证明,且会用其结论。非常重要!(见三导丛书)会证明,且会用其结论。 (
6、如(如 13 题)题)515、设 A 为三阶方阵,A 的三个不同特征值为:,它们对应321,的特征向量为:,证明:线性无321,3212,AA关。证明:(必会!)(必会!)设: (1)02 321AxAxx已知:、,111A222A333A321把它们代入(1)式,并化简,有:0)()()(32 3332122 2322112 13121xxxxxxxxx因为各不相同,则线性无关,则有方程组:321,321,,其矩阵表示为:,显然系 0002 333212 232212 13121xxxxxxxxx 0001113212 332 222 11xxx数矩阵为范得蒙行列式,各不相同,则系数行列式不
7、为零,321,故,方程组只有零解:,证毕。 000321xxx16、已知线性无关,线性相关,线性321,4321,5321,无关,则是: 。54321,A、线性无关 B、线性相关 C、可能线性无关,也可能线性相关答案为 A。提示:可以这样理解:线性无关,线性相关,则321,4321,可以由线性组合出来,则显然有:矩阵()进4321,5321,6行若干次初等列变换,可得到:矩阵:() 。54321,17、求向量组、T)0 , 2 , 1 , 3(1T)3 ,14, 7 , 0(2T) 1 , 4 , 2 , 1(3、的秩,并求一个最大无关组,并把其余T) 1 , 0 , 2 , 1(4T)2 ,
8、 6 , 5 , 1 (5向量用最大线性无关组线性表示。提示:(必会!)(必会!)相当于解两次非奇次线性方程组。000001100031031103203101211306041425227111103,54321进行行初等变换LL则为最大无关组,且有、421,4213031 31421531 3218、验证,是的一个基,并T)3 , 2 , 1 (1T)6 , 5 , 4(2T)9 , 8, 7(33R将向量、用这个基来表示。T)9 , 9,13(T)18, 1, 4( 提示:与 17 题类似。先验算矩阵()的行列式不为零。再321,解非奇次线性方程组。步骤为:对矩阵进行行初等变换,变为行最
9、简 18996319852413741 形式:如为:,则有结论:、。 fcebda100010001321cba321fed19、对 n 元方程,下列命题正确的是:A、Ax0 只有零解,则 Axb 有唯一解B、Ax0 有非零解,则 Axb 无穷解7C、Axb 有唯一解,则 Ax0 有唯一解D、Axb 有唯一解, r(A)=n答案为:C提示:因为 Axb 常常无解。故,从“Axb 有解”出发的命题往往是对的。当然要具体问题,具体分析啦!20、已知为 Axb 的两个不同的解向量;为 Ax0 的基21,21,础解系,则,Axb 的通解为: 。A、 B、2)(21 21211 kk2)(21 1221
10、1 kkC、 D、2)(21 21211 kk2)(21 21211 kk答案为:B提示:为基础解系,则也为 Ax0 的解,且与21,1212线性无关。当然(,)也为基础解系了。另显然1112221为 Axb 的一个特解。21、问 a、b 为何值时,下列方程有唯一解;无解;有无穷解?并求出无穷解时的通解。4234321321321xbxxxbxxxxax提示:这类题目有两种方法,该题目若用第一种方法,则很难得出完整的答案。故,选第二种方法。对增广矩阵进行行初等变换。8三行交换第 41b2131b1411a411412b1311abaaabb3411010b0311二行乘 a 加到第三行中第三行
11、和第二行交换, aab2411010b0311并化简新的第三行 1)42() 1(0024110311babaaab1、则当时方程组有唯一解;0b1 且a2、要让0,且时方程组有矛盾方程。则有:当ba) 1( 01)42(baa1 且;或 b0。时,方程组无解。21b3、当0,且,即 a1 且时方程组有无穷ba) 1( 01)42(ba21b多组解。其方程组的增广矩阵进行行初等变换为:,则通解为:k 000020102101 10102222、试问 a 取何值,方程组有非零解,并 0)4(44403)3(33022)2(20)1 (4321432143214321xaxxxxxaxxxxxax
12、xxxxa求其解。答案:,;,。0a10a23、已知:、T)4 , 3 , 2 , 1 (1T) 1, 0 , 1 , 0(2Ta )9 , 3 , 2(3Ta)13, 6 , 2(4。 Tb),18, 0 , 6(9(1)a、b 取何值时,不能由线性表示。4321,(2)a、b 取何值时,由唯一的线性表示。4321,答案:无解;唯一解。361ba且1a, 6且 a提示:(1) 、 (2)分别对应方程组无解和唯一43214321,xxxx解。24、设(b0) 。若 f 的矩阵 A 的312 32 22 1321222),(xbxxxaxxxxf所有特征值之和为 1,所有特征值之积为12。(1)求 a、b 的值(2)利用正交变换将 f 化为标准型,并写出正交矩阵。(3)若,求的最大值和最小值。2xxT),(321xxxf答案:(1)a1,b2(2)(3),则显然有: 2 32 22 1312 32