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1、12828 道复习题参考答案道复习题参考答案1、五阶行列式有 5！项，其中一项为：，该项为jiaaaaa34221531负，则 i 4 4 ；j 5 5 。提示：先把写为，因为该项为负，jiaaaaa3422153153423211aaaaaji则项列标排列必为奇排列，即：（i，1，j，2，3）的逆序数为奇，则 i4、j5。2、A 为五阶方阵，且|A|=3，则 | |A| A | 729729 。提示：公式：AkkAn3、，A 为三阶方阵，且|A|5，),(321aaaA ，求|B| 3030 。),2,3(3122aaaaB提示：对矩阵 B 的行列式进行若干次列变化，就可以找出和 A 的行列
2、式的关系。4、若有：，则 x 1 1， 2 2， 5 5 0111221252552842232xxx。提示：把 2 提出来，再转置，原行列式就变为范得蒙行列式，则有：2（12） （15） （1x） （x2） （x5） （52）0。25、。1111132211LLLLLLLnnaaaaaaa niian 1)1(提示：做变换：，iiCC1n21 L，i6、。abbbbabbbbabbbbaLLMOOOMLL1)() 1(nbaabn7、。nabababbbbaOML321 niiniiaaba2221提示：该题应该有一个条件：。该题为“箭头矩阵” 。做变01 niia换：，。i iCabC)(
3、1n2Li8、，求： 0 0 2514112301321241D4232221252AAAA。提示：把 D 的第三列的 4 个元素分别乘第 3 列 4 个元素对应的代数余子式，显然即为所求：，根据定理有：该值为4232221252AAAA0。39、，求： 3E3E 。 323010051 AAAA7523A 的特征多项式为：，则有：375)(23f，则有：OEAAAAf375)(23EAAA3752310、1A00001552000210000021000320，求：A先求、， 2132 21321 1225 52211该题考查对角分块矩阵的求逆法：；。 111BOOA BOOA OABO O
4、BAO111 0120002500000210003215100001A11、设 n 阶方阵满足：，若有 AXX2E，求：05620042EAAX 。提示：，而（AE） （2004A2010E）1)(2EAX2010E5EO，则：EAEA2010200420151)(1 12、判断下列命题是否正确：若可以由线性表示，但不能由线性表示，nL,21121,nL则：可以由线性表n,121nL4命题正确。提示：若可以由线性表示，则有：nL,21；nnkkkL2211又根据：“但不能由线性表示” ，可以知道，。则，121,nL0nk显然有：nn nnnnkkk kk kk11 12 22 11 L13、
5、已知：向量组线性无关，则向量组、nL,212132、是： 。43nna11nA、线性相关 B、线性无关 C、可能线性相关，也可能线性无关答案为：C提示：题目的意思是向量组、21、可以由向量组线性3243nna11nnL,21表示，即有： 1111111111,2111433221OOLLnnnn系数矩阵的行列式按第一行展开，得：。显然有：当 n奇n1) 1(1数时，行列式不为零，即向量组、213243、线性无关；当 n偶数时，行列式为零，即向量组nna11n、线性相关。213243nna11n14、非常重要！（见三导丛书）会证明，且会用其结论。非常重要！（见三导丛书）会证明，且会用其结论。 （
6、如（如 13 题）题）515、设 A 为三阶方阵，A 的三个不同特征值为：，它们对应321,的特征向量为：，证明：线性无321,3212,AA关。证明：（必会！）（必会！）设： （1）02 321AxAxx已知：、，111A222A333A321把它们代入（1）式，并化简，有：0)()()(32 3332122 2322112 13121xxxxxxxxx因为各不相同，则线性无关，则有方程组：321,321,，其矩阵表示为：，显然系 0002 333212 232212 13121xxxxxxxxx 0001113212 332 222 11xxx数矩阵为范得蒙行列式，各不相同，则系数行列式不
7、为零，321,故，方程组只有零解：，证毕。 000321xxx16、已知线性无关，线性相关，线性321,4321,5321,无关，则是： 。54321,A、线性无关 B、线性相关 C、可能线性无关，也可能线性相关答案为 A。提示：可以这样理解：线性无关，线性相关，则321,4321,可以由线性组合出来，则显然有：矩阵（）进4321,5321,6行若干次初等列变换，可得到：矩阵：（） 。54321,17、求向量组、T)0 , 2 , 1 , 3(1T)3 ,14, 7 , 0(2T) 1 , 4 , 2 , 1(3、的秩，并求一个最大无关组，并把其余T) 1 , 0 , 2 , 1(4T)2 ,
8、 6 , 5 , 1 (5向量用最大线性无关组线性表示。提示：（必会！）（必会！）相当于解两次非奇次线性方程组。000001100031031103203101211306041425227111103,54321进行行初等变换LL则为最大无关组，且有、421,4213031 31421531 3218、验证，是的一个基，并T)3 , 2 , 1 (1T)6 , 5 , 4(2T)9 , 8, 7(33R将向量、用这个基来表示。T)9 , 9,13(T)18, 1, 4( 提示：与 17 题类似。先验算矩阵（）的行列式不为零。再321,解非奇次线性方程组。步骤为：对矩阵进行行初等变换，变为行最
9、简 18996319852413741 形式：如为：，则有结论：、。 fcebda100010001321cba321fed19、对 n 元方程，下列命题正确的是：A、Ax0 只有零解，则 Axb 有唯一解B、Ax0 有非零解，则 Axb 无穷解7C、Axb 有唯一解，则 Ax0 有唯一解D、Axb 有唯一解， r(A)=n答案为：C提示：因为 Axb 常常无解。故，从“Axb 有解”出发的命题往往是对的。当然要具体问题，具体分析啦！20、已知为 Axb 的两个不同的解向量；为 Ax0 的基21,21,础解系，则，Axb 的通解为： 。A、 B、2)(21 21211 kk2)(21 1221
10、1 kkC、 D、2)(21 21211 kk2)(21 21211 kk答案为：B提示：为基础解系，则也为 Ax0 的解，且与21,1212线性无关。当然（，）也为基础解系了。另显然1112221为 Axb 的一个特解。21、问 a、b 为何值时，下列方程有唯一解；无解；有无穷解？并求出无穷解时的通解。4234321321321xbxxxbxxxxax提示：这类题目有两种方法，该题目若用第一种方法，则很难得出完整的答案。故，选第二种方法。对增广矩阵进行行初等变换。8三行交换第 41b2131b1411a411412b1311abaaabb3411010b0311二行乘 a 加到第三行中第三行
11、和第二行交换， aab2411010b0311并化简新的第三行 1)42() 1(0024110311babaaab1、则当时方程组有唯一解；0b1 且a2、要让0，且时方程组有矛盾方程。则有：当ba) 1( 01)42(baa1 且；或 b0。时，方程组无解。21b3、当0，且，即 a1 且时方程组有无穷ba) 1( 01)42(ba21b多组解。其方程组的增广矩阵进行行初等变换为：，则通解为：k 000020102101 10102222、试问 a 取何值，方程组有非零解，并 0)4(44403)3(33022)2(20)1 (4321432143214321xaxxxxxaxxxxxax
12、xxxxa求其解。答案：，；，。0a10a23、已知：、T)4 , 3 , 2 , 1 (1T) 1, 0 , 1 , 0(2Ta )9 , 3 , 2(3Ta)13, 6 , 2(4。 Tb),18, 0 , 6(9（1）a、b 取何值时，不能由线性表示。4321,（2）a、b 取何值时，由唯一的线性表示。4321,答案：无解；唯一解。361ba且1a, 6且 a提示：（1） 、 （2）分别对应方程组无解和唯一43214321,xxxx解。24、设（b0） 。若 f 的矩阵 A 的312 32 22 1321222),(xbxxxaxxxxf所有特征值之和为 1，所有特征值之积为12。（1）求 a、b 的值（2）利用正交变换将 f 化为标准型，并写出正交矩阵。（3）若，求的最大值和最小值。2xxT),(321xxxf答案：（1）a1，b2（2）（3），则显然有： 2 32 22 1312 32
