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1、用激情点燃梦想！用智慧创造未来！ 山顶公园早读火热招贤纳士中，非常十分很欢迎您的加入，请联系郭同学 687740 一、多元函数的微分学一、多元函数的微分学二元函数的定义二元函数的定义设有两个独立的变量 x 与 y 在其给定的变域中变域中 D 中，任取一组数值时，第三个变量 z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 z 称为变量 x 与 y 的二元函数二元函数。记作：z=f(x,y). 其中 x 与 y 称为自变量自变量，函数 z 也叫做因变量因变量，自变量 x 与 y 的变域 D 称为函数的定义域定义域。关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.
2、二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面部分平面.这样的部分在平面称为区域区域.围成区域的曲线称为区域的边界边界，边界上的点称为边界点边界点，包括边界在内的区域称为闭域闭域，不包括边界在内的区域称为开域开域。如果一个区域 D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数 M，则称 D 为有界区域有界区域；否则称 D 为无界区域无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：例题：例题：求的定义域.解答：解答：该函数的定义域为：x,y0.二元函数的几何表示二元函数的几何表示把自变量 x、y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xOy 平面内作出函数 z=
3、f(x,y)的定义域 D；再过 D 域中得任一点M(x,y)作垂直于 xOy 平面的有向线段 MP,使其值为与(x,y)对应的函数值 z；当 M 点在 D 中变动时，对应的对应的 P P 点的轨迹就是函数点的轨迹就是函数 z=f(x,y)z=f(x,y)的几何图形的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域 D 就是此曲面在 xOy 平面上的投影。二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数 z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x 与 y 趋向于有限值趋向于有限值 与 时，函数 z 的变化状态变化状态。在平面 xOy 上，(x,y)趋向(,)的
4、方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(,)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数 A，那末就称 A 是二元函数 f(x,y)当(x,y)(,)时的极限极限。用激情点燃梦想！用智慧创造未来！ 山顶公园早读火热招贤纳士中，非常十分很欢迎您的加入，请联系郭同学 687740这种极限通常称为二重极限二重极限。下面我们用 - 语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义二重极限的定义如果定义于(,)的某一去心邻域的一个二元函数 f(x,y)跟一个确定的常数 A 有如下关系：对于任意给定的正数 ，无论怎样小，相应的必有另一个正数 ，凡是满足的一切
5、(x,y)都使不等式成立，那末常数 A 称为函数 f(x,y)当(x,y)(,)时的二重极限二重极限。正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则类似的运算法则：二重极限的运算法则二重极限的运算法则如果当（x,y)(,)时，f(x,y)A，g(x,y)B.那末那末(1)(1)：f(x,y)g(x,y)AB；(2)(2)：f(x,y).g(x,y)A.B；(3)(3)：f(x,y)/g(x,y)A/B；其中 B0像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：二元函数的连续性二元函数的连续性如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数 f(x,y)的二重极限等于 f(x,y
6、)在点(x0,y0)处的函数值 f(x0,y0)，那末称函数称函数f(x,y)f(x,y)在点在点(x(x0 0,y,y0 0) )处连续处连续.如果 f(x,y)在区域 D 的每一点都连续，那末称它在区域称它在区域 D D 连续连续。如果函数 z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是 f(x,y)的一个间断点间断点。关于二元函数间断的问题关于二元函数间断的问题二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断间断线线。二元连续函数的和，差，积，商二元连续函数的
7、和，差，积，商( (分母不为零）和复合函数仍是连续函数分母不为零）和复合函数仍是连续函数。例题：例题：求下面函数的间断线解答：解答：x=0 与 y=0 都是函数的间断线。用激情点燃梦想！用智慧创造未来！ 山顶公园早读火热招贤纳士中，非常十分很欢迎您的加入，请联系郭同学 687740 偏导数在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的“变化率“。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在 xOy 平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数 f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究 f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。在
8、这里我们只学习这里我们只学习(x,y)(x,y)沿着平行于沿着平行于 x x 轴和平行于轴和平行于 y y 轴两个特殊方位变动时轴两个特殊方位变动时 f(x,y)f(x,y)的变化率的变化率。偏导数的定义偏导数的定义设有二元函数 z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域 D 内一点.把 y 固定在 y0 而让 x 在 x0 有增量x，相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对对 x x 的偏增量的偏增量)xz=f(x0+x)-f(x0,y0).如果xz 与x 之比当x0 时的极限存在，那末此极限值称为函数 z=f(x,y)在(x0,y0)处对对 x x 的偏导数的偏导数。记作：fx(x0,y
9、0)或关于对 x 的偏导数的问题函数 z=f(x,y)在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数 z=f(x,y0)在 x0处的导数同样，把 x 固定在 x0,让 y 有增量y,如果极限存在，那末此极限称为函数 z=(x,y)在(x0,y0)处对对 y y 的偏导数的偏导数. .记作 fy(x0,y0)或偏导数的求法偏导数的求法当函数 z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数 fx(x0,y0)与 fy(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y)在(x0,y0)处可导可导。如果函数 f(x,y)在域 D 的每一点均可导，那末称函数 f(x,y)在
10、域 D 可导可导。此时，对应于域 D 的每一点(x,y)，必有一个对 x(对 y)的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y)对 x(对 y)的偏导函数偏导函数。简称偏导数偏导数。用激情点燃梦想！用智慧创造未来！ 山顶公园早读火热招贤纳士中，非常十分很欢迎您的加入，请联系郭同学 687740例题：例题：求 z=x2siny 的偏导数解答：解答：把 y 看作常量对 x 求导数，得把 x 看作常量对 y 求导数，得注意：注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。例题：例题：求的偏导数。解答：解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。把 y 和 z 看成常量
11、对 x 求导，得.把 x 和 z 看成常量对 y 求导，得.把 x 和 y 看成常量对 z 求导，得.高阶偏导数高阶偏导数如果二元函数 z=f(x,y)的偏导数 fx(x,y)与 fy(x,y)仍然可导，那末这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y)的二阶偏导数二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f“xx，f“xy，f“yx，f“yy.注意：注意：f“xy 与 f“yx 的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导.当当 f“xyf“xy 与与 f“yxf“yx 都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关都连续时，求导的结
12、果于求导的先后次序无关。例题：例题：求函数的二阶偏导数.解答：解答：，全微分我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。这里我们以二元函数为例。全微分的定义全微分的定义函数 z=f(x,y)的两个偏导数 fx(x,y),fy(x,y)分别与自变量的增量x,y 乘积之和用激情点燃梦想！用智慧创造未来！ 山顶公园早读火热招贤纳士中，非常十分很欢迎您的加入，请联系郭同学 687740fx(x,y)x+fy(x,y)y若该表达式与函数的全增量z 之差，当 0 时，是 ()的高阶无穷小，那末该表达式称为函数 z=f(x,y)在(
13、x,y)处(关于x,y)的全微分全微分。记作：dz=fx(x,y)x+fy(x,y)y注意：注意：其中z=fx(x,y)x+fy(x,y)y+，( 是当 0 时的无穷小)注意：注意：在找函数相应的全增量时，为了使z 与偏导数发生关系，我们把由(x0,y0)变到(x0+x,y0+y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+y)，再变到点(x0+x,y0+y).其过程如下图所示：例题：例题：求的全微分解答：解答：由于，所以关于全微分的问题如果偏导数 fx(x,y),fy(x,y)连续，那末 z=f(x,y)一定可微可微。多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导
14、公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式多元复合函数的求导公式链导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数 z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：用激情点燃梦想！用智慧创造未来！ 山顶公园早读火热招贤纳士中，非常十分很欢迎您的加入，请联系郭同学 687740例题：例题：求函数的一阶偏导数解答：解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数
15、。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。全导数全导数由二元函数 z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是 x 的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数全导数.此时的链导公式为:例题：例题：设 z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：解答：由全导数的链导公式得：将 u=cosx，v=sinx 代入上式，得：用激情点燃梦想！用智慧创造未来！ 山顶公园早读火热招贤纳士中，非常十分很欢迎您的加入，请联系郭同学 687740关于全导数的问题关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。多元函
16、数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。二元函数极值的定义二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)f(x0,y0)成立，那末就称函数 f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值极大值 f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)f(x0,y0)成立，那末就称函数 f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值极小值 f(x0,y0).极大值与极小值统称极值极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点极值点.二元可导函数在二元可导函数在(x(x0 0,y,y0 0) )取得极值的条件是：取得极值的条件是：. .注意：注意：此条件只是取得极值的必要条件。凡是使的点(x,y)称为函数 f(x,y)的驻点驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不
