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1、数学专题二 温故知新 | 1 21 , 21 , 12121212c os c 0 , 02 ，其 中 ， ， ，四 、 教学过程的设计与实施 温故知新 2 2, ，平面的法向量为 12121212si n c 0 , 02 ，其 中 ， ， ， 第一步 (设 ):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z). 第二步 (列 ):根据 na = 0且 nb = 0可列出方程组 第三步 (解 ):把 用 x、 y. 第四步 (取 ):取 当然取得越特殊越好 ),便得到平面法向量 1 1 12 2 200x x y y z zx x y y z z 温故知新 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题
2、提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角之一 O B A 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做 二面角 。 这条 直线 叫做二面角的 棱 这 两个半平面 叫做 二面角的 面 平面角由 射线 成 二面角由 半平面 成 l A B P Q P l Q二面角P A B Q二面角平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面 研探新知 l 二面角 l 二面角 C D A B C D C E F D A B （ 1）平卧式 （
3、 2）直立式 二面角 研探新知 思考： 以二面角的 棱上任意一点 为端点， 在两个半平面内 分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的 角 叫做 二面角的平面角 。 l A A O B 面角的大小用它的 平面角 来度量 ？ 显然与 二面角 研探新知 注意： 二面角的平面角必须满足 ： 3） 角的边都要 垂直 于二面角的棱 1） 角的顶点在 棱 上 2） 角的两边分别在两个 面内 10 l O A B A O B 二面角 研探新知 本书约定： 二面角的平面角的取值范围 是 平面角是 直角 的二面角叫做 直二面角 0 , 互相垂直的平面就是相交 成 直二面角 的两个平面 二面角 研探新知 探究
4、方法 l （ 1）定义法： c o 影（ 2）射影面积法： 二面角 O B A 例 1 ：如图 在平面 内的射影是 A 1 面积分别为1,二面角 A A 1 的余弦值。 B C A D 探究方法 l A O B 二面角 B ,问题 1： 二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？ （ 1）定义法： 121212c o s c o s , 与棱垂直的向量 （ 3）向量法： 11c S （ 2）射影面积法： 12, 二 面 角例 2 ：如图，已知在一个二面角的棱上有两个点 ， 线段 D， 分别在这个二 面角的两个面内， 并且都垂直于棱 46A B A B c m A C c m， ， ， =8B D
5、c m ， = 2 1 7C D c m ，求这个二面角的度数。 实践操作 【变式训练 】 在 90 o 二面角的棱上有两个点 ， A C B D， 分别 是在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱 已知 =5A B c m ， 3A C c m ， =8B D c m ，求 长。 2 2= ( )C D C A A B B D372 问题 2： 求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有什么关系？ 例 3 ：已知 A B C D 为直角梯形， 0= = 9 0D A B A B C ， 平面 A B C D ，112S A A B B
6、C A D ，求面 S A B 与面 S C D 所成的锐二面角的余弦值。 探究方法 21 , 121212c o s c o s , 二面角 21 , 121212c o s c o s , 121212c o s c o s , 平面的法向量 （ 3）向量法： 即法向量的夹角与二面角的大小 相等 或 互补 实践操作 本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角的余弦值 能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性。 例 3 ：已知 A B C D 为直角梯形， 0= = 9 0D A B A B C ， 平面 A B C
7、D ，112S A A B B C A D ，求面 S A B 与面 S C D 所成的锐二面角的余弦值。 启示 ： 则 设 1 ( , , )n x y z是面 1 ,n D C,x 建立如图所示的空间直角坐标系 A ),0,0,0( D),0,0,21( C ),0,1,1( S ),1,0,0(1 D),1,0,21( 0,1,21( ：已知 A B C D 为直角梯形， 0= = 9 0D A B A B C ， 平面 A B C D ，112S A A B B C A D ，求面 S A B 与面 S C D 所成的锐二面角的余弦值。 令 z=1解之得 12021021)1,1,2(
8、 n121212c o s ,| | | 366211 所求锐二面角的余弦值为： 3621( , 0 , 0 )2S B A n A D易 知 面 的 法 向 量小结 ： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。 解题的关键是确定相关平面的法向量。 利用法向量求二面角的平面角的一般 步骤 ： 找点坐标 求法向量坐标 求两法向量夹角 定值 建立坐标系 例 4 ： 如图，四边形 A B C D 为正方形， 平面 A B C D ， 12 （ I ）证明：平面 P Q C 平面 D C Q ； （ 求二面角 Q C 的余弦值 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 )
9、, ( 1 , 1 , 0 ) D C P Q （ ）0 , 0 D Q P Q D C 即 故 平面 . 又 平面 ，所以平面 平面 D C Q . （ 2 ）易求平面 的法向量 ( 0 , 1 , 2) 平面 的法向量 ( 1 , 1 , 1 ) 15c 故二面角 Q C 的余弦值为 15 、 二面角的定义 从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 2、求二面角的平面角方法 小 结 （ 3）射影面积法 （ 2）向量法 平 面 的 法 向 量异 面 直 线 的 方 向 向 量 所 成 角 棱 上 点 为 起 点（ 1）定义法 l O A B 练习 : 正三棱柱 中 ， 当 时 ，
10、 求二面角 的余弦值 . 111A B C A B C11A B B C 1D B C CC A D B 1 :如图 ， 以 a， 侧棱长为 b 31( , , 0 ) ,22A a a( 0, , 0 ) , , 0 )44D a 0 , 0 , ), 0 , , ) ,B a C(0,0,0), 故 131( , , ) ,22AB a a b 1 ( 0 , , ) ,B C a b由于 ,所以 11A B B C 22111 02A B B C a b 22y x z C A D B 1 坐标平面 设面 的一个法向量为 , , )m x y z可取 （ 1， 0， 0）为面 的法向量 n可求出一个 62( , , 1 )22m 所求的余弦值为 22 . 练习 :
