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1、第一章函数、极限和连续1.1 函数一、主要内容 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), xD 定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 21 )()(DxxgDxxfy3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) x=(y)=f-1(y)y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x2D当 x1x2时,若 f(x1)f(x
2、2), 则称 f(x)在 D 内单调增加( )； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调减少( )；若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调增加( )； 若 f(x1)f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调减少( )。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+)周期：T最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=xn , (n 为实数)
3、3.指数函数： y=ax , (a0、a1) 4.对数函数： y=loga x ,(a0、a1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的 函数1.2 极 限 一、主要内容 极限的概念1.数列的极限: Aynnlim
4、称数列以常数 A 为极限; ny或称数列收敛于 A. ny定理: 若的极限存在必定有界. ny ny2.函数的极限：当时，的极限：x)(xfAxfAxfAxfxxx )(lim)(lim)(lim当时，的极限：0xx )(xfAxfxx)(lim 0左极限：Axf xx )(lim0右极限：Axfxx)(lim 0函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxf xxxxxx )(lim)(lim)(lim000无穷大量和无穷小量1 1无穷大量：)(limxf称在该变化过程中为无穷大量。)(xfX 再某个变化过程是指：,xxx000,xxxxxx2 2无穷小量：0)(limxf称在该变化过程中为无
5、穷小量。)(xf3 3无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)( ,)(1lim0)(limxfxfxf4 4无穷小量的比较：0lim, 0lim若,则称 是比 较高阶的无穷小量；0lim若 （c 为常数） ，则称 与 同阶的无穷小量；clim若，则称 与 是等价的无穷小量，记作：；1lim若,则称 是比 较低阶的无穷小量。lim定理：若：；，2211则：2121limlim 两面夹定理 1数列极限存在的判定准则：设： （n=1、2、3）nnnzxy且： azynnnn limlim则： axnnlim2函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点（点 x0除外）有： )()()
6、(xhxfxg且：Axhxg xxxx )(lim)(lim00则：Axfxx)(lim 0极限的运算规则若：BxvAxu)(lim,)(lim则：BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(limBAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim BA xvxu xvxu)(lim)(lim )()(lim)0)(limxv推论：)()()(lim21xuxuxunL)(lim)(lim)(lim21xuxuxunL)(lim)(limxucxucnnxuxu)(lim)(lim两个重要极限1 或 1sinlim0xx x1)()(sinlim0)(xxx2 exxx)11(lime
7、xx x 10)1(lim1.3 连续 一、主要内容 函数的连续性1.函数在处连续：在的邻域内有定义，0x)(xf0x1o0)()(limlim0000 xfxxfy xx2o)()(lim0 0xfxfxx左连续：)()(lim0 0xfxfxx右连续：)()(lim0 0xfxfxx2.函数在处连续的必要条件：0x定理：在处连续在处极限存在)(xf0x)(xf0x3. 函数在处连续的充要条件：0x定理：)()(lim)(lim)()(lim00 000xfxfxfxfxf xxxxxx 4.函数在上连续：ba,在上每一点都连续。)(xfba,在端点和连续是指：ab左端点右连续；)()(li
8、mafxfax右端点左连续。)()(limbfxfbxa+ 0 b- x 5. 函数的间断点：若在处不连续，则为的间断点。)(xf0x0x)(xf间断点有三种情况：1o在处无定义；)(xf0x2o不存在；)(lim0xf xx3o在处有定义，且存在，)(xf0x)(lim0xf xx但。)()(lim00xfxfxx两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：和都存在。)(lim0xf xx)(lim0xf xx可去间断点：存在，但)(lim0xf xx，或在处无定义。)()(lim0 0xfxf xx )(xf0x2o第二类间断点：特点：和至少有一个为，)(lim0xf xx)(lim0xf
9、xx或振荡不存在。)(lim0xf xx无穷间断点：和至少有一个为)(lim0xf xx)(lim0xf xx函数在处连续的性质0x1.连续函数的四则运算：设，)()(lim0 0xfxf xx )()(lim0 0xgxg xx 1o )()()()(lim00 0xgxfxgxf xx 2o )()()()(lim00 0xgxfxgxf xx 3o )()( )()(lim 000xgxf xgxfxx 0)(lim0xg xx2.复合函数的连续性：)(),(),(xfyxuufy)()(lim),()(lim0)(0 00xfufxx xuxx 则：)()(lim)(lim0 00xf
10、xfxf xxxx 3.反函数的连续性：)(),(),(001xfyxfxxfy)()(lim)()(lim011 0 00yfyfxfxf yyxx函数在上连续的性质ba,1.最大值与最小值定理：在上连续在上一定存在最大值与最小值。)(xfba,)(xfba,y y+M Mf(x) f(x) 0 a b xm-M0 a b x2.有界定理：在上连续在上一定有界。)(xfba,)(xfba,3.介值定理：在上连续在内至少存在一点)(xfba,),(ba，使得：， cf)(其中：Mcmy y M f(x)C f(x)0 a b xm0 a 1 2 b x推论：在上连续，且与异号)(xfba,)(
11、af)(bf在内至少存在一点 ，使得：。),(ba0)(f4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分 一、主要内容 导数的概念1导数：在的某个邻域内有定义，)(xfy 0xxxfxxf xyxx )()(limlim00 0000)()(lim 0xxxfxfxx 00)(0xxxxdxdyxfy 2左导数：00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx 右导数：00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx 定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；)(xf0x则：)(lim)(00xfxf xx （或：）)(lim
12、)(00xfxf xx 3.函数可导的必要条件：定理：在处可导在处连续)(xf0x)(xf0x4. 函数可导的充要条件：定理：存在，且存在。)(00xfyxx )()(00xfxf 5.导函数： ),(xfy ),(bax 在内处处可导。 y )(xf),(ba)(0xf )(xf6.导数的几何性质： y是曲线上点 )(0xf )(xfy x处切线的斜率。 o x0 x 00, yxM求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算： 1o vuvu )（2o vuvuvu )（3o 2vvuvu vu )0( v3.复合函数的导数：)(),(),(xfyxuufy ，或 dxdu dudy dxdy )()()(xxfxf 注意与的区别：)( xf )(xf 表示复合函数对自变量求导；)( xf x表示复合函数对中间变量求
