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1、0慎用慎用导导数解数列数解数列问题问题导数，作为高中数学的新增内容之一，为解题教学和教研注入了新的活力，更是解决函数单调性问题的有力工具.由于数列可看作是特殊的函数，所以许多学生自然而然就想到用导数来解决有关数列单调性问题.但由于未能深入理解导当选知识的背景、吃透其含义，未能准确把握数列单调性与函数单调性的联系和区别，没有对其进行有机地“整合” ，从而导致诸多错误.下面摘取学生的几例典型错误，加以分析，旨在引起同行的注意.例例 1 已知数列的通项，求数列的最大项.na2(10)()nann nNna错解错解 设，则.2( )(10)()f nnn nN2( )203fnnn令得；得或.( )0
2、fn 2003n( )0fn 20 3n 0n 得在区间上是增函数，在区间是减函数.( )f n20(0,)320(,)3又，故当时，.所以，数列的最大项为.nN7n max( )147f nna7147a 分析分析；结果是正确的，但其解题过程是错误的，原因是导数是定义在连续函数上的，而对于，nN是离散函数，不存在导数，因而不能对其求导.( )f n正解正解 作辅助函数（） ，则.2( )(10)f xxx0x 2( )203fxxx令得；得或.( )0fx 2003x( )0fx 20 3x 0x 得在区间上是增函数，在区间是减函数.因此，当时函数取得( )f x20(0,)320(,)32
3、0 3x ( )f x最大值.对，.，于是nN2( )(10)()f nnn nN(7)147(6)144ff所以，数列的最大项为.max( )147f nna7147a 当然，本题仍可利用数列本身的性质给以解决.若是数列中最大项，nana则，即，解得.11nnnnaaaa 2222(10)(1) (9)(10)(1) (11)nnnnnnnn1749723397 66n由知时，即数列的最大项为.nN7n 7147a na7147a 例例 2 已知数列是递增数列，且对任意的正整数，恒成立，求实数nan2 nanbn的取值范围.b1Onna123错解错解 因是递增数列，所以在上是单调递增函数，故
4、辅助函数na2 nanbn1,)在上是单调递增函数，有在上恒成立，2( )f xxbx1,)( )20fxxb1,)即在上恒成立，故.2bx 1,)2b 分析分析：以上解答由是递增数列，断定函数na在上单调递增是错误的.由于数2 nanbn1,)列通项公式中的是正整数，而不是取内的n1,)任意实数，如图，该图象表示的数列显然是递增na数列，但此时对称轴，即，并不满足.12b2b 2b 正解正解 由于是递增数列，由数列的单调性知，即对任意恒成na1nnaa10nnaanN立，将代入化简可得，又因为，2 nanbn(21)bn max(21)3n 于是得，即实数的取值范围是.3b b( 3,)例例
5、 3 已知数列的通项为且对所有正整数均成立，求的na(01)n nan aa1nnaana取值范围.错解错解 依题意是递减数列，确定的取值范围.naa作辅助函数（，） ，( )xf xx a01a1x 则（）恒成立（）恒成立函数1nnaanN( )(1)f nf nnN在区间上为减函在恒成立.( )f x1,)( )0f x 1,)因为，由在恒成立，即（）( )(1ln )xfxaxa( )0fx 1,)1ln0xa1x 恒成立，得（）恒成立，于是，即.1lnax 1x min1ln()1ax 10ae正解正解 对于，.01anN1nnaa1(1)nnn ana1nan因为，所以的取值范围为.
6、min1()12n na1(0, )22评注评注：由于，可见以上两种结果截然不同，上述错解在（11(0, )(0, )2e( )(1)f nf n）恒成立，并推不出在区间上为减函，（）恒成立nN( )f x1,)( )(1)f nf nnN是函数在区间上为减函的必要而不充分条件，二者之间并非等价！( )f x1,)事实上，令得， 当时，( )(1ln )0xfxaxa1logaxe1(,log)axe ( )0fx 为增函数；当时，为减函数；( )f x1(log,)axe( )0fx ( )f x所以是函数的极大点，而当时，1logaxxe( )f x1 1( , )2ae1log(1,2)axe即函数在区间（）上为增函数，在为减函数（在区间( )f x1(1,log)ae(1,2)1log,)ae( )f x上并非为减函） ，但，仍有1,)(1)fa2(2)2fa(1)(2)ff(3)f（）成立.( )f nnN通过以上几例我们可以发现，数列的单调几与函数的单调性出现了不和谐的“音符” ，二者并不总是统一一致的，将数列问题简单的函数化，极易出现错误.因此，在涉及数列问题时我们应该更多地首先想到数列自身的特征，利用数列自身所具有的特征解题.
