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1、二次函数复习方法二次函数复习方法必须有所知，否则不如死。罗曼罗兰二次函数复习方法湖北省恩施市龙凤初中 邹兴平（邮编：445003）【知识梳理、归纳要点】1.二次函数的定义：如果 y=ax+bx+c(a、b、c 为常数，a0),那么 y叫做 x 的二次函数。2.二次函数的图象：二次函数 y=ax+bx+c 的图象是一条抛物线。3.二次函数的性质：(1)抛物线 y=ax+bx+c 的顶点是（-， ） ；对称轴是 x=-。(2)当 a0 时，抛物线开口向上，a0 时，抛物线开口向下。(3)当 a0，x=-时，y 有最小值；当 a0，x=-时，y 有最大值。(4)特殊抛物线的性质：抛物线开口方向对称轴
2、顶点坐标a0a0 时，y 随 x 的增大而增大，所以应满足 k+20;（2）根据图象，结合其性质求出其对称轴和顶点坐标。解：（1）要使 y=(k+2)xk2+k-4 是二次函数，则 k=-3 或 k=2 又因为当 a0 时，y 随 x 的增大而增大k+20 即 k-2 综合得 k=2 (2)该抛物线的对称轴为 y 轴，顶点坐标为（0，0）方法二、 判断图象的性质时可以根据图象直接作答。二次函数 y =ax2+bx+c 的图象特征与 a、b、c 及 b2-4ac 的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的特征，反之由图象的特征也能确定字母系数的符号。 例 2、已知二次函数 y=ax2+
3、bx+c 的图象如图所示， （1）试确定 a、b、c、b2-4ac、2a+b、2a-b、a+b+c、a-b+c 的符号；（2）求 OAOB 的值（3）求AMB 的面积；（4）若 OA=OC，求 a,b,c 之间的关系。（例 2 图)分析：由函数图象的特征，确定字母系数或与字母系数相关的代数式的值的符号，其顺序：首先由开口方向确定 a 的符号，再由对称轴的位置及 a 的符号确定 b 的符号，由抛物线与 y 轴的交点的位置确定 c 的符号，由抛物线与 y 轴的交点的个数确定 b 4ac 的符号；若 x 轴上标有+1 和1，则结合函数值确定 2a+b,2ab,a+b+c,ab+c 的符号。解：（1）
4、抛物线开口向下，a0,而 a0又抛物线与 y 轴的交点（0，c）在 x 轴的上方,c0抛物线与 x 轴有两个不同的交点，b2-4ac0又x=-1,a0,a+b+c0当 x=-1 时, y0, | x1- x2 |=AMB 的面积=ABDM=(4)OA=OC, -x1=c,即 x1=-c又x1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根，-c 是它的一个根，由方程根的定义，知 ac2-bc+c=0c0,a、b、c 之间的关系式为 ac-b+1=0方法三、运用数形结合的思想方法,将点的坐标与图形的几何性质(如线段的长,图形的面积等)有机的结合在一起,解决二次函数与几何的综合问题.例 3、已知抛物线 y
5、=x2+(2n-1)x+n2-1(n 为常数)。（1）当抛物线经过原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式。（2）设 A 是（1）所确定的抛物线上位于 x 轴下方，且是对称轴左侧的一个动点，过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 D，再作ABX 轴于 B，DCX 轴于 C。1 当 BC=1 时，求矩形 ABCD 的周长；2 试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时的 A 点坐标，如果不存在，请说明理由。：（1）由抛物线经过原点，得到关于 n 的方程，再由顶点在第四象限确定 n 的值。 （2）由抛物线的对称性及矩形的性质，从 A 点的坐标
6、（可设出 A 点坐标）出发，确定矩形 ABCD 的长和宽（用代数式表示） ，然后运用二次函数的性质求解。解：（1）将（0，0）代入 y=x2+(2n-1)x+n2-1 得 n2-1=0n=1,y=x2+x 或 y=x2-3x又抛物线的顶点在第四象限，y=x2+x 不合题意，舍去。所求的函数关系式为 y=x2-3x（2）由（1）和（2）中题设条件画出草图（如图）1 由抛物线 y=x2-3x=（x-）2 知其顶点为（，-） ，设对称轴 x=与 AD、x 轴交于N，G。当 BC=1 时，AN=BG=。又N 点横坐标为A 点的横坐标为 1。把 x=1 代入 y=x2-3x 得 y=-2.故矩形 ABCD 中，AB=CD=2，AD=BC=1，矩形 ABCD周长为 23=6。2 设 A 点坐标为（a,b）,则 b=a2-3a,即 AB=CD=-a2+3a。AD=2AN=2（a）=32a。设矩形 ABCD 的周长为 m,则m=2(-a2+3a)+2(3-2a)=-2a2+2a+6(0a)当 a=时，m 存在最大值，且 m 的最大值是当 a=时，b=a2-3a=（）23=故 A 点的坐标为(,)。(例 3 图)通信地址：湖北省恩施市龙凤初中 邹兴平（邮编：445003）电子信箱：联系电话：0718 8150746必须有所知，否则不如死。罗曼罗兰
