2011年高考数学试题《函数与导数》(整理版教师版)

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1、【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！2011年高考数学试题分类汇编：函数与导数(教师版)一、选择题1.（安徽理3） 设是定义在上的奇函数，当时，则 （A） （A） (B) （）（）Oy0.50.5x12.(安徽理10) 函数在区间0,1上的图像如图所示，则m，n的值可能（B）（A） (B) (C) (D) 3.（安徽文5）若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是 （D）（A） (B) (C) (D) 4.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时1

2、5分钟，那么c和A的值分别是 （D）A. 75，25B. 75，16 C. 60，25 D. 60，165.（北京文8）已知点,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 （A） A. 4 B.3C. 2D. 16.（福建理5）等于 （C）A1BCD7.（福建理9）对于函数 (其中，)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是 （D） A4和6B3和1C2和4D1和28.（福建理10）已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形 ABC可能是直角三角形 ABC可能是等腰三角形 ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是 （B）ABC

3、D9.（福建文6）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （C）A（1，1） B（2，2）C（，2）（2，） D（，1）（1，）10.（福建文8）已知函数f(x)，若f(a)f(1)0，则实数a的值等于 （A）A3 B1 C1 D311.（福建文10）若a0，b0，且函数在x1处有极值，则ab的最大值等于 （D）A2 B3 C6 D9 12.（广东理4）设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （A）A是偶函数 B是奇函数C|是偶函数 D是奇函数13.（广东文10）设是R上的任意实值函数如下定义两个函数和；对任意,；则下列等式恒成立的是 （B）A BC D14

4、.（湖北理6）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则 （B）A. B. C. D. 15.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则（D）A. 5太贝克 B. 太贝克 C. 太贝克 D. 150太贝克16.（湖南文7）曲线在点处的切线的斜率为 （B）A B C D17.（湖南文8）已知函数若有则的取值范围为 （B）A B C D18.（湖南理6）由直线与曲线所围成的

5、封闭图形的面积为（D）A B C D19.（湖南理8）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为 （D）A B C D 20.（江西文4）曲线在点A（0,1）处的切线斜率为 （A）A.1 B.2 C. D. 21.（江西理3）若，则定义域为 （A）A. B. C. D. 22.（江西理4）设，则的解集为 （C）A. B. C. D. 23.（江西理7）观察下列各式：则的末四位数字为 （D）A. 3125 B. 5625 C. 0625 D.812524.（辽宁理9）设函数，则满足的x的取值范围是 （D）A B0，2 C D 25.（辽宁理11）函数的定义域为，对任意，则的解集为 （B）

6、A B C D26.（辽宁文6）若函数为奇函数，则a= （A） A B C D27.（全国理2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 （B） （A） (B) （C） (D) 28.（全国理9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 （C） （A） （B）4 （C） （D）629. (全国理12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （D） （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)830.（全国文4）曲线在点（1,0）处的切线方程为 （A） （A） （B） （C） （D）31. (全国文9)设偶函数满足，则 （B） （A） （B）（C） （D）32.（全国理8）曲线在点（0,2）处

7、的切线与直线和围成的三角形的面积为 （A）(A) (B) (C) (D) 33.（全国理9）设是周期为2的奇函数，当时，则 （A）(A) (B) (C) (D) 34.（山东理9）函数的图象大致是 （C）35.（山东理10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时, ,则函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为 （A）（A）6 （B）7 （C）8 （D）936.（山东文4）曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 （C） （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）1537.（陕西理3）设函数满足，则函数的图像是 （B）38.（陕西文4） 函数的图像是 （B） 39.（上海理16）下列

8、函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（A）（A）. （B）. （C）. （D）.40.（天津理2）函数的零点所在的一个区间是 （B）41.（天津理8）设函数，若，则实数的取值范围是 （C） 42.（天津文4）函数的零点所在的一个区间是 （C）43.（天津文6）设，则 （D） 44.（天津文10）设函数， 则的值域是 （D） ， 45.（浙江理1）已知 ，则的值为 （B）A6 B5 C4 D246.（浙江文10）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是 （D） 47.（重庆理5）下列区间中，函数在其上为增函数的是 （D） （A） （B） （C） （D）48.（重庆理1

9、0）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 （D）（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 1349. (重庆文7)若函数在处取最小值,则 （C） (A) (B) (C) (D) 二、填空题50.（天津理16）设函数对任意，恒成立，则实数的取值范围是51.（四川理16）函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数例如，函数是单函数下列命题：函数（xR）是单函数；若为单函数，且，则；若f：AB为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数其中的真命题是_（写出所有真命题的编号）52. （上海理13）设是定义在上，以1为周期的函数，

10、若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 53.（陕西理11）设，若，则 1 54.（陕西理12）设，一元二次方程有整数根的充要条件是3或4 55.（山东理16）已知函数当2a3b4时，函数的零点，则5 .56.（辽宁文16）已知函数有零点，则的取值范围是_57.（江苏8）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_4_.58.（江苏12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_59.（广东理12）函数在 2 处取得极小值.60.

11、（北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_（0,1）_. 三、解答题1. (重庆文19)设的导数为,若函数的图象关于直线对称，且.。（）求实数，的值;（）求函数的极值。解：() ，函数的图象关于直线对称，所以，又；()由()，令；函数在上递增，在上递减，在上递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极大值。2.（重庆理18）设的导数满足，其中常数。 （）求曲线在点处的切线方程； () 设，求函数的极值。解：（）则；所以，于是有故曲线在点处的切线方程为：()由（）知，令；于是函数在上递减，上递增，上递减；所以函数在处取得极小值，在处取得极大值。3.（安徽理16）设

12、，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围。本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对求导得 （I）当， 若综合,可知+00+极大值极小值所以, 是极小值点, 是极大值点.（II）若为R上的单调、函数，则在R上不变号，结合与条件a0，知在R上恒成立，因此由此并结合a0，知4.（北京理18）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。解：(1)，令得当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增(2) 当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上

13、的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。5.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克() 求的值；() 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：()因为时，所以；()由()知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；，令得函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.6.（湖北理17）提高过江大桥的车辆

14、通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）解析：（）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得故函数的表达式为=（）依题意并由（）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，当且仅当，即时

15、，等号成立所以，当时，在区间上取得最大值综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时7.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解】（

16、1）根据题意有（0x30）,所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.（2）根据题意有，所以，当时，所以，当x=20时，V取极大值也是最大值.此时，包装盒的高与底面边长的比值为.即x=20包装盒容积V（cm）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为解析：本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用，中档题.8.（江西理19）设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.【解析】（1）在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可。由解得，所

17、以，当时，在上存在单调递增区间.（2）令，得两根，.所以在，上单调递减，在上单调递增当时，有，所以在上的最大值为又，即所以在上的最小值为，得，从而在上的最大值为.9.（全国文21）设函数（）若，求的单调区间；（）若当时，求的取值范围解：（）时，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。（）。令，则。若，则当时，为减函数，而，从而当x0时0，即0.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0.综合得的取值范围为10.（湖南文22）设函数(I)讨论的单调性；（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解析：（I）的定义

18、域为 令当故上单调递增当的两根都小于0，在上，故上单调递增当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减（II）由（I）知，因为，所以又由(I)知，于是若存在，使得则即亦即再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得11.（江西文20）设. （1）如果在处取得最小值，求的解析式； （2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和 的值(注：区间的长度为）解：（1）已知，又在处取极值，则，又在处取最小值-5.则，（2）要使单调递减，则又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：b-a为区间长度。又又b-a为正整数，且m+n10,所以m=2，n

19、=3或，符合。12.（辽宁文20）设函数，曲线过，且在点处的切斜线率为2（I）求a，b的值；（II）证明：解：（I） 由已知条件得，解得 （II），由（I）知设则而 13.（全国文20）已知函数()证明：曲线在的切线过点；（）若在处取得极小值，,求的取值范围。【解析】() ，又曲线的切线方程是：，在上式中令，得所以曲线（）由得，（i）当时，无极小值；(ii)当或时，由得故。由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是。14.（浙江文21）设函数，（）求的单调区间；（）求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数（）解：因为，所以由于，所以的增区间为，减区间为 （）

20、证明：由题意得，由（）知内单调递增，要使恒成立，只要，解得15.（辽宁理21）已知函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：解：（I） （i）若单调增加. （ii）若且当所以单调增加，在单调减少. （II）设函数则当.故当， （III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而由（I）知， 16.（全国理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。解：（），由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。(

21、i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，017.（全国理22）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：。【命题立意】：本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识。通过运用导数知识解

22、决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.【解析】（），（仅当时）故函数在单调递增.当时，故当0时，0.（）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为，要证（）19.先证： 即证即证而 所以. 即再证：，即证，即证，即证由（），当0时，0.令则，即综上有：18.（陕西理21）设函数定义在上，导函数， （1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求

23、出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论【解】（1），（为常数），又，所以，即，；，令，即，解得，当时，是减函数，故区间在是函数的减区间；当时，是增函数，故区间在是函数的增区间；所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是（2），设，则，当时，即，当时，因此函数在内单调递减，当时，=0，；当时，=0， （3）满足条件的不存在证明如下：证法一 假设存在，使对任意成立，即对任意有 但对上述的，取时，有，这与左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立证法二

24、 假设存在，使对任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而时，的值域为，当时，的值域为，从而可以取一个值，使，即,，这与假设矛盾不存在，使对任意成立19.（天津理21）已知函数（）求函数的单调区间和极值；（）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称证明：当时，（）如果，且，证明：【解】（）令，则当变化时，的变化情况如下表：增极大值减所以在区间内是增函数，在区间内是减函数函数在处取得极大值且（）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，于是记，则，当时，从而，又，所以，于是函数在区间上是增函数因为，所以，当时，因此（）(1) 若，由（）及,得,与矛盾；(2) 若，由由（）及,得,与矛盾；根据(1

25、)，(2)可得不妨设由（）可知，所以因为，所以，又，由（），在区间内是增函数，所以，即20.（浙江理22）已知函数.（）求的单调区间和极值；（）求证： .解：（）定义域为， 2分 令，令 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 的极大值为 （）证：要证 即证， 即证 即证 令，由（）可知在上递减，故 即，令，故 累加得， 故，得证 法二：= ，其余相同证法.21.（广东理21）（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为,，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：；解：（），直线AB的方程为，即，方程的判别式，两根或，又，得，（）由知点在抛物线L的下方，当时，作图可知，若，则，得；若，显然有点； 当时，点在第二象限，作图可知，若，则，且；若，显然有点； 根据曲线的对称性可知，当时，综上所述，（*）；由（）知点M在直线EF上，方程的两根或，同理点M在直线上，方程的两根或，若，则不比、小，又，；又由（）知，；，综合（*）式，得证（）联立，得交点，可知，过点作抛物线L的切线，设切点为，则，得，解得，又，即，设，又，；，