2006年信利杯全国初中数学竞赛试题

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1、20062006 年信利杯全国初中数学竞赛试题年信利杯全国初中数学竞赛试题2006 年“信利杯“全国初中数学竞赛试题一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分。以下每小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号内，不填、多填或错填得零分。 ）1、在高速公路上，从 3 千米处开始，每隔 4 千米经过一个限速标志牌；并且从 10 千米处开始，每隔 9 千米经过一个速度监控仪。刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A）36 （B）37 （C）55 （D）902、已知

2、m=1+ ，n=1- ，且（7m2-14m+a） （3n2-6n-7）=8，则 a 的值等于（ ） （A）-5 （B）5 （C）-9 （D）93、RtABC 的三个顶点 A、B、C 均在抛物线 y=x2 上，并且斜边 AB平行于 x 轴。若斜边上的高为 h，则（ ）（A）h1 （B）h=1 （C） 1h2 （D）h24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分.如此下去，最后得到了 34 个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）

3、（A）2004 （B） 2005 （C）2006 （D）20075、如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP，DP 交 AC 于点 Q，若 QP=QO，则 的值为（ ）（A）2-1 （B）2 （C）+ （D）+2二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）6、已知 a、b、c 为整数，且 a+b=2006，c-a=2005。若 ab，则a+b+c 的最大值为 7、如图，面积为 a-c 的正方形 DEFG 内接于面积为 1 的正三角形 ABC，其中 a、b、c 是整数，且 b 不能被任何质数的平方整除，则的值等于 8、正五边形广场 ABCDE 的周长为

4、 2000 米。甲、乙两人分别从 A、C两点同时出发，沿方向绕广场行走，甲的速度为 50 米/分，乙的速度为 46 米/分。那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上。9、x表示不超过 x 的最大整数，如3.2 =3, 已知正整数 n 小于 2006,且+= ,则这样的 n 有 个. 10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字 8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是首位号码前加上数字 2，成为一个八位数的电话号码，小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的 81 倍，则小明家原来的电话号码是 。三、 解答题（共

5、 4 题，每小题 15 分，满分 60 分）11、已知，为互质的正整数，且8，-1 -1（1） 试写出一个满足条件的；（2） 求所有满足条件的。12、设 a、b、c 为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14， （1）bc= a24a-5 （2）求 a 的取值范围。13、如图，点 P 为O 外一点，过点 P 作O 的两条切线，切点分别为 A、B。过点 A 作 PB 的平行线，交O 于点 C。连结 PC，交O 于点 E；连结 AE，并延长 AE 交 PB 于 K。求证：PEAC=CEKB14、2006 个都不等于 119 的正整数 a1，a2，a3 ，. a2006 排列成一

6、行数，其中任意连续若干项之和各都不等于 119，求 a1+ a2+ a3+. + a2006 的最小值。2006 年“信利杯“全国初中数学竞赛试题答案题号12345678910答案CCBBD5013-1043342825001、 解：因为 4 和 9 的最小公倍数为 36，19+36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是 55。2、 解：由已知可得 m2-2m=1，n2-2n=1。又（7m2-14m+a） （3n2-6n-7）=8，所以（7+a） （3-7）=8，解得 a= -9。3、 解：设点 A 的坐标为（a，a2） ，点 C 的坐标为（c，c2）（|c|a| ） ，则点 B 的坐

7、标为（-a，a2） ，由勾股定理，得AC2=（c-a）2+（c2-a2）2BC2=（c+a）2+（c2-a2）2AC2+BC2=AB2，所以 （a2-c2）2= a2-c2 。由于 a2c2 ，所以 a2-c2 =1。故斜边 AB 上高 h= a2-c2 =1。4、 解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加 3600，于是，剪过 k 次后，可得（k+1）个多边形，这些多边形的内角形和为（k+1）3600。因为这（k+1）个多边形中有 34 个六十二边形，它们的内角和为34（62-2）1800=34601800，其余多边形有（k+1）-34=k-33（

8、个） ，而这些多边形的内角和不少于（k-33）1800。所以（k+1）360034601800+（k-33）1800 ，解得 k2005。当我们按如下的方式剪 2005 刀时，可以得到符合条件的结论，先从正方形上剪下 1 个三角形，得到 1 个三角形和 1 个五边形；再在五边形上剪下 1 个三角形，得到 2 个三角形和 1 个六边形.如此下去，剪了 58 刀后，得到 58 个三角形和 1 个六十二边形。再取出33 个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到 33 个三角形和 33个四边形，对这 33 个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪 58 刀，便得到 33 个六十二边形和 3358 个三角形

9、，于是共剪了58+33+3358=2005（刀） 。5、 解：设O 的半径为 r，QO=m，则 QP=m，则 QC=r+m，QA=r-m，在O 中，根据相交弦定理，得 QAQC=QPQD。即（r+m） （r-m）=mQD，所以 QD=。连结 DO，由勾股定理，得 QD2=DO2+QO2， ，即（）2=r2+m2解得 m=r。所以，=+26、 解：由 a+b=2006，c-a=2005，得a+b+c=a+4011。因为 a+b=2006，ab，a 为整数，所以，a 的最大值为 1002。于是，a+b+c 的最大值为 5013。7、解：设正方形 DEFG 的边长为 x，正三角形 ABC 的边长为

10、m，则m2=由 ADGABC，可得 =,解得 x=（2-3）m。于是x2=（2-3）2m2=28-48，由题意，a=28，b=3，c=48，所以= -8、解：设甲走完 x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了 400x 米，乙走了 46=368x 米。于是368（x-1）+800-400（x-1）400，且（368x+800）-400x400，所以，12.5x13.5故 x=13,此时 t=104.9、 解：设=m，则=m+，01，当 0时， =2m+2， =2m。根据+= 得2m+m=3m+3，=0，此时，n=6m2006，1m334。当1 时，=2m+2， =2m+1，

11、由+= 得，2m+1+m=3m+3=与1 不合，舍去。故这样的 n 有 334 个。10、 解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为。根据题意，有 81=。记 x=b104+c103+d102+e10+f，于是81a105+81x=208105+a106+x，解得 x=1250（20871a） 。因为 0x105 ，所以 01250（208-71a）105故a。因为 a 为整数，所以 a=2，于是x=1250（208-712）=82500。所以，小明家原来的电话号码为 82500。11、解：（1）写出、 、 、 、 、 、中的任一个即可。（2）因为 x= ，a、b 为互

12、质的正整数，且 a8，所以-1-1即（-1）ab（-1）a当 a=1 时， （-1）1b（-1）1，这样的正整数 b 不存在。当 a=2 时， （-1）2b（-1）2，故 b=1，此时 x=。当 a=3 时， （-1）3b（-1）3，故 b=2，此时 x= 。当 a=4 时， （-1）4b（-1）4，与 a 互质的正整数 b 不存在。当 a=5 时， （-1）5b（-1）5，故 b=3，此时 x= 。当 a=6 时， （-1）6b（-1）6，与 a 互质的正整数 b 为不存在。当 a=7 时， （-1）7b（-1）7，故 b=3，4，5，此时 x=， ， 。当 a=8 时， （-1）8b（-1

13、）8，故 b=5，此时 x= 。所以，满足条件的所有分数为、 、 、 、 、 、 。12、解：解法 1：由（1）-2（2）得（b-c）2=24（a+1）0，所以 a-1。当 a-1 时，b2+c2=2a2+16a+14=2（a+1） （a+7）0，又当 a=b 时，由（1） 、 （2）得c2=a2+16a+14 （3）ac= a2-4a-5 （4）将（4）两边平方，结合（3）得a2（a2+16a+14）=（a2-4a-5）2化简得 24a3+8a2-40a-25=0故 （6a+5） （4a2-2a-5）=0解得 a= -或 a。所以，a 的取值范围是 a-1 且 a= -，a。解法 2：因为

14、b2+c2=2a2+16a+14，bc= a24a-5 ，所以（b+c）2=2a2+16a+14+2（a24a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2所以 b+c= 2（a+1） 。又 bc= a24a-5，所以 b、c 为一元二次方程x22（a+1）x+ a24a-5 =0 （5）的两个不相等实数根，故=4（a+1）2-4(a24a-5)0所以 a-1.当 a-1 时,b2+c2=2a2+16a+14=2（a+1） （a+7）0另外,当 a=b 时,由(5)式有 a22（a+1）a+ a24a-5 =0即 4a2-2a-5=0 或-6a-5=0,解得 a= 或 a= -所以,a 的取值范围为

15、 a-1 且 a= -，a。13. 解：证明:因为 ACPB,所以KPE=ACE.又 PA 是O 的切线,所以KAP=ACE.故KPE=KAP,于是 KPEKAP,所以=,即 KP2=KEKA由切割线定理得KB2=KEKA所以,KP=KB.因为 ACPB,所以, KPEACE,于是=,故=即 PEAC=CEKB14、解:首先证明命题:对于任意 119 个正整数 b1,b2,.,b119,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是 119 的倍数.事实上,考虑如下 119 个正整数 b1, b1+b2 ., b1+b2+.+b119, (1)若(1)中有一个是 119 的倍数,则结论成立.若(1)中没有一个是 119 的倍数,则它们除以 119 所得的余数只能为1,2,.,118 这 118 种情况.所以,其中一定有两个除以 119 的余数相同,不妨设 b1+b2+.+bi 和 b1+b2+.