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1、在大多数学科中，后一代人往往撕毁了前一代人所建立的成就。但在数学中，每一代人都是在老的结构上建立新的成果。（Hermann Hankel）如果试图使一个学科与其历史相分离，那么，没有哪一个学科比数学的损失更大。（J. W. Glaisher）如果我们想要预见数学的未来，适当的途径是研究这门科学的历史与现状。（Poncare）1进位制：10 进位制，无论是理论上，或是实际上；无论是过去，现在，或是将来；均非唯一的进位制。澳洲东部昆士兰人用 2 进制；阿根廷火地岛部落用 3 进制；南美一些部落用 5 进制，德国农民日历，直到 1800 年，还用 5 进制；一些非洲土人用 6 进制；英国度量衡用 1
2、2 进制；古玛雅人，美洲印地安人，克尔特人，格陵兰人用 20 进制；古巴比伦人用 60 进制。美国现有 12 进位制协会。也有不少部落用混合进位制。2埃及用“双倍和调停法”求乘积。例：由 26 13 6 3 133 66* 132 264* 528*得 2633=66+264+528=858。其原理是利用数的二进位制表示：3孙子算经（4 世纪）最早研究不定方程与同余式的解。例题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”。明代程大位直指算法统宗用诗表达解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。该算法又称“隔墙算”，“剪管术”，“秦王暗点
3、兵”，“韩信点兵”，“大衍求一术”，“鬼谷算”；现称“孙子定理”，“中国剩余定理”。古印度有题：“篮中有蛋，每次取 2 个，剩 1 个；每次取 3 个，剩 2 个；每次取 4个，剩 3 个；每次取 5 个，剩 4 个；每次取 6 个，剩 5 个；每次取 7 个，刚好取完。问：篮中有多少蛋？”属这类。4九章算经有题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数，物价各几何？”。今称“盈不足术”。阿拉伯人称“震旦算法”。（古印度人称中国为“震旦”）唐阙史载：杨损出题“有人在林中散步，听贼谈分赃每人分 6 匹布，剩 5 匹；每人分 7 匹，差 8 匹。问：有几个贼？偷了几匹布？”考待提拔的官
4、吏。亦用盈不足术解。5亲和数：两个数中任一个的真约数和等于另一个，则这两个数称为一对亲和数。如 284 与220（毕达哥拉斯），17296 与 18416（费马，1636），1184 与 1210（Niccolo Paganini，1866 时 16岁得）。完全数：一个数，若与它的真约数和相等，则称为完全数。如 6，28，496，亲和数链：如 12496，14288，15472，14536，14264（法国，P. Poulet）1965 年，滑铁卢大学的 K. D. Fryer 发现以 14316 开头的 28 环的亲和数链及两个 4-链：2115324，3317740，3649556，279
5、7612；1264460，1547860，1727636，1305184。6形数：三角形数：1，3，6，10，正方形数：1，4，9，16，五边形数：1，5，12，22，可用纯几何法证：（1）任一正方形数是两个相继三角形数之和。（2）第 N 个五边形数是第（N-1）个三角形数的 3 倍与 N 之和。（毕达哥拉斯）（3）从 1 开始，任意多个相继的奇数和为完全平方。7. 如果一条线段被分成两部分，则以整条线段为边的正方形等于分别以这两部分为边的正方形及以这两部分为边的矩形的 2 倍之和（欧几里得）。8. 幻方：周易：“河出图，洛出书，圣人则之。”大戴礼记：“二九四七五三六一八”。此为三阶幻方。杨辉
6、在续古摘奇算法归纳三阶幻方的作法为“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”艺术家丢勒在木刻忧郁中有四阶幻方：16321351011896712415141具有性质：（1）顶上两行数的平方和等于底下两行数的平方和。（2）第 1，3 行数的平方和等于第 2，4 行数的平方和。（3）对角线上数的和等于不在对角线上数的和。（4）对角线上数的平方和等于不在对角线上数的平方和。（5）对角线上数的立方和等于不在对角线上数的立方和。（6）嵌创作年份 1514 于正中。9. 阿尔克温（八世纪）活跃思想的问题有题：（1）把 100 蒲式尔谷物分给 100 人。每一个男人 3 蒲式尔，每一个女人 2 蒲式尔，每
7、一个小孩半蒲式尔。问：男人，女人，小孩各有几个？（2）有 30 个瓶子，10 个满的，10 个全空，10 个半空，把它们分给三个儿子。问：怎样才能使每个儿子分到的瓶子与容纳的东西都相等？（3）船夫，狼，山羊，白菜过河。（4）狗追兔子，开始时，相距 150 尺，狗每次跳 9 尺，兔子每次跳 7 尺。问：跳几次，狗才能追上兔子？10. 菲波那契算盘书有题：（1）若 A 从 B 得 7 个银币，则 A 的银币是 B 的 5 倍，若 B 从 A得 5 个银币，则 B 的银币是 A 的 7 倍。问：A 与 B 原来各有多少银币？（2）一个人留给他的长子 1 个金币和余下的 1/7；从剩余的金币中，次子得
8、 2 个金币和余下的1/7；三子再从剩余的金币中得 3 个金币和余下的 1/7；依次下去，最后一个儿子得余下的全部。并且，每个儿子得到的金币一样多。问：这人有多少个儿子，多少金币？（3）菲波那契数列。11. 丘凯在算术三篇（1484）提出“平均值法则”：若 A，B，C，D 是正数，则（A+B）/（C+D）介于 A/C 与 B/D 之间。12. 塔尔塔利亚的三夫妇过河问题。（见“数学游戏”）13. 腓特烈大帝（1712-1786）提出“36 军官问题”：“6 支部队 6 种军阶的共 36 名军官，能否排成6 行 6 列，使每行每列都有各部队，各军阶的代表？”此问题欧拉也无法解决。到 1902 年
9、，才被名不见经传的塔利解决：不可能！腓特烈大帝邀请拉格朗日到柏林科学院工作，在邀请信上写道： “必须让欧洲最伟大的几何学家与最伟大的国王住在一起。”拉格朗日证明了“四平方数定理”：任一个正整数能表示成四个整数的平方之和。14. 俄罗斯诗人莱蒙托夫数学游戏（1841）：想一个数，加 25，再加 125，减 37，再减你想的数，乘以 5，除以 2。必得 282.5。此为恒等式的应用。15. 范得蒙特于 1771 年得国际象棋盘上骑士（马）的哈密顿圈：马从棋盘的某一格出发，经棋盘的每一格一次，而且仅一次，最后，回到原地。5641583550396033474455405934513842574649
10、3653326145484354316237522053063221116132964214171425106192278231215128718326924此问题是泰勒最早提出的。瑙克(Franz Nauck)于 1850 年提出“八后问题”，在棋盘上放置八个“后”，使得她们不会相互攻击。高斯认为有 96 种放法。实际上仅有 92 种。智者千虑，难免一失。16. 维纳获哈佛大学博士学位时，有人问他几岁，他回答：岁数的立方是 4 位数，岁数的 4 次方是 6 位数，这 10 位恰含 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 各一次。17. 希腊数学家普洛克拉斯（410-485）：“哪里有数，哪里
11、就有美。”19 世纪，卢卡斯发现一些美丽的数字梯形，其一如：19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111123459+6=1111111234569+7=111111112345679+8=11111111123456789+9=1111111111234567899+10=111111111118. 布累策在数学游览（1969）证明：不能把 5/121 表示成两个“单位分数”之和。并发现：5/121=1/25+1/759+1/208725。但不知上式中的最大分母 208725 能否减小。江西钢厂的医护人员王晓明发现：5/121=1/33+1/121+1/3
12、63=1/27+1/297+1/1089=1/33+1/91+1/33033。19. 17 世纪，惠更斯，巴斯卡，费尔马讨论：两人设赌局，规定：先胜 6 局者赢全部赌金。现甲胜了 5 局，乙胜了 2 局，他们不再赌了。问：如何分赌金才比较合理？20 处处留心皆学问。现代数学家卡普雷卡偶然发现铁路的里程碑“3025”被雷击而一分为二：30与 25。他注意到：30+25=55，5555=3025。这样的数还有。如：52881984。现称这样的数为卡普雷卡数。21“数学游戏界三剑客”：杜德尼，洛伊德，加德纳。杜德尼提出过如下问题：一根尺子，只有 k 个刻度，但可以量出长度为 1,2,3,t 的所有线
13、段，t 的最大值 T(k)是多少？现已知：他还提出“囚徒放风问题”：9 个囚徒放风时分 3 组，每组 3 人。3 人铐在一起，中间一人分别与两边的人共用一付手铐。问：如何安排，使得在 6 天中，任两个犯人恰有一次共用一付手铐。洛伊德曾设“移动 15”骗局。他还提出“种树问题”：种 20 棵树，使每条线上有 4 棵。最多能安排几条线？加德纳，在 1966 年，听美国 36 任总统约翰逊（LYNDON B. JOHNSON）演讲时，即兴编一道覆面算题：LYNDONB= JOHNSON。23 1993 年，日本的桥本吉彦提出：分别用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 代下式的 9 个*，使 。桥本
14、吉彦得一解，现用计算机得全部的 10 个解。24华罗庚：“发奋早为好，苟晚休嫌迟；最忌不努力，一生都无知。”苏步青：“为学应须毕生力，攀高贵在少年时。”25“要是没有数学语言，宇宙几乎是不可描述的！”（1965 年诺贝尔物理学奖获得者 R. Feynman）26连锁店创始人康拉得希尔顿：“我不想力图使人相信，微积分，或甚至代数与几何，乃旅馆经营所必需。但我要长期大声疾呼，它们绝不是钉在普通教育上的无用装饰物。对我来说，在任何情况下，迅速系统地阐述问题，把每个问题归结为最为简单明了的形式，是特别有用的。为发展这一过程所必须的脑力活动，高等数学是最佳可能的锻炼。全面的数学智能的训练，可以防止任何一
15、种趋势被一些不相干的东西搅得模糊不清，或引入歧途。”27对平面上的多边形，过一顶点的角，不足 的部分，称为其外角。任何多边形的外角和是 2 。对空间中的多面体，过一顶点的所有面角之和不足 的部分称为其亏量。任何凸多面体所有顶点的亏量和为 。28孪生素数：到 1996 年，已知共有 182312485795 对小于 的孪生素数。30Gottfried Leibniz 曾错误地认为，两个骰子掷出 11 点与 12 点的概率相等。实际上，前者是1/18，后者仅 1/36。31Ivar Ekeland 的书裂开的骰子（芝加哥大学出版社，1993）：两位北欧国王通过掷骰子决定一个岛屿的归属。瑞典国王掷出
16、两个 6；奥拉夫国王掷出一个 6，另一个裂开，出现 1 与 6。k456789T(k)13182328364032Juniper Green 游戏：卡片编号 1100，两人轮流取卡片，取出后不能放回，也不能再用；第一步必须取偶数；除第一步，所取卡片数字必须是刚取卡片数字的倍数或约数；无法选取者输。33Richard Padovan (建筑师)数：P（0）=P（1）=P（2）=1，P（n+1）=P(n-1)+P(n-2)。R.Perrin 数(1899)：A（0）=3，A（1）=0，A（2）=2，A(n+1)=A(n-1)+A(n-2)。34E=3，I=-4，R=-6，V=-3，F=9，L=0，S=-1，W=7，G=6，N=5，T=2，X=11，H=1，O=-7，U=8，Z=10 使 ZEROTWELVE 表示真数。如 ZERO=10+3+（-6）+（-7）=0，TWO=2+7+（-7）=2，TWELVE=2+7+3+0+（-3）
