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1、探究长方形周长面积的关系探究长方形周长面积的关系组员：朱丹妮组员：朱丹妮 翁田力翁田力 邵轶婷邵轶婷 徐莹萍徐莹萍例：例：解：设一个矩形宽为解：设一个矩形宽为 6 6，长为，长为 8 8，那么，这个矩形的周长为那么，这个矩形的周长为 2828，面积为，面积为 4848设另一矩形宽为设另一矩形宽为 a, a,长为长为 b ba+b=28a+b=28ab=96ab=96a=28-ba=28-b28b-b*b=9628b-b*b=96-b*b+28b-96=0-b*b+28b-96=0b*b-4ac=400b*b-4ac=400b1=4b1=4b2=24b2=24a1=24a1=24a2=4a2=4
2、所以，另一矩形宽为所以，另一矩形宽为 4 4，长为，长为 2424。已知，一个矩形长，宽分别为已知，一个矩形长，宽分别为 n n 和和 1 1，那么它的周长，面积分别，那么它的周长，面积分别为为 2(n+1)2(n+1)和和 n n，若存在一个矩形周长，面积均是它的两倍，那么另一矩形的周若存在一个矩形周长，面积均是它的两倍，那么另一矩形的周长和面积分别应为长和面积分别应为 4(n+1)4(n+1)和和 2n2n解：设另一矩形长为解：设另一矩形长为 x x，则宽为，则宽为(2n+2-x),(2n+2-x),如图如图1)4(n4ac-b02n-2)x(2nx-2nx)-2x(2n222x=x=aa
3、cbb 242= =212222nnx=x=112nn另一矩形（所求矩形）的长若为原矩形的长、宽和对角线的长另一矩形（所求矩形）的长若为原矩形的长、宽和对角线的长度总和或长加宽减对角线，因为两边之和大于第三边，则始终有度总和或长加宽减对角线，因为两边之和大于第三边，则始终有00 所以猜测成立。所以猜测成立。112nn一般规律：一般规律：已知，一个矩形的长和宽分别为已知，一个矩形的长和宽分别为 n n 和和 mm，那么其周长和面积分，那么其周长和面积分别为别为 2(m+n)2(m+n)和和 mnmn，所求矩形的周长和面积分别为，所求矩形的周长和面积分别为 4(n+m)4(n+m)和和 2mn2m
4、n解：设另一矩形长为解：设另一矩形长为 x x，则宽为，则宽为(2n+2m-x),(2n+2m-x),如图如图22224n4m4ac-b02mn-n)2x(mx-2mnx)-2nx(2mx=x=aacbb 242x=x=222222nmnmx=x=22nmnm另一矩形的长则为原矩形的长、宽和对角线的长度总和或长加另一矩形的长则为原矩形的长、宽和对角线的长度总和或长加宽减对角线，因为两边之和大于第三边，则宽减对角线，因为两边之和大于第三边，则00，所以，所以22nmnm猜测成立猜测成立n1 12nmn22nm 推广推广：已知，一个矩形长和宽分别为已知，一个矩形长和宽分别为 2 2 和和 1 1，
5、那么周长和面积分别为，那么周长和面积分别为6 6 和和 2 2，所求矩形的周长和面积分别为，所求矩形的周长和面积分别为 3 3 和和 1 1解：设另一矩形长为解：设另一矩形长为 x x，则宽为，则宽为 x23074023212322 acbxxxx无解所以不存在这样一个矩形周长和面积为所以不存在这样一个矩形周长和面积为 3 3 和和 1 1更一般的，当已知矩形的长和宽分别为更一般的，当已知矩形的长和宽分别为 n n 和和 mm 时，是否仍然有时，是否仍然有相同的结论？相同的结论？解：设另一矩形长为解：设另一矩形长为 x x，则宽为，则宽为 xnm21 21mnxnmx21 21 21 b b2
6、 2-4ac=(m+n)-4ac=(m+n)2 2-8mn-8mnx=x=48)(2mnnmnm要使方程有实数根，则要使方程有实数根，则 b b2 2-4ac-4ac 0 0，则，则(m+n)(m+n)2 28mn,8mn,所以当所以当(m+n)(m+n)2 28mn8mn 时，另一个矩形的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一时，另一个矩形的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半半符合的矩形有符合的矩形有: :长长 8 8 宽宽 1 1长长 9 9 宽宽 1 1长长 1010 宽宽 1 1长长 1212 宽宽 1 1结论：结论：任意给定一个矩形一定存在另一个矩形任意给定一个矩形一定存在另一个矩形, ,它的周长和面积分别是它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的两倍已知矩形周长和面积的两倍任意给定一个矩形不一定存在另一个矩形任意给定一个矩形不一定存在另一个矩形, ,它的周长和面积分别它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的两倍且范围为是已知矩形周长和面积的两倍且范围为(m+n)(m+n)2 28mn8mn
