计算机数学基础

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1、1计算机数学基础计算机数学基础(1) 作业作业 4 选解选解第第 7 章章 群群 一、单项选择题一、单项选择题 1. 设集合 A 和二元运算*，可交换的代数运算是( ) A 设 AP(x,y),a,bA,a*b=ab B 设 A=1,1，2，3， ，4，5，a,bA,a*b=b C 设 AMn(R),运算*是矩阵的乘法 D 设 A=(整数集合), a,bA,a*b=a+2bZ 答案答案；A 解答解答：由集合的运算知，集合的并“”是可交换的故选项 A 正确 容易验证选项 B，C，D 不正确 2.设集合 A1,2,10,下面定义的二元运算*关于集合 A 不封闭的是( ) A. x*y=x,y Bx

2、*y=x,y Cx*y=x,y Dx*y=x,ymaxmingcdlcm 答案答案：D 解答解答：集合 A 的任意两个元素 x,y 的较小者或较大者，显然还都是 A 的元素，故选项 A,B 正确 x,y是 x,y 的最大公约数，任意两个 110 的数的公约数，仍然是 110 的数gcd(x,y)是 x,y 的最小公倍数，任意两个 110 的数的公倍数不一定是 110 的数，如 2 和 7 的最lcm 小公倍数是 14，不属于集合 A故选择选项 D 正确 3. 下列代数系统能构成群的是( ) A一元实系数多项式集 P(x)(含 0 多项式),运算*是多项式加法 B一元实系数多项式集 P(x) (

3、含 0 多项式),运算*是多项式乘法 C正实数集合+，,运算*是数的除法R D设+为正有理数集，运算*为普通减法Q 答案答案：A 解答解答：任意两个一元实系数多项式之和仍然是一元实系数多项式任意三个一元实系数多项式相 加，可以任意结合，一元实系数多项式集 P(x)(含 0 多项式)对于多项式加法构成半群0 多项式是单位 元任给一个一元实系数多项式的逆元是该多项式的负多项式因此，一元实系数多项式集合 P(x)(含 0 多项式)，对于多项式加法构成群故选项 A 正确 一元实系数多项式集合 P(x) (含 0 多项式)，对于多项式乘法，不能保证每个元素存在逆元，故不能 构成群选项 B 不正确 正实数

4、集+，对于数的除法，不满足结合律故正实数集+，对于数的除法不能构成群选项RR C 不正确 正有理数集+，对于普通减法不封闭，故+对于普通减法不能构成群选项 D 不正确QQ 4. 设 G 是六阶循环群，a 是生成元素，则下列集合能构成 G 的子群的是( ) Ae,a B e,a2 Ce,a3 D e,a4 答案答案： C 解答解答：子群仍然是群，必须满足群的条件，又是 G 的子集现在逐一检查 Ae,a是 G 的子集，e 是单位元，但是 aa=a2e,aB e,a2是 G 的子集，e 是单位元，但是 a2a2=a4e,a2Ce,a3是 G 的子集，e 是单位元，但是 a3a3=a6=e，ea3=a

5、3e,a3e 的逆元是 e，a3的逆元是 a3可见e,3是群，因此e,a3是 G 的子群 D e,a4是 G 的子集，但是，a4a4=a2e,a4 总之，选项 C 正确；而选项 A,B,D 不正确 5. 设代数系统(K1,)和(K2,o)，f 是从 K1K2的映射. 称 K1与 K2同态，a,bK1,有( ) A f(aob)=f(a)f(b) B f(ab)=f(a)of(b) C f(aob)=f(a)of(b) D f(ab)=f(a)f(b) 答案答案：B2解答解答：依据同态的定义，a,bK1,有 f(ab)=f(a)of(b)，则称 f 是从 K1K2的映射. 称 K1与 K2同 态

6、故选项 B 正确 二、填空题二、填空题1. 把置换表成互不相交轮换或对换的积是 521364654321答案答案：(1 4)(2 6 5)解答解答：在置换中，(1,4)是一个对换，(2,6,5)是一个轮换有 521364654321(1,4)(2,6,5)= 521364654321 524361654321 651324654321所以，答案答案为(1 4)(2 6 5)2. 设四元置换1 ,41324321 答案答案： 解答解答：因为所以，1,41324321 42134321 43214132三、计算题三、计算题 1. .设代数系统(A,*)，其中 Aa,b,c,*是 A 上的一个二元运

7、算，对于由下表确定的运算，试分别讨 论它们的交换性、幂等性以及在 A 中关于运算*是否有单位元如果有单位元，那么 A 中的每个元素是 否有逆元： (1)*abc(2) *abc(3) *abc aabc aabc aabc bbca bbac babc ccab cccc cabc 解解 (1) 任意给定表中的元素 x，y，易验证 x*y=y*x，故是可交换的 因为 b*b=c，故没有幂等律，但是，a*a=a，元素 a 是幂等元， 因为任给 xA，都有 a*x=x*a=x，故元素 a 是单位元 a 的逆元是自己，b 的逆元是 c，c 的逆元是 b (2) 任意给定表中的元素 x，y，易验证 x

8、*y=y*x，故是可交换的 因为 c*c=c，a*a=a，故 a，c 是幂等元，但无幂等律 因为任给 xA，都有 a*x=x*a=x，故元素 a 是单位元 a,b 的逆元是自己，c 无逆元 (3) 在表中 a*b=b，b*a=a，故不可交换 因为 b*b=b，c*c=c，a*a=a，有幂等律， 不存在单位元和逆元 2.设+是正整数集，a,b+，aob=(a,b)(即 a,b 的最小公倍数).试问(+,)是半群，是含ZZlcmZlcm 单位元的半群吗？ 解解 a,b,c+，(aob)c=c=a,b,c=a(bc)Z,lcmbalcm故(+,)是半群Zlcm 又 1+，任给 k+，1k=1,k=k

9、=k1，故 1 是单位元所以，(+,)是含单位元的半ZZlcmZlcm 群 3. 试问下列哪些是群，哪些是交换群？ (1) 设(Mnm(),),其中 Mnm(R)是所有元素为实数的 nm 矩阵集,是矩阵的加法.R (2) 设(A，),其中 A=1,2,3,4,6,12gcd (3) 设(Mnm(R)，*)，*是矩阵的乘法.3解解 (1) 任给 A,B,C Mnm()，A+BMnm，且(A+B)+C=A+(B+C)R 又存在 0nmMnm()，对任意 A Mnm()，有 A+0nm=0nm+A=A.故 0nm是单位元RR 任给 A Mnm()，存在A Mnm()，有 A+(A)= 0nm，即A

10、是 A 的逆元RR 所以， （Mnm()，+）是群，且 A+B=B+A，故（Mnm()，+）是交换群RR (2) 易验证是 A 上的二元运算，且满足结合律，即任给 a,b,cA，gcd(a,b),c)=(a,(b,c)gcd gcdgcdgcdA 的单位元是 12，即任给 xA，有=x)12,gcd(x因为 1 没有逆元，即任给 xA，(1,x)=112故(A，)不是群gcdgcd (3) 在 Mnm()上的矩阵不满足结合律，故(Mnm()，)不是群RR 4.设(1 3 2),=(1 3)(2,4),计算1解解 (1 3 2)， 41324321,421343211, 214343212341

11、432141234321)4 , 2)(3 , 1 (1, 2143432142134321 2431432141324321 41324321(1,2)(3,4) 341243215.设(，)，其中 R*=R0，*是数的乘法. 下述映射 f 是否为 R*到 R*的同态，如果是，说明它R 是否为满同态，单同态，或同构，并计算(R*，)的同态象 f(R*). (1) f(x)=x2；(2) f(x)=x；(3)f(x)=x解解 (1) 任给 a,b，f(a*b)=(a*b)2=a2*b2=f(a)*f(b)故 f 是从到的同态RRR F()=(0，+)R (2) 任给 a,b，f(a*b)=a*

12、bf(a)*f(b)=ab故 f 不是从到的同态RRR (3) 不是同态，如 x=2.1，y=3.9，f(xy)=2.13.98.19=8f(2.1)*f(3.9)=2.13.9=236 四、证明题四、证明题 2.设(,)，运算为a,b，ab=a+b2，证明(,)是一个群ZZZ 证明证明 a,b，ab=a+b2，即在上封闭ZZZ a,b,c，(ab)c=(a+b2)=a+b2+c2=a+(b+c2)2=a(bc)Z 设 e 是单位元，x，ex=e+x2=x，得到 e=2，e=2 是单位元ZZ 任给 x，设 x 的逆元为 x1，xx1=x+12=2，得 x1=4x即 x 的逆元为 4xZ 所以，

13、(,)是一个群Z 3. 试证明在群(G，*)中，a,bG，有(a*b)2=a2*b2，则(G，*)必是交换群 证明在群(G，*)中，a,bG，都有(a*b)2=a2*b2，则(G，*)是交换群 证明证明 a,bG，有 (a*b)2=(a*b)*(a*b)，a2*b2=(a*a)*(b*b) 因为(a*b)2=a2*b2，所以 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)群有结合律，所以，a*(b*a)*b=a*(a*b)*b 又群有消去律，上式两边分别消去 a，b，得b*a=a*b 故(G，*)是交换群第第 8 章章 其它代数系统其它代数系统 一、单项选择题一、单项选择题 1. 下列集合对给

14、定的运算，不能构成环的是( ) A 有 n 阶实数矩阵构成的集合，关于矩阵的加法和乘法4B合,关于矩阵的加法和乘法Z baabba,C 所有关于变量 x 的实系数多项式构成的集合，关于多项式的加法和乘法 D 实数集合关于，*，其中是数的加法，任给 a,b，a*b=ab,a,b RRR 答案答案：D 解答解答：(1) 容易验证所有 n 阶实数矩阵构成的集合关于矩阵的加法构成交换群，又矩阵乘法具有 结合律，故选项 A 是环(2) 类似(1)，集合关于矩阵的加法和乘法构成环Z baabba,(3) 所有关于变量 x 的实系数多项式构成的集合关于多项式的加法构成交换群，请参考第 7 章单项 选择题第 3 题所有关于变量 x 的实系数多项式构成的集合关于多项式的乘法满足结合律，构成半 群实系数多项式乘法对加法满足分配律故选项