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1、 Page 1 of 5 利用导数处理与不等式有关的问题利用导数处理与不等式有关的问题关键词：导数，不等式，单调性，最值。 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大 （小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需 要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从 而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。一、一、利用导数证明不等式利用导数证明不等式（一）（一） 、利用导数得出函数单调性来证明不等式、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0 时，则该函数在该区 间
2、上单调递增（或递减） 。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可 以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等 式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式： 1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一 单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小） ，来证明不等式成立。例 1：x0 时,求证；xln(1+x)02x 2证明：设 f(x)= xln(1+x) (x0), 则 f (x)=2x 22x 1xx0,f (x)0 时,f(x)ae, 求证:abb a, (e 为自然对数的底) 证：要证 abb a只需证 l
3、nablnba 即证：blnaalnb0设 f(x)=xlnaalnx (xae)；则 f (x)=lna,a xae,xa lna1,0,因而 f(x)在（e, +）上递增a xba,f(b)f(a)；故 blnaalnbalnaalna=0；即 blnaalnb所以 abb a成立。Page 2 of 5 （注意，此题若以 a 为自变量构造函数 f(x)=blnxxlnb (e0 时时，故 f(x)在区间（e, bf (x)lnbxbx,f (x)0lnbbxlnbb）上的增减性要由的大小而定，当然由题可以推测belnb与belnb故 f(x)在区间（e, b）上的递减,但要证明则需另费周
4、折，因此，本题还belnb是选择以 a 为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时， 如何选择自变量来构造函数是比较重要的。 ）（二）（二） 、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式 的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大 （或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题 转化为函数求最值问题。 例 3、求证：nN*,n3 时，2n 2n+1 证明：要证原式，即需证：2n2n10,n3 时成立 设 f(x
5、)=2x2x1(x3),则 f (x)=2xln22(x3),x3,f (x)23ln320f(x)在3，+ 上是增函数，)f(x)的最小值为 f(3)=23231=10所以，nN*,n3 时，f(n)f(3)0, 即 n3 时,2n2n10 成立，例 4、的定义域是 A=a,b ，其中 a,bR+,a （kN*）g(x )g(x )12IIkk 1 4 k(k1)证明：由题知 g (x)=22x22b2b 223aaxxg (x)= =0 时 x4ax3a2b2+a2bx=022x22b2b 223aaxx即(x4a2b2)ax(x2ab)=0,化简得(x2ab)(x2ax+ab)=0 所以
6、 x2ax+ab =0 或 x2ab=0，00 时 x, g (x) （kN*）成立g(x )g(x )12IIkk 1 4 k(k1)3、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。例 5：f(x)=x3x, x1,x21,1时，求证：|f(x1)f(x2)|1 34 3 证明：f (x)=x21, x1,1时,f (x)0,f(x)在1,1上递减.故 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)=2 3最小值为 f(1)=,即 f(x)在 1,1上的值域为；2 32 2, 3 3所以 x1,x21,1时，|f(x1)|, |f(x2)|,2 32 3即有 |f(x1)f(x2)|f(x1)|+ |f(
7、x2)|224 333二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转 化为 mf(x) (或 m0 时，解得 0x, h(x)0 时 x34 9 934 9 9所以 h(x)在（0，）上递增，在（，+）上递减, 34 9 934 9 9故 h(x)的最大值为，所以34 94h()994a9三、利用导数解不等式例 8：函数 f(x)=,解不等式 f(x)12x1ax(a0)解：由题知12xxf (x)aa2221x1x x1121x a1 时,f (x)0 时解得 x,f (x)a(,)21a a(,)21a Page 5 of 5 0 时解
8、得f (x) f (x)aax(,)221a1a 故 f(x)在上单调递减，aa(,)221a1a f(x)在或上单调递增，a(,)21a a(,)21a 又 f(x)=1 时解得 x=0 或 x=，2a 21a且 0a1 时a2a0221a1a 所以 0a1 时 f(x)1 的解为x|2a0x21a 由上得，a1 时 f(x)1 的解为 x|x00a1 时 f(x)1 的解为x|2a0x21a 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的 单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化 归思想在中学数学中的重要体现。参考资料： （1）赵大鹏：3+X 高考导练.数学 ，中国致公出版社 （2）王宜学：沙场点兵.数学 ，辽宁大学出版社 （3） 状元之路.数学
